平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理秒杀应用（5大题型）解析版-2026年高考数学一轮复习

平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理秒杀应用

（5大题型）

目录

01知识重构・重难梳理固根基.......................................................1

02题型精研・技巧通法提能力.......................................................5

题型一重心（★★★★★：...........................................................5

题型二外心（★★★★★）................................................................9

题型三内心（★★★★★）..........................................................15

题型四垂心（★★★★★；...............................................................20

题型五奔驰定理（★★★★）............................................................25

03实战检测・分层突破验成效......................................................32

检测I组重难知识巩固....................................................................32

检测II组创新能力提升...................................................................52

01J

知识重构-重难梳理固根基

一、三角形的重心

1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

在平面向量的应用：（1）设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有

Q+而+反=6或而二:（PX+而+玩）（其中P为平面内任意一点）；

（2）在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G（x,y）、

A（X1,yJ、B（x2,y2）,C（x3,y3）,则有G（占上兰士，让与上）.

二、三角形的外心

1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部：直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

在平面向量的应用：若点0是△ABC的外心，则|第|=|而|=|玩|或

（6A+6B）BA=（6B+OC）C3=（OC+6A）AC=O；

三、三角形的内心

1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心

2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等

②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

3、内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形

在平面向量的应用：若点I是AABC的内心，则有|瓦卜云卜市+|式西•元二0

四、三角形的垂心

1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

在平面向量的应用：若H是△ABC的垂心，则口屋而=丽.的=瓦./或

222222

HA+BC=HB+AC=HC4-AB

五、奔驰定理

1、奔驰定理：O是AABC内一点，且x6X+y65+ziX=d,,则%%：5^04：='：V：?

2、奔驰定理推论：。是AABC所在平面内一点，且xOA+yOB+xOA=0,,贝U：

①S&BCC：S少。c：S^ACB=X：y：Z

S&BOC|X।S1sApc]|SMOBIZ।

②SecTx+y+zl二叱』+.士1

由干这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.

3、奔驰定理的证明

奔驰定理：o是tsABC内一点，一且X•0A+>•OB+z•OC—0，则Smoc■SACOA：SMOB=x.y.z

已知。是A48C内的一点，△4OC,AJOC,A4O8的面积分别为SR，S「求证:

Sq/i•刀+4Szs•砺+Vs.(.•云=6

法一证明：延长。4与边相交于点。则年=专皿=裂2=*侬5吃^=1

DC^ACOD^ACD~^ACOD»

历=生历+处反=1」赤+—?」历

BCBCSs+ScSB+SC

OD_SBOD_SCOD_SBOD+ScOD_&OD=--J方

+

°”SROA^COA^BOAScOASR+S

CSR+SC

04=SB历+

sSB+SC%+Sc

/.SA.OA-¥SB.OB^SC.OC=^

法二证明:延长OA到OA1,OB到OBIQC到OC］使得，0A}=xOA,OBi=)，01。3=z02,0为△A|BQ

的重心.

B

Bf

、C1

SNOB-\OA^OB\s\n^AOB1

SMQB11Q4||sinNAQBi0

SwoC^\OA\\OC\sinZAOCJ

xz

SAJ0clg10A^||0CjsinZApCi

SA40Bi=xyS&4OB,

SA/iQG=xzS^AOCi

OB=xzSAJOC,

SAAOB_z

SAAOC~y

得证.

4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明

①。是的重心：SA0B=l:l:lodJ+OT+OC=6.

34BCSwoc:S^COA:A

证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得/取、：SMOA:=1:1:1o/+砺+3=。

②。是△/AC的内心：S^0C\S^C0A\S^0B=a\b\c<^>aOA+bOB+cOC=^

证明：SSBOC.=-ci-r,S^C0A=-b-r,='c•尸（尸为A/18C内切圆的半径），所以

S^oc:SAC0A:S^OB=a:b:c,再由奔驰定理可得aOA+bOB+cOC=6

③。是△48C的外心：SABQC:S„4;S/WQ8=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2coe=0.

证明：^oc=^|^|j^|SinZC0Bf由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得NC08=2N4,所以

=1|^|,|^|sin2/i=1/?2sin2A（R为A43c外接圆的半径），同理可得SA。】二;R?，

SNOBsin2C,所以：5.0彳：=sin24:sin28:sin2C,再由奔驰定理可得

AOA+sin24而+sin2COC=6

④。是△/出。的垂心：

S、8PC:S\cpA-S&IPB=tan4:tan8:tanC=tanAPA+tanBPB+tanCPC=0

PDPD

证明：如图P为△48C的垂心，则有tan4=—,tan8=——，所以:|49|=tan/:Ian8,所以

ADBD111

S&BPC:%pc=•忸:l|CP|-pZ)|=|^D|:|^|=tanJ:tanB,同理可得九8：S*=

tan:tanC,所以:S.。：=tan4:tan8:tanC,再由奔驰定理可得

SMPC:SM，PA-SMPB=tanJ:tanZ?:tanC<=>tanAPA+tanBPB+tanCPC=0

02

题型精研-技巧通法提能力

♦题型一重心♦

【技巧通法・提分快招】

设G是AABC的重心，P为平面内任意一点.

(I)GA+GB+GC=0

I~~,・・・・I.,.・.•''1・1.,■,—■•1・1..

(2)PG=-(PA+PB+PC),AG=-(AB+AC),BG=-(BA+BC),CG=-(CA+CB)

3333

(3)若g十斤),％e[0.+8)，则G点的轨迹一定经过三角形的重心.

(4)动点尸满足方=0力+4(方+就)，4£(0，+8),则尸的轨迹一定通过△力8。的重心

而衣

(5)动点P满足。。=。力+义/le(0,+8),则动点P的轨迹一定通过AABC的

卜8卜in4|jc|sinC

重心

1.(2025・吉林・二模)在△/BC中，点。为〃5的中点，点。为△力8c的重心，则方+砺=()

A.COB.ODC.2COD.2DO

【答案】A

【分析】结合重心性质与向量运算化简可得.

【详解】

c

如图，连接CO,因为点。为△力8c的重心，

则。为CO的三等分点，且CO=2OD,

所以厉+砺=2历=由，

故选：A.

2.（24-25高三下•湖南长沙•月考）空间内有五点力，P,Q,S,T,则而卜曰肝+万+布卜是“。为

重心”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件

【答案】D

【分析】由。为△尸sr重心时，可得»+斯+行=0,计算可得匹卜!府+在+万反之，举例可说

明不成立.

【详解】当。为△雄『重心时，可得/+不+07=0,

所以万一羽+万一血+万一硬=0,所以3羽=而+石+万，

所以而=1万+万+万），...园=g府+万+村成立；

设-而=；（万+汨+万），如图所示则Q可不为△尸sr重心.

所以而卜;|"+旃+万卜是'。为心丁重心”的必要不充分条件.

故选：D.

3.设G为△48c的重心，且J7Gsin/l+3而sin8+3j7元sinC=6，则角4的大小为（）

A.30B.45°C.60D.90°

【答案】B

【分析】由三角形重心的性质可得出JYsin4=3$inV=3j7fiinC=l»

由正弦定理的角化边公式化简得出a=3c,〃=小，再由余弦定理求出/以

【详解】•.•J7sin/bG+3sin8•而+3j7sinC・G?=0,又G是△48C的重心

•••G7+G万+&；=0，观察类比得：近sin4=3sin8=3gsinC，

由正弦定理知：出a=3b=3@c，则。=3c,b=Mc，

10。2-7,2=3c2J

即得B

cos2x3-c2-67=2

v00<<60°,，2=60。

故选:B.

4.已知△/&7,。为平面内任意一点，动点P满足5而=[(2+4)刀+(2+/1)赤+(1-24)方],则点尸的

轨迹一定经过()

A.△力AC的内心B.ZUAC的垂心

C.△48。的重心D.的外心

【答案】C

【分析】取力8中点为。，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断.

【详解】先设48的中点为。，则2砺=工5+方,

又因为5而=[(2+/1)方+(2+2)砺+(1—2/1)反]=[(4+24)历+(1-24)方],

而(4+24+(1-2/1)=5,

由三点共线的充要条件知RC。三点共线，

则点尸的轨迹一定经过△力8c的宣心.

故选：C.

s

5.已知G为△*3。的重心，过G的直线分别与边交丁点RQ,则萨丝的最小值为1

c.5

【答案】A

【分析】根据题设条件•，利用在，刀表示就，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式

11

〃?=豆，〃=可匚万，利用三角形面积公式得出所求比值为3m,利用基本不等式求最值即可.

【详解】

如图，延长4G交8CF点。，因为G为△力8c的重心，所以点。是8。的中点,

则而二|而=：x；(方+码=；方+"祝，

因为RG,。三点共线，所以可设而=4万+(1-2)而

设AP=mAB.AQ=nAC,则力G=AmAB+(\-A)nAC,

所以痴=(T)〃j即吁盘〃=启，

乂因为G为MBC的重心，所以S&BGC=|S“BC，

o尸||/Q|sin/P4Q

所以汩丝=产丝=3乂巨山=3x-------1=3〃〃7,

SgGC_£S"8c1|/15|pC|sinZ.BAC

30.,ABC

■.11.1I4

3mn=3x—x------=------->—

因为323(1-2)3A(l-2)NOTT3,当且仅当4二；时，等号成立,

3

2

所以白丝=33，的最小值为

'△BGC3

故选：A.

6.已知也力“。为等边三角形，点G是△力8c的重心.过点G的直线/与线段48交于点。，与线段4C交

于点E.设诟=%方，~AE=//JC»则＜+,=.

【答案】3

【分析】连接"并延长，交BC于F,结合已知有而=」而+J而，再由三点共线即可得.

【详解】连接力G并延长，交BC于F,如图所示,

A

由题意得，/为8。中点，所以不=聚而+农），又G为重心，所以衣=：而,

所以|而=；（而+衣）=（而+/荏，即就=》而+七荏，

因为。、G、E三点共线，所以J+丁=1,即4+'=3.

323〃ZR

故答案为：3

♦题型二外心♦

【技巧通法•提分快招】

|⑴河|二|西二|两O加=砺2二反2

i

|（2）（而+砺）・刀=（。豆+反）.比=（厉+1）.就=0

i

_____.、

I（3）动点尸满足丽—+厂,2£（0,+m）,则动点，的轨迹一定通过△N«C

2（J件cos8|//C|cosC

I

i的外心；

i

1.设。是△/8C所在平面内的一点，若4B（CB+C4）=2ABCP,且|/。|=|。尸1，则点尸是△力5C的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】取力4中点。，根据条件化简得所以点P在力8中垂线上，所以网=|网=|园，所

以P为三边中垂线交点，即为△48C的外心.

【详解】

r

如图，取力〃中点。，

:.CB+CA=2CD.

丁'AB（CB-¥CA）=2ABCP,

:.~AB2CD=2ABCP^

2Z5（CD-CP）=0,

:.而.丽=0,

/.AB±PD,

..点尸在48中垂线上.

.•.网=网又网=|可，

所以网=|丽卜网

.•.P为△力8c的外心.

故选：A.

2.已知在△力8c中，8C=6,G,。分别为△力8c的重心和外心，且丽.团=6,贝必力"的形状是（）.

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.上述三种情况都有可能

【答案】C

【分析】作△力的边4c上的中线力。，过点G作GEtBC于点E,过点A作/3c于点〃，根据数

量积的几何意义可得QE=1,结合重心性质可得点〃,。重合，从而得解.

【详解】作△力8c的边8c上的中线力。，

因为。为△44C的外心，所以OD±BC.

因为G为△力8c的重心，所以QG=go4.

过点G作GfJ_BC于点E,过点A作4HJ.BC于点H.

由丽灰=6及BC=6,由于瓦为力在后心方向上的投影向量，

由数量积的几何意义，得OE=1.

A

由GE〃AH及DG=；DA,得DH=3.而2X7=3,

所以点”,C重合，故力C18C.

故选：C.

3.在。中，4B=4,AC=3,4=1,点O为△48C的外心，若方=2万+〃%，2.〃eR,则

A,=

【答案】1

【分析】根据给定条件，结合外心的性质及数量积的运算律，列出关于4〃的方程组求解即得.

【详解】令边力8,4C中点分别为。，E,连接。O,EO,

由点O为△力8。的外心，得EO1AC,祝•刀二|祀，彳同cos4=6,

M='AE+Ed=^'AC+Ed,AOAC=（^AC+EO）AC=^AC2=1,

依题意，行•布=（%而+//正）♦茄=义而，+/急•刘=164+6//=8,

而•衣二（%而+"X）•充=/丽•亚+〃k=6%+9〃=g,

所以人吟5,吟2.

故答案为：.

4.在锐角△XBC中，内角4民。的对边分别为a,6,c,44二:，。为其外心.若△力8c外接圆乂径为/?,且

里”方+%£.正=_!_.在而，则用的值为

ch2R

【答案】G

【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知在•前存（=；。2,AC-AO=^\AC^=^b2,然后化

简已知等式，得到加的值.

【详解】由题意可知方.言-阿园cosNZMO

---------1—21,

同理可得/。4。=一<。=_*,

22

.w.初加暇於也京加

COS51COSCI,21c2

---------c2+----------b~=-----mR,

2b22R

ccosB+bcosC-mR,由正弦定理Z>=2及sin&c=27?sinC,

sinCcos5+sin5cosC=sinJ=—

2

M=2sin4=2sin60°=石.

故答案为：G

—2—1—

5.已知。是△力8C的外心，AO=—AB+—AC,则cos4=

【答案】

c.八

——=cosA>0,

由前=1而+g祝，分别与向我方，衣点积，即可得到，

【分析】2从而求出cos4的值.

5b,八

一=cos力>0,

4c

——2—1—

【详解】由力。=三48+不力（7,又。是△4?C的外心,

JJ

______9_______i______2,1「

加•血二二砺万+一衣•方，-c+—8ccos4

~2~55

得―即

b2

AOAC=-ABAC+-ACAC,—b'+—bccosA,

55255

——=cos4>0,

从而有

-=cosA>0,

所以cosZ=1,cosJ=—.

84

故答案为：业.

4

*+r2

6.如图，已知。为△力4c的外心，内角4£C的对边分别为4»,c.若COAB=BOCA，则，=

a~

【分析】由向量数量积的运算可得2cosNCO8=cosNC。/+COS/4O8，再根据正弦定理及二倍角公式化解

可得.

【详解】函.万=丽石=1•（前+丽卜丽•（1+刀）

<=>2OC-OB=0力.（OC+OB）<=>2cosNC。?=cosZCOA+cos/AOB,

乂乙AOC=2B,/BOA=2C,ZBOC=2A,

1-cosZ.AOC\-CQSZ.BOA

大匚协小础组sin25+sin2C2+2

由正.弦定理得——=-----r-------=-----------1…'---------------

a-sin-A1-cos/BOC

2

2-cosZ/4OC-cosZBOA.

1-cosZBOC

故答案为：2.

7.（24-25高三上•天津河北•期中）已知△力8c中，点G,。分别是△力"的重心和外心，且而•而=4,|而卜2,

则边4c的长为.

【答案】273

【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得益2+正2=24,再由三角形法则计算可求出4c

的长为26.

【详解】延长47交4C于点。，连接OD,作OH_L4C于点〃，则。〃分别为次?,。的中点，如下图所

示：

A

H

IG\P

BL-------1~~~

易知抚・河=|祀”而卜osZOAC=|JC||^77|=||JC|\

同理可得益.力5=;网，

由重心性质可知就•彩=|而•而=|xg（而+农）•前二；（而+元）•彩=：（荔二+万］=4；

所以—24；

又画二g而卜3,即由卜gW+就卜3,可得皿+泪=6：

所以|万十%」二方'+抚?+2万・k=36,可得赤.刀=6：

因此前2=|JC-J52=JB+AC2-2ABAC=n,即回卜2、自.

故答案为：2G

【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之

间的关系，再由。不卜2即可得出结果.

8.记ZVIAC的三个内角4SC,且力B=4,/1C=6,若。是A4?。的外心，4。是角A的平分线，。在

线段〃。上，则疝5.茄=.

【答案】12

Dr\?

【分析】由角平分线结合等面积法可得▼=;,再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分

BC3

解为共线向量和垂直向量即可求解.

【详解】•.•力。是角A的平分线，D在线段6c上，且，AB=4,AC=6f

c-AB,AD,sinZLRAD.-)

S^BD_2_ABD_2

设△ABC的高为/?,由等面积法得

SCCD-ACADS\T\ACADAC3

2

S"CD_LBChBC3

2

.-.^5=j5+^5=Zs+yBC=Z5+-(^c-Zs)=-Z&+-Jc,

过点。作垂线分别交48,NC于瓦尸,由外心性质得分尸分别为的中点,

：.AOJD=Jd(-AB+-AC)=-AdAB+-JdAC.

5555

3———2———

=-(AE+EO)AB+-(AF+FO)AC

3----------3----------2----------2------------2436

--AEAB+-EOAB+-AFAC+-rOAC--+--\2

555555

故答案为：12.

【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是首先利用角平分线的性质得到空=］，再利用外心的性质将部分

BC3

数量枳转化为0计算即可.

♦题型三内心♦

【技巧通法・提分快招】

（I）\A8\PC+\BC\PA+\CA\~PB=0（或a向+8而+c京=。）

其中Q,C分别是zMBC的三边BC、AC、AB的长

（2）万=短垂_+善）义€（0母），则P点的轨迹一定经过三角形的内心

\AB\\AC\

（注：向量“扇+向）（/IWO）所在直线过A/18c内心（是/8/C角平分线所在直线））

⑶动点P满足而与+《会毫，3。收皿的轨所定通过△印的内心

1.设G为△力4c的内心，AB=2,AC=4,CB=3,'AG=xAB^)^C,则x+y=.

Q

【答案】I

【分析】根据G为的内心，可以得到等式3怒+4而+2m=0，由而，阮，国分别表示方,

就，得到关于急，而，否的等式，令两个等式相对应的系数相等即可.

【详解】插入分点G,得就=xM+j，前=X前+工荏+)历G+yG?,

EP(x-l)^G+(^-x)5G-^CG=O,

又3就+4蔗+2且=6・从而有得％=:，丁=1，

.8

所rr以x+y=§,

o

故答案为：

2.已知△48C,P为三角形所在平面上的一点，且点?满足〃成+力而+c京=0，则P为三带形的

().

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】由题可得»=可得点P在NBAC的角平分线上，同理点P在ZABC的角

平分线上，可得尸为△4BC的内心.

【详解】因为q苏+力而+c京=6,

=aPA+b^PA+48)+c(P4+AC\=0,

n[a-\-b+c^PA-\-bAB+cAC=6

=>=―!—(bAB+cAC\

a+h+cx7

所以点P在NBAC的角平分线上.

同理可得：点P在/48c的角平分线上.

所以点尸为△48C的内心.

故选：B

3.设△48C的内角A,R,C的对边分别为〃，6,c.尸是"BC所在平面上的一点,

户示丽方•珍+空苏2=£丽•玩+伫£•而:,则点尸是△力8c的()

bbaa

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

【分析】条件可转化为苏万=£西•配，BAPB^-PBBC,结合数量枳的定义证明

ba

NPAB=/PAC,/PB4=NPBC,由此确定P的位置.

【详解】因为力.丽,苏•正+三方，方・1+一丽2,

bbaa

所以苏.丽一市二滔•（正_再）,PAPB-PB'=-PB-[PC-PB）,

即方•方=£苏•衣,'BAP'B=-~PBB~C,

ba

所以|西卜cosN44=j两万cos/P/C,

pqpcos/PBA=—|p5|-acos/PBC.

所以cos/PAB=cosNPAC,cos/PBA=8s/PBC,

又4PAB,/PAC,NPBA,/PBCe[d,可，

所以/PAB=/R4c,NPBA=NPBC,

所以尸在NBAC的平分线上，P也在/45C的平分线上，

所以点尸是“BC的内心.

故选：C.

4.在△力8c中，角力，B,C的对边分别为。，h,c,/为△44C的内心，若acosB_bcosA=c_b,且

AI=-7B+-7C,则％的值为1）

33

A.36B.6C.3-百D.26

【答案】D

【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到sin3=2sin&os力，求得88二:，得到A的值，再

2

由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得苏+加历+c•记=6，结合题意，得到a:6:c=l:曰:（，

即sin/1:sinB:sinC=1:@:,进而求得几的值，得到答案.

33

【详解】0%acosB-bcosA=c-b,由正弦定理得sin/lcos8-siMcosJ=sinC-skb5,

又因为sinC=sin（J+B）=sinJcos5+cos/lsinfi,

可得sinZ?=2sin/?cosJ,解得co&4=—,

2

因为/£（0,7t）,所以4=];

如图所示，设S，*=S，S//c=S2，a”,=S3,延长⑷交于点Q.

,cc_cc

BDS_°aABD_6&AIB

则—=~'

JCDS

\ACDS/CDSJCD—S.m^AAIC

BCS+SS3+S,BCS,+S3

所以而"飞AIB「AIC同理可得而;丁

过且D悴DEinC.DFHIB,

则而善而喂万嘿京S,•而+—^—.1c

S2+S3S2+S3

IDScmA

又由五3S^BID_,所以而=—.万

Sm/cs«桢s?+

s_s_s_

所以-「=历+丁=工，可得-Sj/=S2•厉+卜后,

»■）+J3+»3J.+J?

即‘刀+s?•而+S3•元=6,

因为/为WBC的外心，设AABC的内切圆的半径为r,

可得：忸。“刀+J/C”•历+；|彳外…7?=0,

可得忸C|刀+|〃?|•岳+»斗无=6,即°刀+6.而+c•元=小

又因为力=巫岳+4右11PZ4+—75+-7c=O,可得a:6:c=l:近：4,

33333

由正弦定理得sinJ:sin/?:sinC=1:―:—,

33

乂因为力=三，可得Sin8=:，因为BRO"）且力＞〃，所以4」，可得C=£,

3262

.7C

siiU3/IsinCSini2邪厂

所以「:="7，可得；=—;=--=—.2=273.

sinCA3sin/i；sin兀一

3

故选：D.

5.（24-25高三上•河南驻马店•月考）（多选题）已知。是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点

0,下列说法正确的是（）

A.4。在荏方向上的投影向量的模为2

B.刘•茄=8后

C.回+邳竽

D.若。为△力8c外接圆上任意一点，则|可+方+正卜

【答案】ACD

【分析】对A,根据向量投影的定义可判断；对B,根据向量数量积可判断；对C,根据平面向量运算可判

断；对D,根据向量运算性质可判断.

【详解】对A,因为△44。是边长为4的正三角形，内心为点0，所以可得

BD=AD=2,CD=200D=­,OA=OB=OC=—,NBA。=NOBD=30,，

33

则与0在刀方向上的投影向量的模为|而kos40BD=半cos3004百石

=----------=

32

故A正确;

对3,万.忿二|而，而卜os/"O=4x苧x曰=8,故B错误;

对C,|丽+而卜|丽+丽+而+万司=2|加卜竽，故C正确:

对D，根据题意可知。也为△48C的外心，

所以国+方+正卜同+万+丽+丽+而+因=3困=3x竽4R=40,

故D正确.

故选：ACD

6.（多选题）△,4〃C的内心为尸，外心为O,重心为G,若|/司=|/。|=5,忸。|=6,下列结论正确的是

()

3

A.△力4C的内切圆半径为，,=/B.6PA+5PB+5PC=Q

D.|OG|U

C.604+50ff+50C=0

【答案】ABD

【分析】取8c边的中点E,得内心人外心O、重心G都在中线4E上，且AE_L8C,由三角形面积相等

求出，•可判断A；求出方=-（可可判断B：由余弦定理得C0S.4,平方关系求出sin/1,

得△,4〃C的外接

圆半径|40],利用方=-《总可判断C；利用|O3=|4O|T』G|可判断D.

【详解】取8C边的中点E,连接力七，

因为M同=|力。=5,所以内心人外心。、重心G都在中线4E上，

且\AE\=^AB^-\BEf=4,内切圆半径/,

对于A,由S“BC=3力同x忸。|二；（|48|+以。+忸Cj）得

113

-x4x6=-r（5+5+6）,解得>=],故A正确；

对FB,因为阿=看朋=4-|二|,所以丽=-|胴,

6万+5万+5正=6两+5•（而+记）=69+10方

=6P3-10X|X^4=6,故B正确;

由余弦定理得8s八网瑞谓25+25-36=7

对干C,2x25—-25

0<力<兀，所以sin4=Vl-cos2A=—,

25

|包应_上_竺

所以△ABC的外接圆半径1/°1-24]4一）24一8，

Zx--

2s*7__7—

|O£|=4-|40|=4——=-,所以酝=——OA,

8825

所以65+5砺+5人=65+5（赤+反）=65+10瓦，

=6OA-\0x—OA=--OA^b,故C错误；

255

对于D,△/WC的外接圆半径|40|二」25，

O

?X75X11

\AG\=-\AE\=-f所以|03=|/0|-|力司=7~一鼻=五，故D正确.

A

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心重心G都在中线力E上.

♦题型犯垂心♦

【技巧通法•提分快招】

p...............................................................................................................................................................................

|⑴OAOB=OBOC=OCOA

I

I

!(2)|方『+|於『=|砺『+|夏|2=|1『+|万|2

I

!

(3)动点尸满足而=心+义E,rD+|j"「，%w(0,+8),则动点P的轨迹-一定通过△NBC的垂心

48cos8L4CcosC

I

j(4)tanJ.O4+tanZ?.^4-tanC.(5c=0.

I

1.已知平面上四个点4民C,。，其中任意三个不共线.若方・通=万，则直线力。一定经过三角形

4BC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【分析】由题意得4Q1CB,即BC边上的高所在直线为/1O,由此即可得解.

【详解】因为而.而=%.而，所以。8・4。=(力8-4cj-4Z)=/18//Z)-4。力。=0,

所以4O1C8,即直线/O一定经过三角形的8C边上的高，即直线力。一定经过三角形力8。的垂

心.

故选：D.

2.已知点。是非等边△力8C的外心，P是平面4?。内的一点且况+方+云=而，则。是△ABC的

()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

【答案】A

【分析】由点。是非等边的外心可得|04|=|。卸=|。。|,又因为平面内P满足况+丽+碇二丽,

所以苏+丽=加一反=万，设。为力8中点，得到。。，力从OA+OS=2OD=CP＞从而得到

CP1AB-C尸在月B边的高线上.同理可得8。在4C边高线上，力。在8C边高线上，故P为高线交点，即

为垂心.

【详解】

因为点O是非等边△力8。的外心，

所以|0/1|0却=|oc|.

因为平面内p满足32+而+碇=而，

所以夕+砺=而-而，

设D为48中点，则有

ODLAB,OA+OB=2OD=CP

所以丽，荔，

所以CP在48边的高线上.

同理可得，8P在4C边高线上，4尸在8c边高线匕

故点尸是A/BC高线的交点，即为△A8C的垂心.

故选:A.

3.（23-24高三上•河北•月考）若H是△力8C的垂心，2团+2而+3麻=0，则tanC的值为（）

A.亚B.—C.272D.巫

2