人教A版高二数学上学期 空间向量与立体几何各种大题建系与计算技巧9题型（期中专项训练）解析版

专题03空间向量与立体几何各种大题建系与计算技巧

.题型归纳•内容导航:

题型1等角证明及建系型题型6二面角及其延长线型建系（难点）

题型2投影型证明与建系题型7最值型（重点）

题型3斜棱柱垂线建系法（重点）题型8不规则几何体：台体型

题型4斜棱柱垂面建系法（常考点）题型9不规则几何体：多面体型

题型5翻折型证明建系法（难点）

［题型通关•靶向提分

题型一、等角证明及建系型（共3小题）

1.（21-22高二上•浙江•期中）如图，四棱台中，底面为正方形，力81平面力。。必，且44=。。］，

⑴证明：OQJ/平面

4

（2）若直线CG与平面月8c所成角的正弦值为求CG的长.

【答案】⑴证明见解析

（2）CG=3或CG-布

4

【分析】（1）由中位线证明5。〃尸。，再根据线面平行的判定定理即可证明;

（2）利用向量法求出线面角，解出P点坐标即可求解.

【详解】（1）延长侧棱交于点P，连结8。交/C于点O,连结80,

由条件可知O,4分别为与P8的中点，

：.Bp//PDt又•・•80u平面/cq,PDa平面/C%

平面AB.C

（2）如图，建立空间直角坐标系力一个2,

£>（0,4,0）,C（4,4,0）,

设P（0,2,f）（f>0）,则止」,"则丽=（-4,—21）,

设平面AR.C的一个法向量方=（x,y,N）,

1/39

哼=。,即广°,

n-AB}=0\2x+y+—z=Q

，令x=1,则n=1,-1,--

设直线cc,与平面力所成角为e,

i=H四昨端=扇=4，

:.2/4-37/2+80=0

解得：1=4,或/PC=J16+4+16=6或PC=J16+4+]=

cc,=3或0G=2阮

2.（2024・河南•模拟预测）如图，平行六面体力中，底面Z8C。是边长为2的正方形，。为

AC与BD的交点,彳4=2,/qCB=NGCO,NGCO=45°.

（1）证明：C0_L平面月8CZ）；

（2）求二面角8-力4-。的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵孚

【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求一面角的正弦值.

【详解】（1）

连接8GQG，

因为底面力8c。是边长为2的正方形，所以8C=OC,

又因为/GC8=ZC.CD,CC,=CC,,

所以gCB不C£D,所以8G=DG,

点。为线段8。中点，所以C0J,8。,

在△C。。中，CC,=2,CO=yJC=V2,/。。。=45。,

y/2_CC2+PC2-CO2

所以cosNGCO={}C\O=五,

~T~~2xC,CxOC

则c,c2=oc2+c,o2=>cp1oc,

又OCna）=O,0。（3平面48,0,8£）<=平面/180

所以C0_L平面相CQ.

2/39

(2)【方法一】：由题知正方形4?CQ中4C/4。，C0"L平面川%?。，所以建系如图所示,

则8(0,立0),。(0,一立0),/(80,0),(710,0,0)6e,0,&),

则您=西=(&,0,&),

AB=(-V2,V2,0),JD=(-72,-72,0),

设而历I4的法向量为行=(百,必,马)，面。4耳的法向量为万=(%，％，22)，

AA,w=0f\(2x.+\[2z.=0/、

则」n」J,取芭=1,则所=(1,1,T)

ABm=0[-\[lxx+\/2yi-0

AA.n=0f>/2x+S[2Z=0/、

'一=｛厂7-7取X2=l,贝lj万=(1,-1,-1).

ADm=01一&/一岛2=0

设二面角8。大小为〃.

则kos。』备白(A=：=sing=4-cos20=

J3xj333

所以二面角8-44-£>的正弦值为逑.

3

【方法二】：以。为坐标原点，方的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一个区.

由题设得3(五,0,0)，J(0,-x/2,0),4(0,-2x/2,>/2),Q(-正,0,0),

C,(0,0,V2),C(0,5/2,0),

薪=西=(0,-夜,0)，方=(乃，及,0),J5=(>/2,x/2,0).

设而=(x,乂z)是平面44B的法向是:,

m•AA=0卜岛+&z=0

则[可取而=(1,T-1).

nt-AB=0[y/2x+x/2y=Q

设斤=(p,g,r)是平面AAyD的法向量,

n-AA,=0-yflq+y/2r=0

则可取斤=(1,1,1).

w-Z5=o-y/2p+\/2q=0

所以cos〈而/〉=&=.1

3.(24-2S高三上.江苏常州.开学考试)如图，平行六面体力8。中.底面/国7。是边长为？的

3/39

菱形，且N84Z)=60°，：Z.A{AB=Z.AyAD,ZA]AC=45,AC与BD交于O.

（1）证明：4。，平面48cO：

（2）求二面角B-CG-。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵孚

【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明4O_L8。，以及4。_1,4。；

（2）根据（1）的结果，以点。为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面C8G和平面他的法向量,

利用法向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）•・•底面/8CO是边长为2的菱形，・・・/18=力。.

VZ.A{AB=Z.A.ADtAA,=AA,,△4/8gBA,=DA,.

•・•点0为线段5。中点，:.4。1BD.

在J/O中，AA=a，AO=-AC=y/3,/440=45。，

2

.八/八五AA2+OA2-A,O2,S(-

••cosZ.A.AO=—=-X-----------------!—,..A.O—<3.

22x44x04

则&才="+4。，.・.40_L°f.

乂OAcBD=O,O/iu平面48CD,8。<=平面48。。，

.・.4。1平面力夕6.

(2)rtl(1)知力。18。，4。_平面力4c。，建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(0,1,0),£)(0,-1,0),Z(G,0,0),C(-V3,0,0),4(0,0,百)，

贝|」石二祈=(一右,0,扬，C5=(-X/3,-1,0),CD=(-X/3,1,0).

设平面C8G的法向量为比=(%M，zJ,平面⑪的法向量为万=(和左用)，

G•加=0-y/^x.+y/3z.=0_

则,即，取司=1,则所=。,一64).

瓦丽=0_\/3演一必=0

•0=0->/3x,+=0

，即《2,取.0=1,则万=(1,百,1).

n=0-\l3x2+y2=0

m-n11

设二面角CC「力大小为0,则|cose|=

sin0=V1-cos20=~^，

••・二面角8-CG-。的正弦值为平.

4/39

藤型二、投影型证明与建系（共3小题）

4.（2019高三•全国•专题练习）如图，在三棱锥P/14C中,AB=AC,。是4C的中点，PO_L平面力8C,

垂足。落在线段力。上，已知〃。=8,PO=4,力。=3,。。=2.

⑴求证:AP1BC；

⑵若点M是线段4P是一点，且出必=3.试证明平面4WC_L平面8WC.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量/，品的坐标，计算9.前，即可证明

结论：

（2）求出平面平面4ZC和平面8MC的法向量，计算法向量的数量枳，结果为0,即可证明结论.

【详解】（1）证明：以O为原点，过点O作C8的平行线为x轴，以力。方向为歹轴正方向，以射线OP

的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；

则。(0,0,0),4(0,-3,0),5(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),

故万=(0,3,4),5C=(-8,0,0),

=0x(-8)+3x0+4x0=0,

・J.比，即力PJL8C:

5/39

(2)证明：因为尸O_L平面力8C,4Ou平面48C,所以尸OJ_4O.

因为PO=4,AO=3,故力尸=5,为上一点，且NA1=3,

,612、.一,912、

・・M。,一三，—)»••AM=(0/~/~)»

J，JJ

一，1612、一,1612、

BM=(-4,-"—,—CM-(4,一"—

设平面BMC的法向量为万=(。也。)，

)16-12

-4a---b+—c=0n

55

则即

♦16A12八

4a-----b+—c=0

55

4

令b=\,贝ijE=(0jp；

m-AM=0

设平面4WC的法向量为而=(x),z),则

w-CM=0'

912c

—y+-z=0

55

即《二，令x=5,则比=(5,4,-3)；

.Io1Z.

4x---y+——z=0

55

4

由pn/n=0x5+lx4+yx(-3)=0,

得开_L而，即平面4MC_L平面

5.(2011•浙江•高考真题)如图，在三楂锥尸-48C中，AB=AC,。为8C的中点,〃。，平面力鸟。，垂

足。落在线段力。上.

(1)证明：AP±BC；

(2)己知8。-8,PO-4,AO-3,0/)=2.求二面角片一/P—C的大小.

【答案】(1)见解析；(2)909

【详解】(1)因为/出=/。，。为3c的中点，

AD1BC,

又POJL平面48C,则PO工8C,

乂N。。2。=0,则8cl.平面产片Z),

BCLPA

(2)在平面48内作8M_L力产于M,连接CM,

6/39

BC1PA,

得P/1J•平面BMC,

所以/P_LCM,

则/BMC为二面角8-力产一C的平面角

在向中，AB-=AD2+Z?D2=41AB=>/4\

在向△尸OO中，PD2=PO2+OD2,

在白△PQ4中，PB2=PD2+BD2

所以PB2=PO2+0D2+BD2=36得=6,

在必ZXPO/中，PT=4。2+。02=25得尸力=5

PT+PB2-AB2

又cosZ.BPA=

2PAPB3

从而sinZ.BPA-2乙

3

故BM=尸AsinNBPA=g

同理CM=4我，

因为bW+aw?=8。2

所以NZM/C-90

即二面角8-力尸-。的大小为90°

6.122-23高二•贵州贵阳•阶段练习）如图，在三棱锥O-48C中,。是点D在平面ABC上的投影，DA=DB,

AB1AC,必是40的中点.

（1）证明：OW//平面。4C：

（2）若O点正好落在//A。的内角平分线上，DO=3,DA=5,AB=4也，求二面角8-4H-C的正弦值.

【答案】⑴证明见解析:

【分析】（1）连接8。并延长交.4。「点E,由题可得4O=E。，进而可得OA///OE,然后根据线面平行

的判定定理即得：

（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.

【详解】（1）连接80并延长交4C于点£,连接04DE,

7/39

因为。是。在平面4AC上的投影，

所以。。1平面力AC,AO,80u平面48C,所以Q0_L40,DO±BO,

又DA=DB,所以△。0力丝△OOB,即。N=OB,所以NO48=/084,

又ABJ.AC,即/6zlC=90°,

所以/O48+/。4七=90。，NOBA+NOEA=9。。,

所以NOi%=NO/lE,所以4O=EO,

^AO=EO=OB,所以。为8E的中点，

又M为DB的中点,所以。V///OE,

又QM<Z平面。4C,£)Eu平面。4C，

所以。W//平面DAC-,

(2)过点A作AzllOD,建立如图所示的空间直角坐标系,

所以0/1=y]AD2-DO2=4，

又。点正好落在N/18C的角平分线上,

所以/ORA=/ORC,所以48=475,

所以NOB4=NO〃C=30。，BE=2()A=8,则/E=4,

所以/C=12,所以0(2石,2,0),8(4百,0,0),0(2百,2,3),C(0,12,0),

X=(0,12,0),

设平面4”8的•个法向量为方=(X),N),

ri-AM-3\/3x+y+—z=0

则彳_'2,令z=2,则y=-3,x=0,

万.方=4氐=0

所以另=(0,-3,2).

设平面4WC的一个法向量为加=3也c),

m-AM=3\/3a+b+—c=0

叫一2

m-AC=\2b=0

令”=有，则。=-6,/>=0,所以而=(JJ,O,-6).

nm_-12_46

所以cos〈仄而)=

|防II而|y/\3xy/3913

8/39

设二面角B—4M-。的大小为。，则|cos0=|cos（7?,而）卜,

所以sin6=x/1-cos?1=,

即二面角6—4W-C的正弦值为

题型三、斜棱柱垂线建系法（共3小题）

7.（2023•湖北•模拟预测）如图，在三楂柱勺C中，平面/AC,点。为棱/右的中点,

⑴求证：AB±CC,；

（2）若4C=2,求直线8片与平面3Z）G所成角的正弦的最大值.

【答案】（1）证明见解析

⑵2^

4

【分析】（1）根据圆的几何关系证明先线垂直，再根据线面垂直的性质和线面垂直判定即可求解；（2）

根据线面角法向量求法和均值不等式即可求解.

【详解】（1）因为点。为棱4c的中点，DA=DB,

所以4SC三点共圆，且4C为直径，

所以8C_L/18.

因为瓦C_L平面/AC,/18u平面44C,

所以8c1/18.

又因为6Cn8C=C,8C,80u平面8CG4，

所以平面8CC£.

因为C0u平面8CCM，

所以4?_LCG.

（2）设C81=«（>0）,

以C/为x轴，为z轴，过点C与C4垂直的直线为V轴，建立如图空间直角坐标系，

By

9/39

则。(0,0,0),4(4,0,0),。(2,0,0),BQ,瓜0),B,(0,0,0.

所以瓯=(-1,-石"),5C=(-l,->/3,0),丽=(1,-百,0),

设平面8OG的法向量为G=(x,y,z)，

n-BD=x-y/5y=0,

所以

n•BQ=-lx-2\f3y+tz=0.

令％=品，

贝疗=，，2=473.

所以［=（"」.4百）.

所以c°s网力就

2&

"+/•"/+48

百

+\6+r

7363-648,「

--7r-------777—一A—(当且仅当丁="，即，=2后时，等号成立).

(86+162+2134r

所以直线BB.与平面8OG所成角的正弦的最大值为主诙.

4

8.12023•广东韶关•模拟预测）如图，在三棱柱4中，E为NC的中点，/3=1,BC=2,AC=5

点用在底面上的射影为点C.

⑴求证:力与〃平面BEC”

⑵若BB、=2JI,求平面BEC,与平面AEC.A,所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵①

18

【分析】（1）连接交8G于点/，连接叮，可得后产〃力用，进而可证/4〃平面8EG；

（2）如图以6为原点，分别以48,CB,z所在直线为x,V,z轴，建立空间直角坐标系，求得平面BEG

的一个法向量与平面4EG4的一个法向量，利用向量法可求平面8EG与平面力EG4所成角的余弦值，即

可得解.

【详解】（1）连接。片交8G于点"，连接EF,则户是8c的中点，

由于£、尸分别是4C,8。的中点，

所以Er〃力与，由于力平面BEC-EFu平面BEC1,所以力4〃平面BEC；：

10/39

(2)由点用在底面上的射影为点c,所以4C_L平面48c.

在V48C中48=1,BC=2,AC=5AB，+BC?=AC?，ABJ.BC,

过8作8c的平行线为z,易知力B，CB,z两两垂直，

如图以8为原点，分别以CB,n所在直线为x,V,n轴，建土空间直角坐标系,

8(0,0,0),J(l,0,0),C(0,2,0),4(0,2,2),

B£=BC,得G(0,4,2),AE=——,1,0,£G=(-:32),8E=(；,1,O],BCi=(0,4,2)»

设平面8G七的法向量成=(x，y，z),

BE-m=—x+y=0

,2，令x=2,则y=-l,z=2,

8G•玩=4y+2z=0

而=(2,-1,2),

设平面/EG4的法向量为万=（〃，Ac）,

nAE=—a+b=0

7

<,,令4=2,贝Ij方=1,c=-l,

'・

iiEC.=—一a+3b+2c=O

2

.•.平面4EG4的法向量为方=（2,1,7）,

设平面BEC、与平面/EG4所成隹为0,

所以8s"黯=悬^浅，则sin"Jl-cos*=F

所以平面BEC,与平面AECM所成角的正弦值为叵.

18

9.（2022•广西南宁•二模）如图，在三棱柱力8C-44G中，点4在底面/8C的射影为8c的中点O,底

面4?。是边长为2的正三角形，/4=26.

B

11/39

(1)求证:441BW\；

⑵求直线/用与平面BB£C所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)返

44

【分析】(1)先由8C_L/。和8C_L4。证得4C_L平面力4。，即可证得8CJ./I4,进而证得力4,8©；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面B4GC的法向量，再按照线面角的向晟求法求解即可.

•・•底面/4c是边长为2的正三角形，。为4c的中点，

连接力O,ABC1A0.

,：点4在底的ABC的射影为8C的中点O,JHC±4。.

而力。c&O=O,...AC_L平面力49.

又44u平面AAfl,・•・BC1AA{.

♦:BC〃B、C\,：.AA[15,C,.

(2)由(1)可知04,OB,。4两两垂直，

分别以04,OA,。4所在直线为x,户z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-个z.

则由题意有&O,J3,O),8(1,0,0),C(-l,0,0),

%(0,0,3),4(1,一百,3).

所以函=0,-2万,3),胫=(—2,0,0),函=(0,一行,3),

设折二(x,y,z)为平面BB££的法向最,

m-BC=0-2x=0

则—，得

->j3y+3z=0

m-BBx=0

令z=1,则y=有，x=0.

12/39

所以历=（0,x/3,1）是平面瓦BCC.的一个法向量.

而•明—33夜

设所求角为8,则sinO=M（加盟）卜

|zw||j^-2xx/22-44

即直线ABy与平面BBGC所成角的正弦值为过工.

44

题型四、斜棱柱垂面建系法（共3小题）

10.（2023・天津津南•模拟预测）如图，在三棱柱。-48G中，平面力CG4L平面/8C,

AC=BC=CC[=2,D是AA｝的中点，且/4C8=90\^DAC=60°.

B

（1）证明：＜4_1平面。3。；

⑵求直线彳4与平面8QG所成角的正弦值；

⑶求平面C8D与平面RDQ所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解

⑵叵

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理分析证明;

（2）建系，利用空间向量求线面夹角；

（3）建系，利用空间向量求面面夹角

【详解】（1）连接。4，

由趣意可知：△ZC4为等边三角形，且。是力4的中点，

所以CDJ.44,

因为平血ACC}Ai_L平面ABC»T11（IACCiAiA'I'面ABC=AC,AC1.BC,

所以8C_L平面力CG4，

且44u平面/1CG4，可得8c144，

CDcBC=C,CDBCu平面CZ。，

所以44_L平面C8。.

（2）取4G的中点E,连接CE,

由题意可知：△4C4为等边三角形，则CE_L4C，

因为4G〃4C,所以CE_L/1C,

因为平面ACCiAi_L平面ABC，平面ACClAiA平:面ABC=AC,CEu平:面ACC,A,,

所以CE1平面ABC,

如图，以。为坐标原点原点建立空间直角坐标系，

则力（2,0,0）,8（0,2,0）,C（0,0,0）,4（1,0仆）,彳|,0国,［一1叫，

uuir,、uuur

可得4%=（—l,0,G）CO=园=&2,6,

13/39

nQb=-x--z=O

设平面BDC、的法向量=(x,乃z),则《22

n-BC.=I-x-/2y+y/3z=0

令1=6,则y=26z=5,即G=(G,2VJ,5b

1uuu

,ruuir,4Kx/30

可得cos(〃,44■ftltia

〃-AAy2x2<10

所以直线”4与平面80G所成角的正弦值为噜.

(3)由(1)可知:彳4,平面C8。,则羽=(-1,0,6)为平面C8D的法向量,

由⑵可得：cos(；,裁)=富,

11.(24-25高二上•辽宁大连•期天)如图，在三棱柱中，AB1AC,BC±AA},£,产分别

是线段44和上的点，且缜=残，AB=AC=AA/2,/A,AB=与,二面角％-8。-4的余弦值

EB卜A3

为史.

5

(1)证明：£///平面/8C；

(2)求点A到平面48c的距离：

⑶侧棱CG上是否存在点。，使得直线力。与平面48c所成角的正弦值为萼？若存在，确定点。的位置;

若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵萼

⑶存在，。在G处.

【分析】(1)利用线线平行可得/G//平面48C,EG//平面48C,进而利用线面平行可得平面尸GE//平

面48C,利用线面平行的性质可得结论；

(2)取月C的中点M,连接，过人作.4N4"，可证4V_/平面A.BC,可得AN为点A到平面/3。

14/39

的距离，求解即可；

(3)以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面48。的法向量，利用线面角的向量法求解.

【详解】(1)在//上取点G,使"G〃4C,连EG.

则FGz平面48C,4Cu平面力灰?，所以产G//平面/8C,

由FG//AC/”,得型=空=坐，故EG//45.

GAFAEB

£60平面44。，48u平面4?C,所以EG//平面/18C,

又FGC[EG=G,产G,EGu平面尸GE,故平面尸GE"平面ABC,

又EFq平面尸GE,则E"//平面48C.

(2)取2C的中点机，连接由⑷9一4。知，AMA.BC.

乂BC144，AA,QAM=A,故8C_L平面力/M,平面4/M1平面48C,

过A作4V14历，则⑷VJ.平面力/C,4V为所求.

又BC_L4",即为二面角4一8。一4的平面角.

令4MA=e,3S0=迈.

5

而N4=/C=2,ABJ.AC,则5。=2近，AM=日

=sin^=—，故/1'=回

55

(3)存在，。在£处.

由(2)得Z?C_L平面44”,则平面力/M，平面48c.

过4作4OJ.4M,则%。，平面49C.

而在△4也必中，令4M=x,由余弦定理有22=Y+2-2jlv•延，

即5/一4加工一10=0，解得》=厢.

4^=sin。=正，则4。=血.

力幽5

作〃”//4。，以M为原点，直线MG分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,

则4(2衣“勾,^(72,0,0),,.0,夜,0),C(0,-5/2,0),

贝IJ福=(一2后,啦,_应)，5C=(0,-272,0).

设平面45。的一个法向量为保=(xj,z),

m-A,B=01-2VLe+y/2y-=0

则_L,即/,

m-BC=0-2必，=0

令J=1,得而=(1,0,-2).

设'京=百=g,0、网,0</<1.

15/39

石二（及（一］）,_立6）,

一|五（'+】）|可

cosAD,m=—=---/=---

后2〃7+i5

有2/+1=0,则，=1,即。在G处.

12.（2023•山西•模拟预测）如图，在三棱柱"CF/G中，四边形力力避避为菱形，七为棱cq的巾点，△叫C

（1）求证：偿1.Bg；

（2）若AC1BC,AC=4,BC=3,求平面AAXByB和平面ABXE夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据题意，先证平面43C,再由线面垂直的性质定理即可证明；

（2）根据题意，设4C,的中点分别为。，G,连接与O,OG,以。为坐标原点，瓦的方向分

别为x轴y轴z轴的正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.

如图，连接48,与44相交于点巴连接CRA,C.

因为四边形力力避避为菱形，所以"为/用的中点，且8/1力彳.

因为△480为等边三角形，所以片，

因为8尸cC『="，BF、C尸在面48c内，所以4月_1平面4BC.

因为8Cu平面力/C,所以力用J.8C.

因为4G〃8C,所以/q_L4G.

（2）设力C,的中点分别为。G,连接用O,OG.

16/39

由(1)可知/181J_8C,乂ACA.BC,AB\CAC=A,AB^AC在面/3/C内,

所以8C_L平面48(,。8八OC在面48箱内，则0&、0c与8c垂直，

因为。G〃4C,所以OG_L平面第C,

因为△480为等边三角形，所以8Q1/C.

以0为坐标原点，OG.OC.OB,的方向分别为x轴)，轴z轴的正方向，建立如图所示的空间直向坐标

系，

则掰0,-2,0),C(0,2,0),8(3,2,0),即0,0,2⑻，

所以彳万一(3,4,0),BC-(-3,0,0),

11iAB=5C=BXCX>得4(-3,—4,26),。［(一3,0,2\/3),《一^

所以存=(一■|，3，G)，有产(0,2,2⑻，丽=(-3-2,2西.

设平面彳4局8的法向最为方=&,必,zj,

方•48=3再+4y.-0,_

则_r令％=3,得万=（一4,3,-百）.

n-AAX=-3Xj-2yt+243zx=0,

设平面力的法向量为比=（々,必,Z2）,

m-AE=--x7+3y,+\/3z-,=0,「「

则，2令Z2=Ji,得而=（一4,一3,G）.

m-ABy=2y2+26z1=0,

设平面彳力/£与平面AB.E的夹隹为0，

所以cos®=|cos5,而〉|=1与目=/1693|-1,

।|刚刚716+9+3x716+9+37

即平面力48乃与平面AB.E夹角的余弦值为；.

题型五、翻折型证明建系法(共3小题)

13.(2023•江苏淮安•模拟预测)如图，在平面五边形/44COE中V力力E是边长为2的等边三角形，四边形

48CD是直角梯形，其中AD"BC,AD人DC、BC=l,CD=百.将沿折起，使得点E到达点M的

位置，且使

17/39

M、

E,P

AB

⑴求证：平面历4。_L平面48CD；

⑵设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵正弦值为¥

【分析】（1）取力。的中点M连接MN,BN.通过证明8NJ.力。，BN1MN,得8N_L平面M川。.再

根据面面垂直的判定可得平面M4。1平面ABCD；

（2）以N为坐标原点，直线/V4为x轴、N8为y轴、NM为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法

向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值.

【详解】（1）如图，取力。的中点N,连接MV,BN.

E

因为△,以£）是等边三角形，所以MN1AD,且A/N=AMsin60。=x/5,

在直角梯形力8CQ中，因为DN=BC=1,DNHBC、AD工DC,

所以四边形4CDV是矩形，明以BN工4D,此BN=CD=&

所以8"+用川=6=8/，即BN_LMV,

又ADcMN=N,力Ou平面历40.MNu平面所以5Z，平面加4。.

因为8Nu平面ABCD,

所以平面A//Q_L平面/14CQ.

（2）由（1）知NA,NB,两两互相垂直，

18/39

5P=5C+1aJ=(-l,0,0)+i(l,-V3,>/3)=f-|,-y,y,

33

设平面P8。的一个法向量为方=Q,y,z）,

2△上门c

n-BP=Q——x----y+——z=0

则即〈33-3

nDB=o'

x+>/3y=0

令）=1,则x=-6z=-l,故平面8。尸的一个法向量为工=（-石1）.

ULU广

而平面MAD的一个法向量为N8=（0,6,0）,

设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为0,

ruuir匚

则Icos^Hcos<i,版>1=喘=各f'

所以sin。=\11-coif0=~^~，

所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为白叵.

5

14.（2023•四川巴中•模拟预测）如图1所示，在四边形/18C。中，BCLCD,E为BC上.一点、，且4EJ.BC,

AE=BE=2CD=2,CE=B将四边形力ECO沿4E折起，使得8。=石，得到如图2所示的四棱锥，点

F右棱BE上,平面。W与棱48交于点G

（1）证明：AE//FG,

⑵若直线80与平面力。尸所成角的正弦值为耳，求答.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，再由线面平行性质定理证明线线平行；

（2）建立空间直角坐标系，设点厂的坐标，求出平面力。厂的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可

求解.

【详解】（1）因为8C_LC。，4EJ.BC,所以。。〃力笈.

因为4ES平面。CFG,。（=平面。。9,所以4E〃平面QCFG,

因为/fu平面44E,平面/IBEc平面QCR7=R7,所以4f〃尸G：

（2）因为力E_LCE,AE1.BE,BEr、CE=E、

CEu平面4CE,AEu平面8CE,所以/El平面4CE,

又4Eu平面AEB,所以平面AEBA.平面BCE,

故以E为坐标原点，EA,£8分别为x,y轴，

在平面BCE内过点E作BE的垂线为z输建立如图所示的空间直角坐标系，

19/39

则4（2,0,0）,8（0,2,0）,由（1）知CO〃花，平面平面8",且CE=C8=G，

所以点C在平面的射影为BE中点，故“0,1,后），D（l,1,^2）,

设尸（0」,0）（04/W2）,贝IJ而=（—1,1,后），JF=（-2,Z,0）,5D=（1,-1,V2）,

而万=0-x+y+y[2z=0

设平面4。尸的法向量为。=（xj,z）,则，_,即

AFn=0-2x+ty=O

友(-2)

不妨令7=2,则x=/,z=#（；二4）,所以万=>,2,

因为直线40与平面力所成角的正弦值为叵,

11

V22

所以八4+9H

2x

V2

整理得/-5/+4=0，解得/=1或£=4（舍），所以“为£4中点,

.,,EF1

所cr以台二二.

EB2

2

15.（24-25高二上•四川成都♦期中）如图1所示，直角梯形M8C。，"。//4。,BM1MD，且八仞=§8。=2,

点力，E分别在线段AW,BC上,且W=8E=1,点尸为QC的中点，将四边形历8£4沿力E折起，使二

图1图2图3

⑴若AE=1,0=]（如图2所示），求直线力8与平面AC。所成角的正弦值;

（2）若0=彳，点0为平面44七内一点，若夕。工平面/出?（如图3所示），求尸。的值：

⑶若力£=1,0=弓时，点N为线段EC的中点，将aOCN沿ON折起，使AOCN与四边形力CM在平面/1EN。

乙

的同侧且平面CQN_L平面/。£,点R为四面体MECO内切球球面上一动点，求RO+^RC的最小值.

【答案】（l）g

6

⑵不

20/39

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求解即可；

（2）根据题意可得进而得4E_L平面PQK,乂4E1平面PK7,确定点QeKT,进而根据二角

形的相关知识可解出PQ的值：

（3）建立空间直角坐标系，根据等体积法求出内切球的球心坐标和半径，然后得内切球的方程，利用阿氏

球相关知识可知空间中必存在•定点5（%,凡/。），使球Q上的点满足;AC=&S,然后根据方程解出点S的

坐标，进而求出的最小值.

【详解】（1）如图2,由题4W、力尽力。三线两两垂直，建立如图所示的坐标系,40,0,0）,5（1,0,1）,C（l,2,0）,

z八

1V1

.•.赤=(1,0,1),~BC；=(0,2,-1),丽

X

设平面BCD的法向是〃?=(x,y,z),

m-BC=0{2y-z=0(z=2y

由一，得八，即，

m-BD=0[-x+y-z=0[x=-y

所以取平面BCD的一个法向量£=(-1,1,2),

_173

设,44与平面力8。£)所成角为a,所以sina='

48与平面BCD所成角的正弦值为*.

6

（2）如图，设力心力6的中点分别为K、T,连接AT.

j

由平面几何知：AELKT,AE1PK,所以NPKT=。，且力E平面PKT.

若P。工平面48E,因为力Eu平面/14E

所以彳E_L〃。，乂AEA.PK，PQ,尸Ku平面尸。K,PQcPK=P,所以彳EJ.平面尸QK,

又花1.平面PK7,所以。eKT且|K@c0,1,

在&PK。中，cosO=笆，因为。=：,又尸1=：,

|K所以IP0HK0I，

|Ar|42

所以在aPOK中，|。°|=三_；

（3）显然，MEC。为棱长为血的正四面体，作CO1面设内切球球心为a，

建立如图所示的坐标系，且百，则。（q,o,o],c|o。号

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