9-3 二项式定理 精讲精练（解析版）

9-3二项式定理能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．TOC\o"1-4"\h\u9-3二项式定理 1一、主干知识 1考点1：二项式定理 2考点2：二项式系数的性质 2【常用结论总结】 2二、分类题型 3题型一通项公式的应用 3命题点1求二项展开式及其特定项 3命题点2求二项展开式的第k项 6题型二二项式系数与项的系数的问题 9命题点1二项式系数和与系数和 9命题点2系数与二项式系数的最值问题 15题型三二项式定理的综合应用 17三、分层训练：课堂知识巩固 20一、主干知识考点1：二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)考点2：二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.【常用结论总结】1．两个常用公式(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.二、分类题型题型一通项公式的应用命题点1求二项展开式及其特定项已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】因为，结合二项展开的通项公式运算求解.【解答】的展开式的通项公式为，，∵，∴，解得，故选：B.的展开式中常数项为.【答案】60【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.【解答】∵展开式第项，∴当时，，故展开式中常数项为.故答案为：60.的展开式中常数项为．【答案】40【分析】由二项式定理及展开式通项公式可得：展开式的通项公式为,再利用乘法的分配律运算即可得解.【解答】解：由展开式的通项公式为,则的展开式中常数项为-=40,故答案为40.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题.二项式的展开式中的系数为（用数字作答）.【答案】【分析】根据题意得，令，求出，代入求值即可.【解答】根据题意：，令，解得，所以的系数为：.故答案为：.在展开式中，常数项为.（用数值表示）【答案】【分析】写出展开式的通项，令指数位置等于即可求解.【解答】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，故答案为：在展开式中常数项是．(用数值回答)【答案】70【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的系数等于，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项是，故答案为：70．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，配方是关键，属于基础题．的二项展开式中项的系数为.【答案】【分析】根据二项式展开式的通项，即可求得答案.【解答】由题意知的展开式的通项为，故展开式中项的系数为，故答案为；展开式中的常数项为.【答案】/【分析】写出展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r，即可求得答案.【解答】由题意的通项公式为，令，故展开式中的常数项为，故答案为：命题点2求二项展开式的第k项的展开式共（

）A．10项 B．15项 C．20项 D．21项【答案】B【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.【解答】∵，由二项式定理可知，展示式中共有项∴的展开式共有项.故选：B．在的二项展开式中，第四项为．【答案】【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.【解答】在的二项展开式中，第四项为.故答案为：.已知展开式中第5项为常数项，则n＝.【答案】5【分析】由二项式写出展开式通项，根据第5项为常数项求n即可.【解答】由题设，，由第5项为常数项，即时，，可得.故答案为：5的展开式中常数项为.【答案】【分析】的展开式中的常数项由两部分构成,一部分为,一部分为,求和即可.【解答】中的常数项为,故答案为:88【点睛】本题考查二项式定理,考查多项式的展开式,考查运算能力.(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．将展开后按的升幂排列，则第3项为.【答案】【分析】展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项，求出的通项公式，令和，求解即可得出答案.【解答】的通项公式为，展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项，，令，则，令，则，所以的系数为：.故答案为：若在的展开式中，第4项是常数项，则．【答案】12【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到，即可求得答案【解答】设展开式中第项为，则，又展开式中第4项是常数项，∴时，，∴故答案为：12展开式的常数项为.【答案】【分析】利用二项式定理把展开，可得二项式的展开式的常数项．【解答】，故展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．题型二二项式系数与项的系数的问题命题点1二项式系数和与系数和已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.【解答】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则又因为的展开式的通项公式为，令，所以展开式中的项的系数为．故选：B.已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为.【答案】【分析】根据题意求得，得到二项式为，结合展开式的通项，即可求解.【解答】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，可得，即，即二项式为，其展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为.故答案为：.在的展开式中，的系数是.【答案】【分析】由，然后再利用展开式的通项公式可得结果.【解答】，又的展开式的通项公式为，所以的展开式含项的系数为，含项的系数为，所以在的展开式中，的系数是，故答案为：.若，则.【答案】【分析】利用赋值法，令，求得系数及常数项之和；令，求得奇数项与偶数项之差；令，求得常数项的值；利用方程思想，可得答案.【解答】令得：，令得：，两式相加，除以2，得：，当时，，所以.故答案为：.已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为．【答案】240或3840【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出或-4，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，分别代入和，求出答案.【解答】由于的展开式的二项式系数和为64，即，解得n＝6．又由于的展开式系数和为729，令得，即，解得或-4，的展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为，故当时，，当时，．故答案为：240或3840在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为．【答案】16【分析】由二项式系数的性质可求，再利用赋值法求各项系数和.【解答】因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，故，取可得二项式的展开式中各项系数和为，即16.故答案为：16.若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为.【答案】【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案.【解答】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则.则展开式中第项为.令可得，则的系数为.故答案为：设二项式的展开式中常数项为A，则．【答案】【分析】展开二项式，求出常数项A作答.【解答】，所以.故答案为：.的展开式中的系数为．【答案】5【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，并求出含及的项，即可求解作答.【解答】二项式的展开式通项公式为，当时，，当时，，因此展开式中含的项为，所以所求系数为5.故答案为：5在二项式的展开式中，项的二项式系数为．【答案】20【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数.【解答】因为，，1，2，…，6.令，得，所以项的二项式系数为.故答案为：20的展开式中，项的系数为．（用数字作答）【答案】90【分析】求出展开式的通项公式，可得展开式为时的值，代入可得展开式中项的系数.【解答】展开式的通项公式为，得，所以项的系数为故答案为：90的展开式中项的系数为.【答案】240【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.【解答】由，则其展开式的通项，化简可得，令，则，即.故答案为：240.在的展开式中，的系数为.【答案】150【分析】由二项展开式的通项对原式展开可得，再由项的系数解得，代入求解即可.【解答】两个二项式展开式的通项之积为，，则令，解得，故展开式中的系数为.故答案为：150.已知的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为.（用数字作答）【答案】240【分析】先利用二项式系数和列出方程求出n，然后根据二项展开式的通项公式，即可求得本题答案.【解答】因为展开式的二项式系数之和为64，所以，解得，则展开式的通项公式为，令，得，所以常数项为.故答案为：240已知的展开式中各项系数的和为4，则实数的值为.【答案】1【分析】令即可求解.【解答】令，可得，解得.故答案为:1.已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为.【答案】【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和.【解答】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得，因此，二项式系数之和为.故答案为：.二项式的展开式中的系数为.【答案】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式即可得到结果.【解答】二项式的展开式中的通项公式为，令，则，故展开式中的系数为.故答案为：若，则.【答案】【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.【解答】已知，对式子两边同时求导，得，令，得.故答案为：240已知多项式，则.【答案】【分析】由赋值法即可求解.【解答】令，则，令，则，两式相加，可得令，则，所以.故答案为：命题点2系数与二项式系数的最值问题展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解【解答】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（

）A．20 B．160 C．180 D．240【答案】B【分析】写出展开式的通项，根据二项式系数的性质，可知时，二项式系数最大，代入即可得出答案.【解答】展开式的通项为，，二项式系数为，，当时，二项式系数最大，则该项的系数为.故选：B.的展开式中各项系数的最大值为（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【分析】根据二项式的通项公式，结合展开式系数最大的性质进行求解即可.【解答】该二项式的通项公式为，由，可得．因为，所以展开式中各项系数的最大值为．故选：D赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是.【答案】【分析】根据二项式系数的性质求n，然后由通项公式可得.【解答】由题可得，，解得，所以.故答案为：展开式中二项式系数最大的项的系数为．【答案】【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项的系数.【解答】由二项式系数的基本性质可知展开式中二项式系数最大的项为.因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为.故答案为：.在的展开式中，系数最大的项为.【答案】【分析】分别求出和展开式系数最大的项，即可得出答案.【解答】因为的通项为，的通项为，∵展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，∴在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：.的二项式展开中，系数最大的项为．【答案】【分析】根据二项式展开式中系数的性质即可求解.【解答】由题意知：的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，因为展开式的通项为，所以时，系数最大，该项为，故答案为：.题型三二项式定理的综合应用若，则被8整除的余数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．【解答】在已知等式中，取得，取得，两式相减得，即，因为因为能被8整除，所以被8整除的余数为5，即被8整除的余数为5，故选：B.设，则（

）A．21 B．64 C．78 D．156【答案】A【分析】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得；【解答】解：的展开式的通项为，，所以.故选：A.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.若，则被5除的余数是．【答案】4【分析】分别取，两式相加可求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除的余数.【解答】由题知，时，①，时，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余数是4.故答案为：4.设，则除以9所得的余数为．【答案】8【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果.【解答】因为，所以，，所以除以9所得的余数为8．故答案为：8三、分层训练：课堂知识巩固1．（2023•北京）的展开式中，的系数是A． B．40 C． D．80【分析】首先找出二项展开式的通项公式，然后令的次数为1，找到的对应值，带回通项公式即可求得．【解答】解：由二项式定理可知展开式的第项，，1，，令，可得．即含的项为第3项，，故的系数为80．故选：．【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式的应用，属简单题．2．（2022•北京）若，则A．40 B．41 C． D．【分析】法一：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出和，以及的值，可得结论．解法二：在所给的等式中，分别令，，得到两个等式，再把两个等式相加并处以2可得的值．【解答】解：法一：，可得，，，，故答案为：41．法二：，令，可得，再令，可得，两式相加处以2可得，，故选：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．3．（2020•北京）在的展开式中，的系数为A． B．5 C． D．10【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可求得的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，故选：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4．（2020•新课标Ⅰ）的展开式中的系数为A．5 B．10 C．15 D．20【分析】先把条件整理转化为求展开式中的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解答】解：因为；要求展开式中的系数即为求展开式中的系数；展开式含的项为：；故的展开式中的系数为15；故选：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．5．（2019•新课标Ⅲ）的展开式中的系数为A．12 B．16 C．20 D．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解．【解答】解：的展开式中的系数为：．故选：．【点睛】本题考查展开式中的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6．（2019•全国）的展开式中的系数是A．120 B．60 C．30 D．15【分析】由二项式定理及展开式的通项得：，令，解得，则的展开式中的系数是，得解．【解答】解：由二项式的展开式的通项为，令，解得，则的展开式中的系数是，故选：．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项，属中档题．7．（2018•新课标Ⅲ）的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．80【分析】由二项式定理得的展开式的通项为：，由，解得，由此能求出的展开式中的系数．【解答】解：由二项式定理得的展开式的通项为：，由，解得，的展开式中的系数为．故选：．【点睛】本题考查二项展开式中的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（2023•天津）在的展开式中，项的系数为60．【分析】根据二项展开式的通项公式求解．【解答】解：二项式的展开式的通项为，令得，，项的系数为．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．9．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为49．【分析】由二项展开式的通项可得，若，则为奇数，所以，即，从而求出的取值范围，得到的最大值．【解答】解：二项式的通项为，，1，2，，，二项式的通项为，，1，2，，，，，1，2，，，若，则为奇数，此时，，，，又为奇数，的最大值为49．故答案为：49．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．10．（2023•上海）设，则17．【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：．故答案为：17．【点睛】本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题．11．（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为（用数字作答）．【分析】由题意依次求出中，项的系数，求和即可．【解答】解：的通项公式为，当时，，当时，，的展开式中的系数为．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．12．（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为66．【分析】求出展开式的通项公式，令的次数为，求出的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为，由，得，得，即，即含项的系数为66，故答案为：66．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．13．（2022•天津）的展开式中的常数项为15．【分析】先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出的值，代入系数求出结果．【解答】解：的展开式的通项是要求展开式中的常数项只要使得，即常数项是，故答案为：15【点睛】本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．14．（2022•浙江）已知多项式，则8，．【分析】相当于是用中的一次项系数乘以展开式中的一次项系数加上中的常数项乘以展开式中的二次项系数之和，分别令，，即可求得的值．【解答】解：，；令，则，令，则，．故答案为：8，．【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．15．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则10．【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值．【解答】解：二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，即，即，，故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16．（2021•天津）在的展开式中，的系数是160．【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为6，求出的值，即可求得的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数是．故答案为：160．【点睛】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．17．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则2．【分析】由二项展开式的通项公式可得的系数，再根据的系数为80，求出的值．【解答】解：的展开式的通项公式为，所以的系数为，解得．故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．18．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为64．【分析】由已知可得，令，即可求得系数和．【解答】解：由题意，，且，所以，所以令，的系数和为．故答案为：64．【点睛】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．19．（2021•浙江）已知多项式，则5；．【分析】利用通项公式求解的系数，即可求出的值；利用赋值法，令，即可求出的值．【解答】解：即为展开式中的系数，所以；令，则有，所以．故答案为：5；10．【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查了运算能力，属于基础题．20．（2021•北京）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的常数项．【解答】解：设展开式的通项为，则令得．展开式中常数项为：．故答案为：．【点睛】本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．21．（2020•天津）在的展开式中，的系数是10．【分析】解法一：在的展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可得到展开式中的系数．解法二：把二项式的幂指数5，分成4和1，可得的系数．【解答】解：解法一：的展开式的通项公式为，令，得，的系数是，故答案为：10．解法二：分配指数法，，故把二项式的幂指数5，拆分成4和1，故的系数是，故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，还考差了分解指数法，属于中档题．22．（2020•新课标Ⅲ）的展开式中常数项是240（用数字作答）．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于的展开式的通项公式为，令，求得，故常数项的值等于，故答案为：240．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．23．（2020•全国）若多项式能被整除，则2．【分析】根据整除的概念即可求解．【解答】解：，又多项式能被整除，，，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式整除问题，属基础题．24．（2020•全国）的展开式中的系数为．（用数字作答）【分析】先观察展开式中的特点，再求解即可．【解答】解：的展开式中可看作：，，，中取3次，取1次常数相乘得到，展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式中特定项系数的运算，属于中档题．25．（2020•上海）已知二项式，则展开式中的系数为10．【分析】由，可得到答案．【解答】解：，所以展开式中的系数为10．故答案为：10．【点睛】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．26．（2020•浙江）二项展开式，则80，．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．【解答】解：，则．．故答案为：80；122．【点睛】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．27．（2019•天津）的展开式中的常数项为28．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令的指数为0即可得到的值，代入的值即可算出常数项．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：．当，即时，为常数项．此时．故答案为：28．【点睛】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．28．（2019•上海）在的展开式中，常数项等于15．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项为，，得，故展开式的常数项为第5项：．故答案为：15．【点睛】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．29．（2019•浙江）在二项式展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式的展开式的通项为．由，