江苏省无锡市澄宜六校2025-2026学年高三年级上册10月学情调研数学试题（含解析）

澄宜六校联盟高三年级10月学情调研

数学试卷

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)

1.已知。、且〃，则()

A.—<-J-B.sina>sinZ?C.f—1<f—D.a2>b2

ab⑷⑷

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质与函数的性质逐项判断即可得答案.

【详解】对于A,当。=2/=-1时，满足但故A不正确：

ab

对干B,当〃==1■时，满足但sina=sinN=mvsin/?=sin工=1，故B不正确:

32322

函数TT

对干C,在R上为减函数，若a>b,则故C正确;

对干D,当。=2力=一3时，满足但々2</,故D不正确.

故选：C.

2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A.任意一个有理数，它的平方不是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

【答案】B

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题,

该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，

故选:B.

3.若集合A={xd-3戈<()},B={x|hi戈〉O},A\JB=()

A.{x|x<3}B.x|x>0}C.{x|O<x<l}D.x\\<x<3}

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合A8,根据并集的定义计算.

【洋解】由已知4={X|0<XV3},8={HX〉1},

所以ADB={H6。},

故选:B.

4.如图函数图象的解析式可能是()

A./(x)=(l--__-)cosxB./(x)=(l--^Jsinx

1+e1+e

2D./(x)=(l--^-)sinx

C./(x)=(l---)cosxT

1-e1-e

【答案】B

【解析】

22

【分析】设/(x)=l----；，h(x)=1------,结合函数奇偶性的定义判断奇偶性，再结合已知函数图象

1+e1-er

根据函数的定义域与奇偶性逐项判断即可得结论.

1r

【详解】设g(x)=l--—2=i+e-?£=^e-,-l其定义域为R,

1+e'1+e*l+ev

所以g(—x)=匚1=上W=-gM,故g(x)是R上的奇函数;

1+e~xe'+1

2^l-ev-2二-eTJ+]

设h(x)=1,其定义域为(TQ,O)=(O,+R)，

-l-eA-l-erl-ex-er-l

所以〃(—x)==11=上£.=—h(x),故h(x)是(T,0)D(Q+8)上的奇函数;

er-1l-ev

由图可知原函数是R上的偶函数，从定义域上不符合的是C,D选项;

A选项是奇函数g*)与偶函数cos上相乘所得函数f(x)为奇函数，故A不符合;

B选项是奇函数g(x)与奇函数sinx相乘所得函数/*)为偶函数，故B符合

故选:B.

5.已知实数。、/?〉0,且。+8=1,则幺+'的最小值是()

2ba

A.V2+1B.72C.2>/2+lD.272

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可.

【详解】因为实数〃、匕＞0,且。+〃=1,

「口」aaa+bab

1-+1=72+1,

2ba2ba2ba\2ba

当且仅当=—,即4=2——1时，H的最小值是+

2ba2ha

故选：A.

6.若平面向量4,b,4,两两的夹角相等，且|〃|=2,|〃|=2,|c|=4,则a+Z?+c=()

A.2B.8或2C.8D.2或10

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，三向量两两夹角为。或=，当夹角为。时，直接求得模，当夹角为4时，利用向量

33

求模公式即可求解.

【详解】因为“，b，C；两两的夹角相等，所以夹角为。或4，

3

如果夹角为0,

因为|〃=2,|。|=2,©=4,

所以得到人+d=IH+|》|+|e=8,

G11

如果夹角为‘，ab=2x2x(—)=-2,ac=b-c=2x4x(—)=-4,

322

所以|〃+力+c|=>]a2+b2+c2+2a-b+2ci-c+2b-c=74+4+16-4-8-8=2，

综上，a+Z?+c=8或2.

故选:B.

7.在VA3C中，角4民。的对边分别为c,若a-ccos8二人一ccos4,则VA8c的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

2»222122

【分析】由余弦定理化简为"一+L='+L，再按M+从-?等于0和不等于0分类讨论求解.

〃h

【详解】因为a-ccos8=〃-ccosA,由余弦定理得a-cx“十————=/?-(；x———,

lac2bc

化简得后一)

ab

若〃2+〃2一。2=0,即/+尸=02,此时VABC为直角三角形；

若。2工0,则〃=/?,此时VA8c为等腰三角形.

综上，VA8C为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

1+inx,x>0

8.已知函数/(幻=1"2_]X<0，若方程1一〃J+2®(x)=[/(切2有且仅有5个不同实数根，则实数

机的取值范围是()

A.(-1,0)B.(l,e2-2JC.(1,2)D.[1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】设/")=，，则方程1一/+2可")=[/(幻『转化为/的一元二次方程，解出这个，的一元二次方

1+\nx,r>0

程的解，画出/(')=(.的图象，通过图象数形结合得到机的取值范围.

|er+2-l|,x<0

【详解】令/")=，，有1一62+2〃?]=产,即[/一(加-1)]["(〃2+川=0,

解得4=m-1或芍=〃?+1，

作出了(X)的图象，如图，

1方程\-m2+2mf（x）=［/a）］有且仅有5个不同实数根,

(TH-1=0

则由图得《

[0<77?+1<1

I<m<2tn=1

解得〈或4

0</n<e2-2-1<m<0

则1<加<2.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）

9.下列说法中，正确是（）

则，=冷乎

A.若向量e是与4=（1,2）同向的单位向量,

\

・f711

B.已知向量a-(3,4),A=(7,1),则，在〃上的投影向量为

122)

C.向量a=（2,-3）,〃=（；,一力能作为平面内所有向量的一组基底

-3

D.已知。=（1,2）,6=（3,工），则夹角为锐角”是“x>—5”的必要不充分条件

【答案】AB

【解析】

【分析】根据同向的单位向量计算公式即可判断A：利用投影向量计算公式即可判断B：根据基底向量的判

断方法即可判断C：求出向量夹角为锐角的充要条件即可判断D.

_（1,2）（小2石］

【详解】对于A,e=\\=+，+，故A正确.

4f+22155J

对于B,〃在〃上的投影向量为土二〃二二（7,1）=,故B正确；

/50V7122；

对于C,因为〃则4力共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误；

4

对于D,若〃夹角为锐角，则〃为>0,且不能同向共线，

'3+2x>0

3

则<3x，解得犬>一二且工。6,

一#一2

112

则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故〃夹角为锐角”是“x>-2”充分不必要条件-，故D错

2

误.

故选:AB.

10.已知函数/（x）=2cos（s+e）,①>0,阚,其图象距离y轴最近的一条对称轴方程为

乙）

x=—,最近的一个对称中心为则（）

12I6）

JT

B./（X）的图象上的所有点向左平移二个单位长度得到函数y=2sin2x的图象

6

C./（幻的图象在区间一野内有2个对称中心

1N1工

D.若/（外在区间皿,加+日上的最大值与最小值分别为PM,则〃一9的取值范围是［1,2相］

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意算出函数的最小正周期，运用周期公式求出口=2,结合函数图象的对称性质求得。=一2，

6

即可判断A项的正误；根据函数图象的平移公式判断出B项的正误；根据/（元）在区间［-墨上刚好

IITTTT

是一个周期，结合/（-五）=/（五）工0,可得了。）在该区间内有2个对称中心，从而判断出C项的正

误；根据［加,〃［十二］的位置，结合函数图象的对称性与三角恒等变换求出〃一q的最大值与最小值，即可判

3

断出D项的正误.

7T7T27r

【详解】由题意，的最小正周期为7=4x［——（--）］=z,所以——二兀，解得，

126co

根据2x』~+0=Z兀(ZeZ),解得。=一二+%:(%GZ),

126

7F7T

结合令得。二一二，可知A项正确；

26

由f(x)=2cos(2x-^),将/⑶图象上的所有点向左平移V■个单位长度，

66

7T7t7T

可得y=2cos[2(x+—)——]=2cos(2x+—)w2sin2x,可知B项不正确；

666

根据卷一(一臂)=兀，结合7=兀可得f(x)在区间[一书，白]只有一个周期，

而/(-岩)=/哈)=2工()，

]Ijr7T

所以/W在[一五，五]仅有两个零点，只有2个对称中心，可知C项正确；

ITIcTL

由前面的分析，可得/(X)图象的对称轴为x=一+—(kwZ),

122

由对称性可知：当加与〃2+乙关于直线工二工+包，攵cZ对称时，P—4取得最小值，

3122

.m+tn+—,/口兀kit.rii„1兀兀)

由3兀KU,r得加=----+一,kwZ,此时/〃+—=—+—,kwZ.

-----2----=——12十—2、ksZ122J342

jrjrIrjr

当上为偶数时，最小值为/(机)=/(〃?+§)=1,最大值为了(;+5)=2；

当k为奇数时，最大值为/(〃?)=f(w+—)=—1»

最小值为/(二+")=一2,所以〃一4最小值为1.

122

“r兀1r兀I7兀，r,ra、r兀■.77T,13兀,,,„.

当上〃,〃？+—]u[—+&兀,----\-kn\ykGZ或[〃z,"z+一]ur[——+4兀,---+kn],keZ时，

3-12123-1212

函数fM在[/H,加+1]上单调，此时〃一9取得最大值，

f(rri)-f(ni+y)|=|2cos(2m-^)-2cos[2(m+y)-^]

=2cos(2w-^)+2sin2m|=|\/3cos2m+3sin2m=24sin⑵〃+*、2班,

6

当〃?=二或，〃二2时等号成立，所以〃一，取值范围为U,2石],可知D项正确.

63

故选：ACD.

11.已知函数y=/(x)及其导函数y=r(x)的定义域均为R,若y=/(x)是奇函数,且

/(x)+/'(x)=e、-x-l,则()

A.y=/'(x)是奇函数B.y=e*f(x)是增函数

C.y=7'(x)存在最小值D.当戈>0时，f{x)<xf'[x}

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：根据奇偶性的定义结合复合函数求导分析判断；对于B：构建〃(x)=e'—/-l,利用导

数可得力(%)2。进而分析判断；对于c：根据奇偶性求“X),广(”的解析式，利用判断y=r(力的

最小值；对于D：构建6(同二矿(司一/。)/>0,利用导数证明不等式.

【详解】对于选项A：因为函数)，=/(x)及其y=/'(x)的定义域均为R,且y=/(x)是奇函数,

则F(h=-/(-%),求导可得.⑴=r(-x),

所以函数y=/'(x)是偶函数，故A错误；

对干选项B：构造〃(x)=e'-x-l,则/(x)=e'-l,

令〃(力>0,解得%>0；令解得x<()；

可知〃(力在(-8,0)内单调递减,在(0,+8)内单调递增，则力(力之〃(0)=0,

构造g(x)=e"(X),则/(x)=e[/(x)+/,(x)]=e7?(x)>0,

所以)'=e、/(x)是增函数，故B正确；

对干选项C：因为/(x)+/'(x)=e、-x-l,

则f(一x)+/'(一x)=e"+x-1,可得一/(工)+/'(x)=e'+x-\,

”(X)=C-

-/(^)+r(^)=e-A+x-l

构造尸(力=/(力,则尸(x)=±二J

因为y=e、,y=一尸在R上单调递增，则9(x)在R上单调递增，且9(0)=0,

当工>0时，Fr(x)>0；当x<o时，F(x)<0；

可知尸(x)在(y,0)内单调递减，在(0,y)内单调递增,

所以产(x)有最小值/(0)=0,即y=/'(x)存在最小值，故C正确；

对干选项D：构造6(力=矿(同一=+(1+1”[,工>0,

则G'(x)=一。)=xF(x)>0，可知G(x)在(0,+8)内单调递增，

J

则G(x)>G(0)=0,所以当j>0时,/(A)<#/(%),故D正确;

故选：BCD.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

323k，852

12.it®3log32-log.—+log34+5=.

【答案】10

【解析】

【分析】根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算法则化简运算即可得答案.

3?

3log52

【详解】31og.2-log.^-+log34+5

323

=log32-log3^4-log34+(5^)

7吗(8乂*4卜23

=log39+8

=2+8=10.

故答案为：10.

13.已知sin/?二』，cosacos(tz-/7)=—,则tana-tan(a-夕)=_____________.

3^2^

【答案】|

【解析】

【分析】根据正切函数化成正弦函数除以余弦函数，结合正弦两角差公式化简求解即可.

tantz-tan(a-^)

sinasin(«-/?)

cosacos(a-/?)

sina•cos(a-ft)-cosa-sin(ct-ft)

cosacos(。一/)

s\n[a-(a-/3)]

cos<7-cos(a-/?)

【详解】sin/?

cosacos(a-/7)

1

二3

1

2

_2

=1

3

故答案为：—.

3

14.设函数“丫)=1门+/一⑷，若/(x)有两个极值点储，x2,且耳£(0,2],则

/(再)一/(4)的最小值是_______.

【答案】31n2--

16

【解析】

【分析】根据函数有两个极值点可得方程2Y一"+1=0在(0,+到上有两个不等实根々，x2,由此可得韦

达定理的结论，将/(A,)-/(%)表示为关于々的函数的形式，构造函数

2

g(x)=2\wc-x+—L+ln2(0<x<2),利用导数求得^(x)mn即可.

4r

【详解】ZU)定义域为(0,+oo),fXx)=L+2x-a=2尸一,

XX

「./(x)有两个极值点X]，占等价于2f-奴+1=0在(0,+8)上有两个不等实根匕

a11

X1+.q=_,X|X>=_rci—2(X[+X,),“2一

222x।

/(X))-f(x2)=ln.r,+x：-ax{-ln_q-x^+cix2

x+——

i112x

=1吟+汇-2内(％+—)+ln(2^,)--+------L

2x}4%内

2lrLV]-xf~i----+ln2(0<x]<2),

4Xj

设g(x)=2\nx—x2H---7+ln2(0<A;<2)，

4r

，/、2r14X2-4X4-1(2/-1)2

则rII/I(x)=__2x——r=------——=--——r2-<0,

x2x32?2xy

.•.g(x)在(0,2]上单调递减，g(x)Ng(2)=21n2—4f-+In2=31n2--

1616

即.-1=2…+点+心3m2一段

，/(%)-fM的最小值为31n2--

16

故答案为：31n2--

16

【点睛】思路点睛：本题考查了函数和导数综合解决双变量最值问题，根据已知极值点确定双变量等式关

系，再进行代换转化为单变量问题，构造新函数求导确定最值得结论即可.

四、解答题（本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.设命题〃：Vx£R,不等式rm1+〃优+；>0恒成立;命题q:me<mm+l,

---->Q-

3—〃7

（1）若〃为真命题，求实数〃?的取值范围；

（2）若命题〃、。有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围.

【答案】（1）0<z??<2；

（2）0WW1或2W〃7V3.

【解析】

【分析】（1）对加进行分类讨论，由此列不等式来求得利的取值范围.

（2）根据P真4假或P假真，列不等式来求得机的取值范围.

【小问1详解】

对于命题〃：DxeR,不等式"V+"a+，>0恒成立,

2

当加=0时，1〉0恒成立.

2

Iw>0

当〃?00时，则需〈A2__,解得0<〃?v2.

A=/n-2/T?<0

综上所述，加的取值范围是0WMV2.

【小问2详解】

,m+1,m+1,/??+1-3+m2m-2八

由----->1得-------1=-----------------=---------->0,

3-m3-m3-in3-m

所以(2〃L2)(3一6)>0,解得1v加<3.

若P真4假，则"0Wmv2”且“相W1或〃后3"，则0«用41.

若P假V真，则“加<()或〃z22”且则2<加<3.

综上所述，”的取值范围是或24加<3.

16.设函数/(%)=cosxsin(x+Z)+6sin2

3

兀兀

（1）当工£—时，求函数/,（刈的最小值并求出对应的心

（2）若/（幻之!，求x的取值集合.

【答案】（1）函数/（幻的最小值为一；,此时式=专

7i7n

（2）x的取值集合为—+kit、ksZ

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换可得/（x）=;sin（2x-*）,根据正弦型函数的性质，即可得出答案;

（2）根据正弦函数的图象性质解三角不等式即可得x的取值集合.

【小问1详解】

36

/(X)=cosxsin(x+—)+>/3sinix

34

3>/3

2

=cosx(—sinx+—cosx)+5/3sinx~7~

22

1.,V32,77•236

=-sinxcosx+——cosx+V3sinx-~7~

22

1.6、c、6、o、3G

=—sino2x+——(1+cos2x)+——(l-cos2x)--------

4424

1•o6o

=—sin2x------cos2x

44

=1sin(2x-^)

J•5

因为xu工谓，所以亭］,

.122J363

当2X一二二一三，即1=二时，函数/（X）取到最小值为」，

36124

即当xw看，5时，函数人%）的最小值为一；，此时工=展；

【小问2详解】

若f（x）>—>则sin（2x—）2—»

432

jr7TSirjr7兀

所以一+2kn<2x—<—+2lat,kGZ,解得一+—+kn,keZ,

636412

故工的取值集合为f+历+E,kwZ.

_412

17.如图，等腰VA8C中，〃C=6,A6=AC'=5,。为8c边的中点，。为8c边上靠近点C三等分

点，P为线段AQ上的一点，且力。=±4。，过点尸的直线与边ARAC分别交于点瓦尸，已知

AE=AAB^AF=pAC.

（2）若S.c=l2S八改,且0<4<；,求（EO+A（。尸+E4）的值.

12,八

【答案】（1）：+—=10

X〃

92

（2）——

9

【解析】

【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，即可得出!+工的值;

44

(2)先根据三角形面积关系得出，与〃的关系，再联立已知等式求解4和〃的值，进而求出线段长度，然

后利用余弦定理求出EF1和AD2，最后通过向量运算求出(ED+AF)(DF+EA)的值.

【小问1详解】

因为。为边的中点，。为3C边上靠近点C三等分点，

所以AQ=A5+—BC=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,

33VS67*933

一1・2•

又=AF=pAC,所以=AE+「人/，

323〃

312

因为£,£/>共线，又AP=^AQ=TA七十二17177，

1017077A10〃

1212,、

则一+——=1,即一+—=10；

1(M10//Z//

【小问2详解】

由S.ABC=12SAE卞，得一机，sinZ.BAC=12x—Ac-〃匕sinZ.EAF,

22

所以A/z=，又0<4vw,

由(1)得!+2=io,联立解得a=:，或;i=L,/7=1(舍)，

4〃6243

所以4E=*,AF=~,

62

在VA3c中，由余弦定理得cosA=一二」-,

2x5x525

Ss5^752

所以在放中，由余弦定理得跖2=(—)2+(—)2—2、二、二又一二一，

6262259

因为AB=4C,。为BC边的中点，所以AD/BC,所以AD?=AB?-瓦y=5?-3?=16，

又功+4/=4。-AE+A^=AO+E/，

DF+EA=AF-AD+EA=EF—AD，

—_*___■—————•—-2——25292

所以(EO+4尸)(0/+E4)=(AO+E/)•("一AO)=砂-AD=——16=——.

99

18.如图，VA3c的内角A,8,C的对边分别为〃/,c,NB4C=135，。为边4c上一点，且

ADJ.AB,BD=2CD=2.

（1）证明：/?=>/2sinZADC；

（2）求VA5C的面积.

【答案】（1）证明见解析；

9

(2)

10

【解析】

【分析】（1）由条件先求角NC4D,进而AADC中应用正弦定理即可证明；

（2）在△A3。中应用正弦定理可得c=2sinNAO3,进而结合NA03+40C=180可得;的值，再

b

利用余弦定理可求。与〃的关系，进而利用面积公式求解即可.

【小问1详解】

由/4AC=135。，AD±AB,得NC4O=45.

bCD

在AAOC中，有，得

sinZ.ADC~sinZCAD

底"si"C=A"C'即〃SiC.

【小问2详解】

在△A3。中，AD±AB，所以sinNADB=-^―=—,即c=2sinZADB,

BD2

又乙4。3+/八。。=180.

于是c_2sinN4D8_^sin(180/AQCj_V^sinN4℃_£即£=&

bx/2sinZ.ADCsinZ.ADCsinZADCb

因为。=BC=3D+C£>=3,ZBAC=135°,-=y/2,

b

2(5、

所以=从+C2—2A