吉林省松原市2026届九年级上学期12月期末测试数学试卷（含答案）

吉林省松原市2025-2026学年上学期期末测试九年级数学试题一、单选题1．为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．反比例函数的图象经过（

）．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限3．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根4．抛物线的图象与轴的交点坐标为（

）．A． B． C． D．5．如图四边形内接于，连接．若，，则的度数是（

）A． B． C． D．6．如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则()A． B． C． D．二、填空题7．事件：“太阳从东方升起”是事件（填“必然”或“随机”）．8．若是方程的一个根，则的值为．9．反比例函数，当时，的取值范围是．10．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为．11．如图，四边形内接于，连接，，，若的半径为3，则的长为．三、解答题12．阅读下列方程的解题过程，并解决下列问题．解：移项得，①两边同除以2得，②配方得，③即，∴或④∴，⑤(1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是________（填序号）；(2)请你写出正确的解答过程．13．如图是一个商场抽奖用的可自由转动的转盘，被分成3个完全相同的扇形，分别涂有“蓝、绿、黄”三种颜色，转盘指针固定不动．转动转盘待其停止后，观察指针所指区域的颜色，若指针落在区域分界线上则重新转动．按上述规则任意转动转盘两次（第一次停止后再进行第二次转动），用画树状图或列表的方法，求两次指针所落区域颜色不相同的概率．14．柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？15．如图，树在路灯的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离．求树影的长．16．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹．(1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为；(2)在图②中，在边上找一点，连接，使．17．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点．(1)求证：；(2)求的长．18．如图，为的直径，C为上一点，连接为延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为3，为，求的长．19．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边向终点运动．当点不与点、重合时，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，以为边向其下方作正方形．设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为．(1)当与边重合时，的值为______；(2)当正方形与的重叠部分图形是五边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当所在直线平分正方形的面积时，直接写出的值．20．综合与实践如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表：托盘与点的距离1015202530托盘中的砝码质量3020151210(1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式；(2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；(3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量．21．【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______；【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形；【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______．22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)连接，当轴时，求点的坐标；(3)若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值；(4)连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围．参考答案1．B解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．2．B解：∵反比例函数中，，∴图象经过第二、第四象限．故选：B．3．D【详解】一元二次方程中的，则其根的判别式为，因此，方程没有实数根，故选：D．4．C解：令，，∴抛物线的图象与轴的交点坐标为．故选：C．5．C解：∵，，∴，∴，∵四边形内接于，∴，故选：C．6．D【详解】四边形是平行四边形，，，∴，∴，，∵∴，故选：D．7．必然解：根据事件分类，必然事件是指在每次试验中必然会发生的事件．太阳从东方升起是确定的自然现象，属于必然事件．故答案为：必然．8．2026解：∵是方程的一个根，∴，变形得，，∴．故答案为：2026．9．或解：当时，则有，即，∵，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限，∴当时，的取值范围是或；故答案为或．10．解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为，∴与的位似比为，∵点的坐标为，∴点的坐标为，即为．故答案为：11．【详解】如图所示，连接∵，∴，∴∴∵的半径为3∴的长．故答案为：．12．(1)③(2)见详解（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在等号的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加．（2）解：，移项得，两边同除以2得，配方得，即，或，，．13．解：列表如下：蓝绿黄蓝（蓝，蓝）（蓝，绿）（蓝，黄）绿（绿，蓝）（绿，绿）（绿，黄）黄（黄，蓝）（黄，绿）（黄，黄）共有9种等可能的结果，其中两次指针所落区域颜色不相同的结果有6种，两次指针所落区域颜色不相同的概率为．14．这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，依题意得，整理得，解得，．当时，平行于墙的边长为米米（不符合实际，舍去）；当时，平行于墙的边长为米米（符合实际）．答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米．15．解：根据题意得：，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴．16．(1)见解析(2)见解析（1）解：如图，点、即为所求；（2）解：如图，即为所求．17．(1)见解析(2)【详解】（1）∵四边形是矩形∴∵∴∴∴∴；（2）∵，是的中点，∴∴∵在矩形中，，，∴∵∴，即∴．18．(1)证明见详解(2)10（1）证明：连接，如图，∵为的直径，∴，∴．∵，∴．∵，∴，即，∴．∵是的半径，∴是的切线；（2）由（1）可得：∴为直角三角形∵的半径为3，为∴∴∴19．(1)(2)(3)（1）解：如图，由题意可知，；由旋转的性质可知，，，∵点是的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，解得，；（2）解：设线段与交于点E，与交于点F，当时，由（1）可知，此时在上方或与重合，如图，由（1）可知，，，，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，，∴；当时，则在下方，如图，设与交于点G，与交于点H，由（1）可知，四边形是矩形，∴，，∴，∵，又∵，∴四边形和四边形都是矩形，∴，∴，要构成五边形，则，即，解得，，，∴，综上所述，；（3）如图，所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点，∴，∴，∵，∴，解得．20．(1)函数图像见解析，(2)(3)（1）解：描点并连线，函数图像如图所示．由图像可得y与x之间是反比例函数关系，∴设，∵当时，，∴，解得，∴y与x的函数关系式为：．（2）解：当时，代入得，，解得，∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是．（3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，由题意得：，解得．∴在移动前托盘B中的砝码质量为．21．操作感知：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；探究发现：见解析；探究应用：．解：操作感知：∵菱形，∴，∵，∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；探究发现：证明：∵四边形为菱形，∴，∴，∴，由旋转，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；探究应用：∵，，∴四边形是平行四边形，作交于H，则，，即四边形与四边形的面积比，∵在菱形中，，，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，∴四边形与四边形的面积比．故答案为：．22．(1)(2)(3)(4)（1）解：抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，，，，则抛物线对应的函数解析式为；（2）解：当轴时，点和点的纵坐标相等，点和点都在该抛物线上，点和点关于对称轴对称，可得，解得；（3）解：∵点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、代入解析式得，，，如图，过点作轴，过点作轴，则，，线段平行于两坐标轴夹角的平分线，，为等腰直角三角形，，即，解得；（4）解：∵∴当时，，解得或3，∴抛物线与x轴的交点坐标为和，如图，当点在轴下方时，且在轴左边时，即时，平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为，点的横坐标为，点的纵坐标为，，，当时，，点恒在抛物线上方，此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大，先增大后减小，与题意不符，故该情况不存在；如图，当点在轴上方时，且在轴左边时，即时，平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为，点的横坐标为，点的纵坐标为，当，即时，点在抛物线上方，此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小，符合题意