分式的通分课件-湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第2章

分式2.2.2分式的通分1.会确定几个分式的最简公分母；（重点）2.会根据分式的基本性质把分式进行通分.（重点、难点）#2.2.2分式的通分（初中数学八年级）##一、教学课件（幻灯片分页内容）###第1页：封面-标题：2.2.2分式的通分-副标题：八年级数学（人教版）-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日###第2页：学习目标1.理解通分的概念，明确通分的依据是分式的基本性质2.掌握最简公分母的定义和确定方法（单项式、多项式分母）3.能熟练对两个或多个分式进行通分，为异分母分式加减奠定基础4.体会转化思想在数学中的应用###第3页：复习回顾1.分数的通分：-定义：把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数，叫做分数的通分-举例：$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$的最简公分母是6，通分后为$\frac{3}{6}$和$\frac{2}{6}$-关键：确定最简公分母（各分母的最小公倍数）2.分式的基本性质：-分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变-符号表示：$\frac{A}{B}=\frac{A\cdotM}{B\cdotM}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\divM}{B\divM}$（$M$是不等于0的整式）3.提问：分式的通分是否可以类比分数的通分？###第4页：探究新知——通分的概念1.类比分数通分，定义分式通分：-把几个异分母分式化成与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分-注意：①通分后分式的值不变（依据分式基本性质）；②目标是化为同分母分式；③分母需是最简公分母（方便后续运算）2.思考：通分的关键是什么？（确定最简公分母）###第5页：探究新知——最简公分母的定义1.定义：几个分式的各分母的所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母2.类比分数的最小公倍数：-分数：$\frac{1}{4}$（分母4=2²）和$\frac{1}{6}$（分母6=2×3），最小公倍数=2²×3=12-分式：$\frac{1}{2x}$（分母2x=2×x）和$\frac{1}{3x²}$（分母3x²=3×x²），最简公分母=2×3×x²=6x²3.强调：最简公分母是“最小”的同分母，即各分母所有因式的最高次幂的积，不含多余因式###第6页：例题讲解1——确定单项式分母的最简公分母例1：求下列各组分式的最简公分母（1）$\frac{1}{2x³y}$，$\frac{4}{3xy²}$，$\frac{5}{6x²y³}$分析步骤：①

分解各分母的因式：-$2x³y=2×x³

×y$-$3xy²=3×x×y²$-$6x²y³=2×3×x²

×y³$②

取各因式的最高次幂：2¹、3¹、x³、y³③

相乘得最简公分母：2×3×x³×y³=6x³y³（2）$\frac{3}{4a²b}$，$\frac{5}{6ab³}$解：①

分解因式：4a²b=2²×a²×b，6ab³=2×3×a×b³②

最高次幂：2²、3¹、a²、b³③

最简公分母：2²×3×a²×b³=12a²b³###第7页：例题讲解2——确定多项式分母的最简公分母例2：求下列各组分式的最简公分母（1）$\frac{1}{x²-4}$，$\frac{3}{4-2x}$分析步骤：①

分解分母为因式乘积形式（先因式分解）：-$x²-4=(x+2)(x-2)$（平方差公式）-$4-2x=-2(x-2)$（提取公因式）②

忽略系数的符号（公分母取正），取各因式的最高次幂：2¹、(x+2)¹、(x-2)¹③

最简公分母：2(x+2)(x-2)（或2x²-8）（2）$\frac{2}{x²-9}$，$\frac{5}{x²+6x+9}$解：①

因式分解：-$x²-9=(x-3)(x+3)$（平方差公式）-$x²+6x+9=(x+3)²$（完全平方公式）②

最高次幂：(x-3)¹、(x+3)²③

最简公分母：(x-3)(x+3)²（或(x-3)(x²+6x+9)）###第8页：确定最简公分母的一般步骤1.因式分解：将各分母分解为最简因式（单项式分解为系数×字母因式；多项式分解为整式乘积）2.取最高次幂：-系数部分：取各分母系数的最小公倍数（忽略符号，取正数）-字母（或多项式因式）部分：取各分母中出现的所有字母（或因式）的最高次幂3.相乘：将系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂相乘，结果即为最简公分母###第9页：例题讲解3——分式的通分（单项式分母）例3：通分$\frac{1}{2x³y}$，$\frac{4}{3xy²}$，$\frac{5}{6x²y³}$解：①

由例1知，最简公分母为$6x³y³$②

给每个分式的分子分母同乘缺少的因式：-$\frac{1}{2x³y}=\frac{1×3y²}{2x³y×3y²}=\frac{3y²}{6x³y³}$（分母需乘3y²，分子也乘3y²）-$\frac{4}{3xy²}=\frac{4×2x²y}{3xy²

×2x²y}=\frac{8x²y}{6x³y³}$（分母需乘2x²y，分子也乘2x²y）-$\frac{5}{6x²y³}=\frac{5×x}{6x²y³

×x}=\frac{5x}{6x³y³}$（分母需乘x，分子也乘x）###第10页：例题讲解4——分式的通分（多项式分母）例4：通分$\frac{1}{x²-4}$，$\frac{3}{4-2x}$解：①

由例2知，最简公分母为$2(x+2)(x-2)$②

因式分解分母，统一形式：-$\frac{1}{x²-4}=\frac{1}{(x+2)(x-2)}$-$\frac{3}{4-2x}=\frac{3}{-2(x-2)}=-\frac{3}{2(x-2)}$（可先化为分母为正的形式，方便通分）③

分子分母同乘缺少的因式：-$\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{1×2}{(x+2)(x-2)×2}=\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$-$-\frac{3}{2(x-2)}=-\frac{3×(x+2)}{2(x-2)×(x+2)}=-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}=\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$###第11页：通分的注意事项1.分母必须先因式分解（多项式分母是关键步骤），否则无法确定最简公分母2.最简公分母需取各因式的最高次幂，系数取最小公倍数（正数）3.通分依据分式基本性质，分子分母必须同乘同一个不为0的整式，确保分式值不变4.分子相乘时要注意括号，结果需保持分子的多项式形式（无需展开，除非题目要求）5.分母是多项式时，可先将分母化为正（如分母为4-2x，可提取负号变为-2(x-2)），方便运算###第12页：课堂练习（分层）1.基础题（必做）：

（1）求最简公分母：$\frac{2}{3a²}$，$\frac{1}{6ab²}$，$\frac{5}{9a³b}$

（2）通分：$\frac{3}{2x}$，$\frac{5}{4x²}$，$\frac{1}{6xy}$2.提高题（选做）：

（1）求最简公分母：$\frac{1}{x²-5x+6}$，$\frac{2}{x²-4}$

（2）通分：$\frac{x}{x²-1}$，$\frac{1}{x²+2x+1}$###第13页：练习答案与解析1.基础题答案：

（1）分解因式：3a²=3×a²，6ab²=2×3×a×b²，9a³b=3²×a³×b；最简公分母=2×3²×a³×b²=18a³b²

（2）最简公分母=12x²y；-$\frac{3}{2x}=\frac{3×6xy}{2x×6xy}=\frac{18xy}{12x²y}$-$\frac{5}{4x²}=\frac{5×3y}{4x²×3y}=\frac{15y}{12x²y}$-$\frac{1}{6xy}=\frac{1×2x}{6xy×2x}=\frac{2x}{12x²y}$2.提高题答案：

（1）因式分解：x²-5x+6=(x-2)(x-3)，x²-4=(x-2)(x+2)；最简公分母=(x-2)(x-3)(x+2)

（2）因式分解：x²-1=(x-1)(x+1)，x²+2x+1=(x+1)²；最简公分母=(x-1)(x+1)²；-$\frac{x}{(x-1)(x+1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)²}=\frac{x²+x}{(x-1)(x+1)²}$-$\frac{1}{(x+1)²}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)²}$###第14页：课堂小结1.核心概念：-通分：异分母分式→同分母分式（值不变）-最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积2.关键步骤：-确定最简公分母：因式分解→取最高次幂→相乘-通分操作：分子分母同乘缺少的因式（依据分式基本性质）3.数学思想：类比思想（类比分数通分）、转化思想（异分母→同分母）4.易错点：多项式分母未因式分解、系数最小公倍数计算错误、分子漏乘因式###第15页：布置作业1.课本习题2.2第2题（1）（2）（3）（4）2.补充作业：

（1）求最简公分母：$\frac{3}{2x-4}$，$\frac{1}{x²-4x+4}$

（2）通分：$\frac{2}{x+3}$，$\frac{3}{2x-6}$，$\frac{1}{x²-9}$3.预习：异分母分式的加减运算（思考通分后如何进行加减）###第16页：结束页-感谢聆听！-疑问解答##二、教学过程（详细课堂流程）###（一）导入新课（5分钟）1.复习旧知，铺垫基础：-提问1：“我们学过分数的通分，谁能说说分数通分的定义和关键是什么？”（请学生回答，教师补充：分数通分是把异分母分数化为同分母分数，关键是找最简公分母即最小公倍数）-举例验证：板书$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{4}$，引导学生回忆通分过程（最简公分母12，通分后为$\frac{4}{12}$和$\frac{3}{12}$）-提问2：“分式的基本性质是什么？”（学生齐答，教师板书性质表达式，强调“同乘不为0的整式”）2.类比迁移，引出课题：-提问：“分式和分数有很多相似之处，分数可以通分，分式是否也可以通分？分式通分的目的是什么？”（引导学生思考：为异分母分式加减做准备）-引出课题：今天我们就来学习“2.2.2分式的通分”（板书课题）###（二）探究新知（18分钟）1.定义分式通分：-类比分数通分，引导学生自主归纳分式通分的定义：“把几个异分母分式化成与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分”-教师强调通分的两个核心：①

结果与原分式相等（依据分式基本性质）；②

分母相同（且为最简公分母）-提问：“分式通分的关键和分数通分一样吗？是什么？”（学生回答：找最简公分母）2.探究最简公分母的定义：-出示实例：$\frac{1}{2x}$和$\frac{1}{3x²}$-引导思考：“要把这两个分式通分，分母需要化为相同的整式，这个整式需要包含哪些因式？”（2、3、x²）-归纳最简公分母定义：“几个分式的各分母的所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母”-类比分数最小公倍数，强调“最简”的含义：不含多余因式，是最小的同分母3.学习最简公分母的确定方法：-分两类讲解，先易后难：

（1）单项式分母（例1）：-教师板书例1（1），带领学生分步分析：①

分解分母因式；②

取系数最小公倍数；③

取字母最高次幂；④

相乘得最简公分母-学生独立完成例1（2），教师巡视指导，重点关注系数最小公倍数的计算-集体订正，总结单项式分母最简公分母的确定步骤

（2）多项式分母（例2）：-强调关键步骤：先对多项式分母进行因式分解（平方差、完全平方公式的应用）-板书例2（1），分解分母$x²-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，引导学生忽略符号，取各因式最高次幂-学生尝试例2（2），教师提示：分解后注意相同因式的最高次幂（如(x+3)的最高次幂是2）-总结多项式分母最简公分母的确定步骤：因式分解→取系数最小公倍数→取因式最高次幂→相乘4.学习分式通分的操作：-基础例题（例3）：单项式分母通分-教师板书例3，先确定最简公分母$6x³y³$，再引导学生思考：每个分式的分母需要乘什么因式才能得到最简公分母？分子如何处理？（依据分式基本性质，分子也乘同一个因式）-详细板书第一个分式的通分过程，强调“分子分母同乘缺少的因式”-学生独立完成后两个分式的通分，教师巡视，纠正“分子漏乘”的错误-进阶例题（例4）：多项式分母通分-重点处理分母符号：将$\frac{3}{4-2x}$化为$-\frac{3}{2(x-2)}$，方便通分-引导学生分解因式后，确定每个分母缺少的因式，再进行分子分母同乘操作-强调分子是多项式时，相乘要加括号（如$3×(x+2)$），避免符号错误###（三）课堂练习（10分钟）1.分层练习，兼顾全体：-基础题（必做）：让学生独立完成，重点巩固“单项式分母的最简公分母确定”和“通分操作”，教师巡视，收集常见错误（如系数最小公倍数算错、字母最高次幂漏看）-提高题（选做）：针对学有余力的学生，强化“多项式分母因式分解”和“复杂通分”，鼓励小组讨论2.反馈点评，突破难点：-展示学生练习成果，分正确和错误案例进行点评-集中讲解共性错误：①

多项式分母未因式分解直接找公分母；②

分子漏乘因式；③

系数最小公倍数计算错误（如2、3、6的最小公倍数是6，不是36）-让学生订正错误，同桌互查，确保掌握###（四）课堂小结（2分钟）1.学生自主总结：“今天我们学习了分式的通分，谁能说说通分的定义、关键步骤和注意事项？”（请2-3名学生回答）2.教师梳理升华：-核心：通分的本质是“依据分式基本性质，将异分母转化为同分母”-步骤：找最简公分母（因式分解→取最高次幂→相乘）→

分子分母同乘缺少的因式-思想：类比思想（类比分数通分）、转化思想（异分母→同分母）-易错点：多项式分母未因式分解、分子漏乘、符号错误###（五）布置作业（2分钟）1.明确作业内容：课本习题+补充作业，区分必做题和选做题，满足不同学生需求2.提出作业要求：-书写规范，通分过程要完整（先写最简公分母，再写通分过程）-多项式分母必须先因式分解，再找最简公分母-独立完成，杜绝抄袭，不懂的地方做好标记3.预习提示：思考“通分后的异分母分式，如何进行加减运算？”，为下节课做铺垫##三、教学说明1.本设计注重“类比思想”的渗透，通过分数通分的旧知迁移到分式通分的新知，降低学生理解难度；2.重点突破“多项式分母的因式分解”和“最简公分母的确定”，这是分式通分的核心难点，通过分步讲解、例题示范、错题点评等环节强化掌握；3.练习分层设计，基础题巩固核心知识，提高题拓展思维，兼顾不同层次学生的需求；4.注重学生的自主探究和互动，通过提问、独立练习、小组讨论等环节，提升学生的参与度和动手能力；5.强调“分式基本性质”的应用，让学生明白通分的依据，而非机械记忆步骤，培养数学思维。1.

分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘同_________________(或除以它们的一个不为0的公因式)，所得分式与原分式

.相等一个不为0的多项式2.

什么叫约分？利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分．最小公倍数：24问题1：通分：

与解：分式的通分1

通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值.通分的关键是确定几个分母的最小公倍数想一想：

联系分数的通分，由上述两个问题你能想出如何将分式进行通分吗？（

b≠0

）.问题2：填空：知识要点分式的通分的定义

利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这个过程叫作分式的通分.

通分时，关键是确定公分母.

一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.

找出下式的最简公分母：最小公倍数最简公分母最高次幂单独字母1试一试典例精析

解：由于

4xy2＝22·x·y2，6x3y＝2×3·x3·y，因此这两个分式的最简公分母为

12x3y2.于是，利用分式的基本性质得

例2

通分：解：最简公分母是解：最简公分母是不同的因式

最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.试一试

找出右式的最简公分母：

解：由于2x=2·x，3(x²－x)=3·x(x－1)，因此，这两个分式的最简公分母为6x(x－1).于是，利用分式的基本性质得

确定几个分式的最简公分母的步骤：（1）分解：能因式分解的先分解；（2）系数：取各分式分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母的所有单项式中字母的最高次幂；（4）多项式：取各分母所有多项式