立体几何解答题（8大题型）解析版-2026年高考数学一轮复习

立体几何解答题（8大题型）

目录

01知识重构•重难梳理固根基.......................................................1

02题型精研•技巧通法提能力.......................................................5

题型一求空间异面直线夹角.................................二............"..............5

题型二求直线与平面的夹角..............................................................15

题型三求平面与平面的夹角..............................................................24

题型四求空间中的距离...............................................................34

题型五求空间几何体的体积..............................................................39

题型六翻折问题........................................................................50

题型七动点存在性问题的探究............................................................58

题型八立体几何新定义问题..............................................................70

03实战检测-分层突破验成效......................................................80

检测I组重难知识巩固....................................................................80

检测II组创新能力提升..................................................................109

01

知识重构-重难梳理固根基

一、空间中的角

1、异面直线所成角

①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点O作直线6'〃〃，把。'与加所成的锐角（或直角）

叫做异面直线4与8所成的角（或夹角）.

②范围：（0，y]

③求法：

1）平移法：将异面直线。，〃平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

2）向量法：设异面直线4和4所成角为其方向向量分别为i，V；则异面直线所成角向量求法：①

一一II•V——

cos<",V>=一一（2）cos。=|COS<W,V>|

|w||v|

2、线面角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

②范I韦I：[0,―]

③求法：

1）常规法：过平面外一点8做88'_L平面a,交平面a于点工：连接力",则N848'即为直线48与平面a

的夹角.接下来在应中解三角形.即sin/胡8'=蛉（其中人即点4到面a的距离，可以

AB斜线长

采用等体枳法求/?，斜线长即为线段48的长度）；

2）向量法：设/为平面。的斜线，Z为/的方向向量，[为平面。的法向量，0为/与。所成角的大小，则

（1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角

（2）范围：0。464180°

（3）求法，传统法5个+向量法

①定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图

在二面角a-/_〃的棱上任取一点O,以O为垂足，分别在半平面a和尸内作垂直于棱的射线04和08,

则射线Q4和08所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于

求两条异面直线的夹角即可）.

Oi

②三垂线法

在面a或面〃内找一合适的点/,作/O，夕于O,过/作力81c•于8,则80为斜线AB在面夕内的射影,

480为二面角a-c一夕的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点力，作力01夕于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过力作力8_Lc于3,连接4。；

③计算：480为二面角a-c-0的平面角，在R/Z\480中解三角形.

③射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

式（cose=&=2"C,如图2）求出二面角的大小；

S科S.ABC

④补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补

棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的射影面积

法解题.

⑤垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面

角的平面角.

⑥向量法

设标是二面角a-l-0的两个当平面的法向量，

若二面角为锐二面角（取正），则cos0=|cos<%,〃2>1；

若二面角为顿二面角（取负），fflcos6>=-|cos</?!，/?,>|；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.）

二、空间中的距离

1、点线距

己知直线/的单位方向向量为4是直线/上的定点，P是直线/外一点.设而=£,则向量后在直线/

上的投影向量力。，在R/AJP。中，由勾股定理得：PQ=|2_|~XQ|2=yja1-(ci-u)2

2、点面距

如图，己知平面a的法向量为4是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面。的垂线/,

交平面。于点。，则［是直线/的方向向量，且点月到平面。的距离就是不在直线/上的投影向量诙的

3、线线距

设两条异面直线〃的公垂线的方向向量为万，这时分别在。，〃上任取4,8两点，则向量在万上的正射

影长就是两条异面直线。，b的距离.则"=1万,£1=尊空即两异面直线间的距离，等于两异面直线上

I〃II川

分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

4、线面距和面面距：一般转化成点面距

02

题型精研-技巧通法提能力

♦题型一求空间异面直线夹角♦

【技巧通法・提分快招】

泵异面直线丽晟鬲二艇步面

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

/■

（4）取舍：因为异面直线所成角夕的取值范围是0,-,所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面

I2」

直线所成的角.

2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法

（I）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

3、异面直线所成角：若晨%分别为直线4%的方向向量，。为直线44的夹角，则

-----|」•无|

cos0-cos<〃”〃，>二，二,

W1〃2

1.如图1,四边形45c。为边长为2的菱形，乙48。=60'，PB=PA=3,"为48的中点，将△218沿48

边折起，使PC=2JJ，连接尸。，如图2.

（1）证明：ABtPC；

（2）求直线BD和PC所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（I）根据给定条件，连接利用线面垂直的判定性质推理得证.

（2）连接8OnCM=E,在PM上取点产，使M/=gpM,可得为异面直线所成的角，再利用余弦

定理求解即可.

【详解】（1）连接PM,4C,由菱形/BCO内角//BC=60。，得△力BC是正三角形，

山M为力笈的中点，得OV/_L加，山依=&=3,得尸M工43,

而门必口。W=”,尸加,（7“<=平面尸。”，则力8，平面尸。也，又PCu平面PCM,

所以4?J_PC；

(2)连接8OPICM=E,则七为正义8C的重心，ME=-CM=-BCsin60^=—,

333

在PA/上取点尸，使M尸=lpM=1j尸82-8^2=辿,则空=皑=［，

333PMCM3

EFUPC,EF='PC=^~，

「是4BEF是直线BD和PC所成角或其补角,

在ABE/中，BE=—,BF=>jBM2+MF2=—

33

苧+（竽「受7

BE2+Ef2-BF2

由余弦定理得8$/4月/=

2BEEF~~2x空x还一二

33

7

所以直线BD和PC所成角的余弦值为力.

2.如图，在三棱锥力-8CO中，8C_L8,N8Z）C=60。，M是力。的中点，点尸,。分别在线段8,%ZC上,

且3P=2PW,/0=2QC.

A

⑴求证：夕。〃平面8CQ；

(2)求异面直线BC与尸。所成角的大小.

【答案】(I)证明见解析

(2)30°.

【分析】(1)法一：在线段用。上取一点E,使得BE=2ED,连接尸石，可证四边形尸E尸。为平行四边形，

进而得?。〃所，可得结论；

法一：连接/P并延长交皿于点M.连接NC.利用中位线定理可得PQ//NC,可证结论：

(2)法一：设。。=，则延长£凡班?交于点，，可得即为异面直线与P。所成的角,

求解即可.

法二：由(1)可得N5CN即为异面真线8c与P。所成的角，逆而求解即可.

【详解】(1)法一：如图，在线段50上取一点E,使得BE=2ED,连接尸E.

22I1

由己知8尸=2PM得，且尸£=一历。=一又一力。二一力。.

3323

在线段CD上取一点尸，使得。尸=2/C,连接产区。尸.

由已知力Q=20C得。尸〃力。，且0「二；4。，

所以PE=0F,且PE//QF,因此四边形?勿'。为平行四边形，

所以PQ〃EF,又产。(2平面4CQ,平面6CQ,所以P。“平面4CQ.

法二：如图，连接/P并延长交4D于点N,连接NC.

因为M是4。的中点，且丽=2而，所以「是△力8。的重心，

所以N是8。的中点，AP=2PN,

又因为4Q=20C,所以PQ//NC,

又NCu平面8CQ,尸平面5c。，所以尸。〃平面8。。.

(2)法一：由8C_LCZ),N8Z)C=60。，不妨设CD=f,则M=2.

延长EF,BC交于点、H,由(1)知，PQHEF,

如图，则/月即为异而百线8C与尸。所成的角.

所以SE/7为等边三角形，即NEF0=NCP〃=6O。，从而NBHE=30。,

即异面直线8c与PQ所成角的大小为30。.

法二：由(1)知N是80的中点，目PQHNC.

则28CN即为异面直线与P。所成的角.

因为4C_LCANAOC=60。，N是的中点，所以△CZW为等边•.角形，

从而4CV=30。，

即异面直线8C与P0所成角的大小为30。.

3.如图，48为圆锥尸。的底面直径，点C,。为底面上前的三等分点，点M,N分别为产力，心的中

点.

(1)证明：MV//平面尸CO；

(2)若48=4,PA=2五,求直线4C与8W所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

20

【分析】(1)证法一：连结OC,OD,由已知可证得△OC。为等边三角形，则可得CD///8//MV,利用

线面平行的判定，即可得证；

证法二：连结OC,OD,取CZ＞中点Q,连结。。，OP,以。为原点，建立空间直角坐标系，设08=2,

PB=2五，可得加=(0,2,0),求得平面PCZ)的一个法向量访=(2,0,-6),可得言.赤=0，即而1加,

即可得证；

证法三:同证法二建立空间直角坐标系,可得而=(0,2,0),荻=(0,2,0),则得诙〃丽，进而得CD//MN,

利用线面平行的判定，即可得证；

(2)解法•：同(1)中证法二建立空间直角坐标系，可■求得蕉=卜百,1,0),丽=(0,-3,1),利用坐标

运算即可求得直线AC与BM所成角的余弦值；

解法二：连结C8,由余弦定理可得4c2=12，则8c2+/。2=力4，由勾股定理的逆定理可知8CJ.4。,

__,(3)

以C为原点，建立空间直角坐标系，可得衣=(2,0,0),=再利用坐标运算即可求得直

线4c与创/所成角的余弦值；

解法三：连结。c,连结OP,可取｛6i,反，而｝为空间中的一个基底，利用向量线性运算可得

I——I)——IL,.AC,BM

ACBM=-3^/。=2.BM=W,设异面直线与a，W所成角为6,由cos。=』」计算即可

111AC^BM

得到直线AC与BM所成角的余弦值；

解法四：连结OC，OQ,可得ACHOD,取4Vp打点E,连结OE,则OEI/BM,则直线力C与8W所

成角即为/£0。或其补角，在A/O石中，由余弦定理可求得OE,过点、E作EF//OP,交,连结

FD,ED,可求得ED在近OE中,由余弦定理即可求得直线力C与刚/所成角的余弦值.

【详解】⑴证法•：因为M,N分别为尸力，尸3的中点，所以MN"AB,

连结OC,OD,因为点C,。为力的三等分点，

所以Z.A0C=Z.COD=60,^OCD为等边二角形，

所以NOCO=60=//。。，而以CDUAB/IMN,

又MNa平面PC。，CZ)u平面PC。，所以MN//平面PCQ,

所以N/OC=NCOZ)=60,，AOCD为等边三角形，

所以NDCO=6(T=N/OC,所以CO//48,

取CO中点。，连结。。，。尸，则。01cO,OQLAB,OPl'Y^ABDC,

又,45u平面力8。。，所以。尸1,48,

设。8=2,PB=2C，则00=2,

以。为原点，。。，OB,。尸所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则£>(-73,1,0),P(0,0,2),

所以定二卜右,-1,-2),CD=(0.2,0),

又点M,N分别为尸力，用的中点，则”(O,T,l),N(0,1,1),

A/iV=(0,2,0),

设平面PCO的一个法向量为折=(.q,%zj,

所以而.丽=(石，乂,zJ(0,2,0)=2乂=0,则必=0,

?

w/C=(x1,jrzl)-(->/3,-l,-2)=-V3x1-yl-2zl=0,

取』=2,z]=-75,可得玩=(2,0,一6)，

所以而•砺二0，即前上而，

又MN<z平面P。，CZ）u平面P8,所以MN//平面PCD,

证法三：连结OC,0D,因为点C,。为余的三等分点，

所以N4OC=NCOQ=6（r,△OCD为等边三角形，

所以ZDCO=60=N/OC，所以CD//AB,

取CO中点。，连结。。，OP,则O0_LC。，OQLAB,。尸J.平面力〃。。，

所以OP_L48,又04=2,PB=26，则0尸=2,

以。为原点，。0，05,OP所在的直线为人，V,z轴建立空间直角坐标系，

则6,一1,0）,D（-V3,l,0）,M（0,-l,l）,D（0,l,l）,

所以丽二（0,2,0）,MV=（0,2,0）,

则丽=加，所以加//砺，由四点不共线，易得CD//MN,

乂A/N<z平面PC。，CDu平面尸S,所以MN//平面PCQ.

（2）解法一：取CO中点。，连结OP,则。。_LC。，00A.AB,

。尸_L平面月HOC,又月3u平面力C,所以。尸"L//8,

乂。8=2,PB=2g,则O0二2

以。为原点，。。，OB,O尸所在的直线分别为X,V,z轴建立空间直角坐标系,

则。卜6,7,0）,4（0,—2,0）8（0,2,0）,M（0,-1,1）,

所以就=卜石,1,0）,B；W=（0,-3,l）,

|力。则33M

设异面直线力C与AW所成角为/则cos〃=

|jC||BA7|-2xVw_20

即直线力C与BM所成角的余弦值为题.

20

解法二：连结CB,^AOC=60\△。力。为等边三角形，所以NCO=6（T，

在小川?。中，由余弦定理可得

BC2=AC2+AB2-2ACAB-COS60°=22+42-2x2x4xl=12,

2

则8c2+402=48，由勾股定理得逆定理“J知1AC,

过点C作直线因为。尸，平面/8。。，所以/J.平面43OC,

以C为原点，CA,C8所在的直线为*,V轴，/为z轴建立空间直角坐标系，如图,

C(0,0,0),力(2,0,0),8(0,2jJ,0),

所以衣一（2,0,0）,西=

TCBM33后

设异面直线4C与3M所成角为4则cosO=

两网-2x710-20

即直线AC与BM所成角的余弦值为处.

20

解法三：连结。C,因为点c,D为；B的三等分点，所以//oc=6（r,

连结O尸，贝IJO/JL平面48OC,所以。尸Oh04,OP±OC,

乂。8=2,PB=2历'则O尸=2,

取｛万，瓦，而｝为空间中的一个基底，可得：Op.O4=0,OPOC=0,

OAOC=2x2xcos60=2，

又就=灰-8,BM=OM-OB=^OA+^OP+OA=^OA+^OP.

JC-5A7=（0C-O4）^|a5+1<7P^=|x2+O-|x22-O=-3,

所以|可=^oc-OA^=22+22-2x2=4,

瓯2=（：5+；丽）=1X22+-JX22+0=10,

所以|阿二2,|丽卜布，

ACBM3_3如

设异面直线AC与8H所成角为，.则|cs0|=

同的一2x加一20

即直线4c与BM所成角的余弦值为巫,

20

解法四：连结。。，OD,因为点C,。为力的三等分点，所以N/OC=NCOQ=6（r,

△JOC为等边三角形，所以N4CO=6（T=NC。。，所以力C//OZ）,

取,4历中点E,连结OE,所以0E为zUZM/的中位线，OENBM,

所以直线力C与BM所成角即为NEOD或其补角，

乂OPJ.平面48OC,所以OP_L/I8,

又。8=2,PB=2五，

则0P=2=",ZPAO=45°，

在△4OE中，由余弦定理可得

V2=5

OE2=AE2-^A02-2AEAO-cos45°+22-2X

~T~2

过且E悍EFUOP,交力8于尸，连结E0,ED、则"'_L平面4BOC,

在DOE中，由余弦定理可得

OErOD'-ED?

cosZEOD=

20E0D

所以直线—所成角的余弦值为嚼

4.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在以44,C,"瓦尸为顶点的五面体中，四边形48C。与四边形COM

均为等腰襟形，ABHCD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4、AD=BC=M、AE=2不，M为CD

的中点.

AB

EF

（1）证明：平面4BCD上平面CDEF；

（2）没点N是内一动点，而.丽=0,当线段4V的长最小时，求直线EN与直线8厂所成角的余弦

值.

【答案】（1）证明见解析

喈

【分析】（1）取。"的中点为O,连接O4OE,即证4O_LOE,4O_LDH,EO_LQM,利用面面垂直的判

断定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，由向量的数量积为0,确定N的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，最

后由利用夹角公式即可求解.

【详解】（1）取的中点为O,连接。4。后，

由AEMD是边长为2的等边三角形，/\ADM是以4。=4M=8。=J记的等腰三角形，

所以,OD=-DM=l,DE=2,

所以C4=，力0]-。。：=3,OE=dDE2-OD2=G，所以《。2+。£2=月〃2,

所以041OEQEcDM=O,OEu平面CDEF,DMu平面CDEF,

所以。4_1_平面。。£7"又04u平面力BCD,所以平面/14CQ二平面COM；

（2）以。为坐标原点，分别以。瓦。。,。力为工，乂z釉建立如图所示的空间直角坐标系,

所以4（0,0,3）,七（石,0,0）,"（0』,0）,8（0,2,3）,尸（6,2,0）,

当点N是内一动点，且而•丽7=0，则点N在以DW为直径的圆上,

当线段4V的长最小时，点N在/（O与圆的交点处，所以N（0,0,l）,

所以丽=（々5,0,1）,而=（行,0,-3）,

设直线可与直线所成角为，，

所以8s啊8S例丽〉|=1猫邛,

所以直线EN与直线BF所成角的余弦值为正.

♦题型二求直线与平面的夹角♦

【技巧通法•提分快招】

□丁靠残法录-纸而扁一（相祢直接族一）二j

|（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面。做垂线，确，

II

，定垂足o；i

,i（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影B0与斜线AB之间的夹角为线面角；j

1（3）把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

口、公式法求线面角（也称等体积法）：

：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

II

I公式为：$加2,其中。是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，/是斜线段的长.

II

1方法：已知平面夕内一个多边形的面积为S,它在平面。内的射影图形的面积为S射影，!

Ii

!平面a和平面广所成的二面角的大小为。，则COS吟与这个方法对于无棱二面角的求解很简便.J

Ii

：3、直线与平面所成角：设E是直线/的方向向量，值是平田。的法向量，直线与平面的夹角为依则:

Isin。=cos<

I.如图I,有一边长为2的正方形纸片力BCQ,正是4。边中点，将沿直线8E折起至/8E位置.，此

时恰好4EJ.HC,点H在底面上的射影为。（如图2）.

（1）求证：EO1BC；

（2）求直线4C与平面ABE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵4

2

【分析】（1）由题证明8cL平面HOE即可；

（2）延长交8c于点尸，则广为8c中点，连接QT,可得△尸才后为直角三角形，△4BC为正三角形,

然后由等体积法可得答案.

【详解】（1）由题有乂/fE_L4C,A'E^A'B=A',A'E,ABu

平面HAC,则/'E_L平面,AC,又8Cu平面4BC,则/'E_LBC.

因4在底面上的射影为O,则/。1平面8CDE,又8Cu平面BCQE,则/O_L〃C.

因4E,HOu平面HOE,/f£n/l'O=H,可得8c_L平面HOE,又EOu平面4OE,则E0J,8C；

（2）延长EO交8C于点尸，则尸为8c中点，连接4',由HE_LH8，

AELBC,易得△4'£为直角三角形，/FAE=g

由对称性知A/fBC为正三角形，所以4/=百，乂律=2

所以」HO.ERJ/NJE尸-］尸=>4。=且,NFEAJ.

2223

设点C到平面/8E的距离为力,4'C与平面/8E的所成角为尸,

11_.VJ11_,,

Krc^=-x-x2x2x—^.=-X-X2X1X/,

4cfflfJ47

因为^C-A,BE=匕JC8E,所以力=V3,sin/?=—y—=•

图7

2.（2025•陕西西安•模拟预测）如图，在四棱锥尸-力〃。。中，底面48cz＞是边长为4的菱形,

C1

NBAD=T，4_L平面48CO,点、E为PC中点、，点F,G分别在棱PQ,力。上，且PFqFD,

JJ

AC=-GD.

（1）证明：AD1EF；

（2）汜三棱锥E-PEG与四楂锥尸-/8C。的体积分别为匕，匕，求?；

2

（3）若尸力=2,求直线E•产与平面P8C所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

哈裔

⑶噜

【分析】（1）根据线面垂直的性质可得/G_LM,利用余弦定理以及勾股定理可得G〃_L4D,进而由线

面垂直求证得解，

（2）利用等体积法以及相似，即可由锥体的体积公式求解，

（3）建立空间直角空标系，求解平面法向量，进而利用向量的夹角公式求解.

【详解】（1）因为相=；尸。，.4G=gG。，所以尸G〃尸力，

因为产力_1_平面/4C力，所以尸G_L平面力AC力，

因为力Ou平面力4CO,所以尸G_L/1。，

取力。中点〃，因为七为尸C中点，所以E//〃PA,因此即〃FG,

则E,F,G,，共面，

因为四边形力4CZ＞是边长为4的菱形，NBAD=?27,1

所以在△4G”中4G=I,47=2,/GAH.,

所以GH=，国+心-2/GX/Hxcos^=5故AG2+GH2=HH"

所以G〃J_/Q,

因为尸GDG"=G,FG,GHu平面EFGH,所以力OL平面EFG”

因为Mu平面E尸G”,所以力Ol"\

113

(2)由PE=-PC,PF=—PD,GD=—AD,可得

244

匕=^F-PGE=—E-PGF=^C-PGF=］“彳^C-PGD

1133313

=8^=iX4^=5i^=^XIK2=Mr-

V.3

所以K

(3)取8C中点“，连接力M,由题意可得4W,AD,两两垂直，以点A为原点，AM,AD,AP

所在直线分别为x轴、V轴、z轴，建立空间直角坐标系.

则,4(0,0,0),5(2^,-2,0),C(2屈2,0),P(0,0,2),网鱼1,1),尸［0，［'

\乙)

£?=f-V3,0,ij,尤=(0,4,0),PC=(2>/3,2,-2).

HBC=O4y=0

设平面尸8。的法向量为万=（x,y,z）,则有，_,得

iiPC=026工+2y-2z=0

取“百，得万二（1,0,石），

设直线EF与平面PBC所成角为。,

1X(-V3)-FOXO+V3X1

\n-EF\屈

则"n°=同研=~^6~,

I2+02+

所以直线E户与平面尸8c所成角的正弦值为返.

26

3.（2025・湖北武汉•模拟预测）在三棱柱48。-44G中，底面48C是正三角形，A.AVBC,4c148.

4G

力?

B

（1）求证:AtA=AlB=AiC；

（2）若乙4/6=/44C=45°,且月3=2,求直线4a与平面力/田君所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵竽

【分析】⑴先证得点4在平面48。内的射影。是△MC的中心，进而证得44=48=4。；

（2）法一先作出直线"G与平面.44瓦8所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐

标系，利用空间向量即可求得直线/G与平面/所成角的余弦值.

【详解】（1）过点4作40,平面力8c于点。,8Cu平面48C,所以4OJ_8C,

又AA,1BC,AA,c4。=4,，40u平面A.AO,

5CJL平面44。,力。U平面444C1/。，

同理可证46_LCO，又△44C是正三角形，则。是A/IA。的中心，

连接40,CO并延长交8C,AB于E,F,则E,产分别为8C,48的中点,

又BC1平面AAO,AXEu平面440，：.BCLA}E,故A】B=Afi,

同理可证48=44，

综上，4/=4B=/。.

（2）法一：由（1）知，三棱锥4-力8c是正三棱锥，

且4在底面ABC内的投影为等边△/4C的中心。，

乂jB=ZJ.JC=45°,故三棱锥4-44C的三个侧面

均为直角三角形，

且//48=/84。=/力4。=90"则4七=444，又48=2,

222

可知40=毡,£0=4，plijAfi=y]A]A-AO=yjA^-EO,

解得44=近，在平面4/CG中过G作GM"4C,

交,⑼延长线「点M,则G"_L平面

则NC/M即为直线4G与平面力4q8所成角，其中

AG=M,A、A=HAM=2血,

“AM2J22J5

故cos/GAM=---=—==----

Vio5

AC}

即直线力G与平面力/£8所成角的余弦值拽.

法二：以AC的中点E为坐标原点，以E/,E8为x,y的正方向,

过E且与平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设平面AA.B}B的法向量为万=(x,y,z),

因为方=(-6,1,0),刀;=

ABn=-y/3x+y=0

则一2辨V6“，取z=l，则万

AA•〃=-----xH---z=0停当

।}I

133

又JC]=AC+CCj=AAl+AC-

设直线4G与平面44与8所成角为。，Oe0,；,

所以sin/="|g|=16=。,故COS8=2^£,

同卜G|55

即直线4G与平面AA.B.B所成角的余弦值半.

4.如图所示，在菱形14。。中，48=4,/4/。=60。，瓦厂分别为力。,48的中点，EFC\AC=O,BDryAC=G,

将△/!"'沿E/翻折，使A到/处，VC=2瓜.

（1）证明：PCJ_平面小/；

（2）求形与平面ACDE/所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析

⑵手

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定，结合勾股定理逆定理推理得证.

（2）结合（1）的信息可得平面即CJ_平面法1,利用几何法求出线面角的正弦；法2,建立空

间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦.

【详解】（1）在菱形4?。。中，力8=4,/8%。=60。，则△历为等边三角形，VO=AO=5OF=\,

CO=3G，VF=AF=2,EF1AC,CF1=OF2+OC2=I2+（373）2=28,

于是P尸+/。2=22+（2布）2=28=。产，即少_LPC,

乂州+KC2=（V3）2+（2病2=27=CO2，则9_L仁，

而J午nJ/O=P,WJ£u平面阳L所以PC_L平面阳L

(2)方法1：由/为等边三角形，得POLEF,又七尸JL4C"CnPO=CWaCu'『|IiiPOC,

则EF±平面TOC,又EFu平面BCDEF,「是平面VOC±平面BCDEF,

在平面POC内过/作阳J_/1C于〃，连接8”,又平面POCCI平面8CDE尸=4C,

因此J/"_L平面BCQE/7,NP8H为P8与平面BCDE/7所成先，

在RtA-OC中，由=得.」0,“♦二乒》=2",

OC3V33

在中，OH=^VO2-VH

~T'

则GH=OG-OH=币-@=Z氏,

33

在RL^BG〃中，BHnJm+BG?=五+（半）2=半,

在Rt△烟/中，VB=/*+BH?=J（乎广+（乎＞=2&，

则sinZP8"=组=M=逅，所以“与平面BCDEF所成角的正弦值为由.

'VB27233

方法2：由△1//'为等边三角形，得9_L£F,乂即_14。,4。0r。=。,“),。。匚平面9。,

则E/_L平面POC,又EFu平面BCDEF,于是平面POC_L平面8COE/"

在平面VOC内过P作阳J.4c于H,因此VH1平面BCDEF,

在RSPOC中，由心•■C=F7/•比，得1^=丫0"°=由乂乎=乙网,

OC3V33

在Rt△丸归中，OH=WO2-VH2=J(百/一(鸣2=6,

V33

以。为坐标原点，宜线。£。。分别为'J轴，垂直于底面BCDEF\MmOz为z轴建立空间坐标系,

V

D

—

B

则平面4coM的法向量为方=(OQ1),点8(2,6O),P(O，¥，理)，丽=(2("一半)，

一一|迎

设出与平面BCDEE所成角为。，则sin6=cos❷的万同二"[=二L_=走，

51网同2>/2xl3

所明与平面BCDEF所成角的正弦值为今

5.我国古代数学名著《九章算术》中将图中几何体称为刍凭.现有一个刍爱如图所示，四边形/〃C。为矩

形，四边形为两个全等的等腰梯形，EF//AR,AR=4,EF=AD=7,尸是线段力。上一点.

—2—

(1)若点夕是线段力。上靠近点A的三等分点，。为线段C/上一点，且打？=]打?，证明：PW平面BDQ；

(2)若E到平面力4c力的距离为，小与平面ACT所成角的正弦值为誓，求"的长.

【答案】(I)证明见解析

(2)AP=\-—^(.AP=\+—

22

【分析】(1)连接CP交BD于点H,连接“。，通过比例线段证明丹V/“。，可得反7/平面笈。。；

(2)建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点的位置即可.

2

【详解】(I)连接CP交BD于点H,连接因为4O//8C,且PD=]AD,

所以生二生二殁二.

HCBCAD3

—2—FQ2FQPH

因为尸。=2/C，所以/=£，.听以掠=标，所以PFHH。.

因为“Qu平面A。。，PFz平面BQQ,所以尸尸〃平面〃。。.

（2）分别取4）,4C的中点/J,连接£7,IJ,FJ,

则〃〃48,g.U=AB,

因为四边形ABFE与四边形CDEF为全等的等腰梯形，

所以E4=ED=FE=FC,

所以四边形以不为等腰梯豚且所〃"，EF'AB'U,EIYAD,FJ工BC,

又因为40〃8C,所以E/_L4Q,

因为£7,用u平面EA7产，且以，R7为两条相交直线，所以_L平面石〃尸，

因为力力u面力88,所以48CQ/平面£7".

因为力"COD、『面比"二〃，

所以过K在平面上〃产内作〃的垂线，垂足为M,

31,

则EM_L平面力BCD,EM=Q,IM=5（U-EF）=l.

过M作〃力。，易得MK,M7,ME两两垂直，

以M为坐标原点，"K,M/,ME所在直线分别为x轴，y轴：z轴建立空间直角坐标系（如图所示），