期中重难点特训之易错压轴题型（34易错+15压轴）原卷版-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版）

期中重难点特训（34易错+15压轴）

【精选最新考试题型】

易错必刷题一、勾股定理的证明与计算

1.（25-26八年级上•浙江金华•期中）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法〔也称“算两

次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理.如图，

（1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得,用分割计算面积得;

（2）请尝试验证勾股定理.

2.（25-26七年级上•江苏•期中）如图，《周髀算经》中的“弦图''是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每

个直角三角形两条直角边长度的比是1:2,小正方形的面积与大正方形面积比是（）

3.（24-25八年级上•江苏苏州,期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，

由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股

定理，称为赵爽弦图，其中8〃=b,BC=c,CH=a.

（1）请同学们根据赵爽弦图证明。?+〃=/；

（2）若正方形初C。的面积为100,正方形EFGH的面积为36,求a+6+c的值;

易错必刷题二、用勾股定理解三角形

4.（24-25八年级上•广东茂名•期中）直角三角形两直角边分别为6和8,则斜边长为.

5.（24-25八年级下•海南•期中）如图，在中,5c=90。,a、b、c分别表示/力、/B、«的

对边.

（2）已知c=JT7,a=由，求从

6.（24-25七年级下•山东烟台・期中）如图是一台手机支架的示意图.AB,CQ可分别绕点48转动，测

得8。=5cm,/1/?=12cm,若48_L8。，DE1AP,垂足分别为点£E,DE=AE,求点。到力尸的距离.

D

B

EP

易错必刷题三、勾股定理与网格问题

7.（24-25八年级下•新疆伊犁•期中）如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点4、B、C均在网

格的格点上.

⑴求4C、AB、8c的长;

(2)求△/!〃。的面积：

(3)点。至IJ4?边的距离.

易错必刷题四、勾股定理中的折叠问题

8.(24-25八年级上,浙江金华•期中)如图，有一张直角三角形纸片，两直角边4C=6cm,9C=8cm,将ZU8C

折置，使点8与点力重合，折痕为QE.

⑴求△4QC的周长.

(2)求CQ的长.

9.(2025・广东汕头•一模)如图，在三角形纸片。中，NBAC=90o,AB=2,BC=屈,沿过点力的直线

将纸片折叠，使点8落在边8c上的点。处：再折叠纸片，使点C与点。重合，若第二次的折痕与/C的

交点为E,则彳£的长是()

13

D.6一

10.(24-25八年级下•辽宁・期中)【初步感知】

(1)如图1,在三角形纸片力4C中，ZC=90°,力。=18,点D,£分别在边4C上，将沿OE

折叠，使点4与点B重合.£0=5,求4c的长；

【深入探究】

(2)如图2.将长方形纸片力5C。沿对角线4。折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点、E.若力4=4,

3。=8,求4E的长.

C

B

图1图2

易错必刷题五、用勾股定理构造图形解决问题

II.（25-26八年级上•陕西咸阳•期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一

尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有

儿.”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺.将它往前水平推

送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离。尸就和身高5尺的人一样高，且DE=C尸.若运动过程

中秋千的绳索始线拉得很直，则绳索4。的长为（）.

A.13.5尺B.14尺C.14.5尺D.15尺

12.（25-26七年级上•全国•期中）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池

塘的/处.另一只爬到树顶。后直接跃到力处，距离以真线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这

棵树高米.

13.（25-26八年级匕江西•期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在•定条件

下可以相互转化.数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以

形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而

起到优化解题途径的目的.

【思想应用】

（1）已知私〃均为正实数，且〃?+〃=4,求标高+元的最小值.通过分析，爱思考的小明想到了

利用下面的构造解决此问题：如图，＞18=5,AC=3,BD=A,ACLAB,BO//出，点E是线段/出上

的动点，且不与两端点重合，连接CE,DE,设/E=〃?，BE=n,

①用含"?的代数式表示CE-,用含n的代数式表示DE=；

②据此求，%2+9+J〃2+]6的最小值：

【类比应用】

（2）根据上述的方法，求代数式+25+J（X—16）2+式的最小值.

易错必刷题六、勾股定理的逆定理

14.（25-26八年级上•广东佛山,期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，其中能构成直角三角形的是

（）

A.3,4,5B.8,9,17C.6,7,8D.2,3,4

易错必刷题七、勾股定理的实际应用

15.（25-26八年级上•浙江宁波・期中）如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。为8c上一点,

将小。。沿力。折叠，使点。恰好落在46边上，则折痕彳。的长是（）

A

C.而D.3后

16.(24-25八年级上•河北・期中)如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，•架梯了斜靠在左墙时，梯了底端到

左增角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离

地面1.5米，则小巷的宽度为米.

0.7米

17.(25-26八年级上•山西太原•期中)综合与实践

图4

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角

三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于C?，另一种是等于

四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即;帅x4+(Z)-",从而得到等式C2=^abx4+(b-a)2,

化简便得到结论/+〃=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双

求法”

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好

者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和△/)口如图2放置，其

三边长分别为mb,c,NBAC=/DEA=90°,显然

(1)请用a,b,c分别表示出四边形力BOC,梯形AEQC,△E8Z)的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，证明勾股定理/+/=,2.

（2）【方法迁移】请利用“双求法”蟀决下面的问题：如图3,小正方形边长为，，连接小正方形的三个顶点,

可得△/BC,则AB边上的高为；

（3）皿图4,在△48C中，4。是8c边上的高，48=4,AC=5,BC=6,求8。的长.

易错必刷题八、勾股定理中的最短路径

18.（2025八年级上•全国•专题练习）【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2,A

和B是一个台阶两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若,4点处有一只蚂蚊要到8点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到8点

的最短路程是多少？

（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20,宽为15

的长方形，连接力4,经过计算得到长度为,就是最短路程.

【变式探究】

（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点幺出发沿着玻

璃杯的侧面到点8,则蚂蚁爬行的最短距离为

3

2

3

2

3

2

图①

【拓展应用】

(3)如图④,圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点力处有一滴蜂蜜，此

时，一只蚂蚁止好在外量上，离林上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂蚁从外壁8处到内壁/处所爬行

的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）

19.（25-26八年级上•江西鹰潭•期中）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是3cm,高是5cm.

（1）小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过/,E两点,求该长方体盒子中放入细木棒（JE）的

长度；

（2）在长方体盒子外表面的点力处有一只蚂蚁，若它想吃到点E姓的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路

程是多少？

20.（24-25八年级上•陕西•期中）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为

（1）•只蚂蚁在/点（容器外部）发现容器的外部距离顶部2cm处的C点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以

最短的路程到达。处.请问蚂蚁走的最短路程是多少？

（2）小明想用一根彩带从容器底面4点开始绕长方体四个侧面缠绕I周到达8点（假设彩带完美贴合长方体

的表面，彩带宽度不计）.请问彩带的长度最短是多少？

易错必刷题九、实数的相关概念

21.（24-25七年级下•全国•单元测试）下列说法正确的是（）

A.正实数和负实数统称实数B.正数、和负数统称有理数

C.带根号的数和负数统称实数D.无理数和有理数统称实数

22.（25-26七年级上•全国•期中）如图，矩形048c的边。4长为2,边力（长为1,04在数轴上,以原点0

为圆心，对角线（用的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是—.

C__4

-2-101?3

23.（25-26八年级上•山东济南•期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明

（1）如图1,在数轴上找出表示3的点力，过点力作直线/垂直于04,在/上取点8,使48=2,以原点。为圆

心，08的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是」

（2）如图2,有•个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰

好等于门的对角线（40）,己知门宽6尺，求竹竿长.

易错必刷题十、算术平方根及其非负性

24.（24-25七年级下•云南•期中）若小人满足（。-1『+再！=0,则的值是（）

A.-1B.1C.3D.-3

25.（25-26八年级上•江苏泰州•期中）若K,歹都是实数，且丁=8+足5+6二7,求x+3y的立方根.

26.（24-25八年级上•福建漳州•期中）如图，以。为圆心，以OB长为半径作弧交x轴于点儿点力所表示

的数为

B

]/（^*****************?**************^。।»

-3-2-1012

⑴求。的值；

（2）求J（q+3）2-1（〃_3）3的值.

易错必刷题十一、算数平方根的取值范围

27.（2025八年级上•全国•专题练习）（1）J/在哪两个相邻的壑数之间？

(2)3.1<J布<3.2正确吗？

(3)下列四个结论中，正确的是()

A.3.15<ViO<3.16B.3.16<屈<3.17

C.3.17<>/10<3.18D.3.18cM<3.19

28.(24-25七年级下•辽宁大连•期中)根据下表，回答下列问题.

X16.016.116.216.316.416.516.616.716.816.917.0

X2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

(1)278.89的平方根是多少？

(2),259.21=

(3)质在表中哪两个相邻的数之间？为什么？

易错必刷题十二、算术平方根的规律探索题

(2)按照你所发现的规律，猾想：—(〃为正整数):

30.(25-26八年级上•河南南阳•期中)观察下表:

a0.00010.01110010000

80.010.1110100

(1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动—位，它的的小数点就相应

的向左或向右移动位；

(2)根据你发现的规律填空：①已知,5.217~2.224,j521.7~22.L.

贝h/o①2r7a，-752170。:

②若J7ao.02284,则x*；

（3）拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动一位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动

____位；

①已知#0.000456«0.07697,贝lj-也56«;

②己知百。1.442,胸=3.107,则.

易错必刷题十三、平方根及其求解

31.（25-26八年级上•江苏泰州•期中）下列说法：①负数没有平方根：②-9的立方根是-3；③当是分数;

④E-4f的算术平方根是4-兀，其中不正确的有（）

A.①②B.②④C.①③D.②③

32.（2025八年级上•江苏•专题练习）下列说法正确的是（）

A.-4的平方根是-2B.-8的立方根是-2

C.1的平方根是1D.任何数的算术平方根都是正数

33.（25・26八年级上•江苏泰州•期中）解方程：

（1）X2=144：

（2）3（X-1）2=27.

易错必刷题十四、平方根、算术平方根的实际应用

34.（25-26八年级上•安徽•期中）素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的

总面积为1200n?.

素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为300m2的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面

墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为

5:2.根据上面两个素材，回答下列问题：

(1)求每块正方形地基的边长；

(2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由.

35.(25-26八年级上•江苏•期中)阅读与思考，请先完成第(1)小题的填空，再仿照完成第(2)小题的解

(1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方

形的边长.

(2)如图3是由5个面积为I的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，

求大正方形的边长.

36.(25-26八年级匕陕西•期中)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两

乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数例如：-9,-4,-1这三个数，

"(-9)x(-4)=6,J(-9)x(—1)=3,J(-4)x(7)=2,其结果6,3,2都是整数，所以-1,-4,—9这三个

数称为“完美组合数

(1)-48,-12,-3这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；

⑵若三个数-2,，〃，-72是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为36,求小的值.

易错必刷题十五、立方根及其求解

37.(25-26八年级上•陕西•期中)下列说法正确的是()

A.指中的〃不能小于0B.=〃

C.况的立方根是士2D.2是血的算术平方根

38.(24・25七年级下•全国•单元测试)求下列各式中上的值:

(1)]25.1=8:

(2)yr^=-2.

39.(25-26八年级上•福建三明•期中)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座

的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘

客十分惊奇，忙问计算的奥妙.

你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试:

⑴由1()3=]000，10()3=1000000,你能确定#59319是几位数吗?

(2)由59319的个位上的数是9,你能确定病杀的个位上的数是凡吗？

(3)如果划去59319后面的三位319得到数59,而33=27,4，=64,由此你能确定炳区的十位上的数是

几吗？

(4)已知17576,103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗?

易错必刷题十六、立方根的实际应用

40.(25-26八年级上•河南•期中)请根据如图所示的对话内容解答卜.列问题.

夕-tm㈱

Y忖肋㈱I例图&奸瞬”£

(1)求大正方体木块的棱长；

(2)求截得的每个小正方体木块的棱长.小红的部分解答如下：

解：设截得的每个小正方体木块的棱长为Km,则截得的这8个小正方体木块的总体积为cm\由题

意得：.

请补全以上填空并继续完成小红的解答.

41.(25-26八年级上•广东揭阳•期中)如图所示，一个体积为27cm3的正方体容器内，力点位置上有一只蜘

蛛，B点上有一只蚊子.

(1).E方体的边长为_cm；

（2）求蜘蛛到蚊子的最短路线长度.

（3）若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度.

易错必刷题十七、二次根式的相关概念

42.（25-26八年级上•陕西西安•期中）下列各式中，不一定是二次根式的是（）

A.G（a《O）B.]/_2a+lC.V7ZTD.必

43.（24-25八年级上叫川巴中•期中）设工、歹为实数，且y=4+J=+J=,则b一司的值是

44.（25-26八年级上•山西晋中•期中）如果质■是有理数，那么正整数〃的最小值是.

易错必刷题十八、二次根式的混合运算

45.（25-26八年级上•广东佛山・期中）计算:

（1）＞/18-y/8+

cA-旧，｛-[T

46.（25-26八年级上•甘肃张掖・期中）计算:

(1)46+屈-&+4&

(2)—y/2^y/2+2)

⑶旧-6+

，人同x屈.nr

（4）‘一4五

47.（25-26八年级上•河南郑州•期中）计算:

(l)x/80-^-745+4^1

⑵(6-2)2-百xVil

(3)(754-73)(75-73)+7124-76

易错必刷题十九、分母有理化

11

48.（25-26八年级上•四川・期中）已知x=求Y+y2-3.w的值.

V3-V2

49.（25-26八年级上•陕西•期中）观察下列过程:

4&+1r（血+铝1卜（0二-1）=（7咛2）-I2=艮】；

]==号五

V3+V2（币+吟X曲吟耐_耐'

（1）运用上述的方法可知：-；

⑵计算：（念TUTT……+幅:两卜哼+i）

2

a右时,按照上述方法求出3〃/一6〃?+7的值.

易错必刷题二十、二次根式的化简求值

50.（24-25八年级上•四川巴中•期中）已知：y=JT7-G5+2x有意义，求，4x+3y+6的值.

51.（25-26八年级上•全国・单元测试）已知x+y=2右,x-y=4.求下列各式的值：

（l）x2+2.ry+/；

(2).r-y2.

易错必刷题二十一、二次根式的应用

52.（25-26八年级上•陕西・期中）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台

EFGH,其面积为VI石面平方米，长为阿米.

□D

(1)求这个舞台的宽：(结果化简为最简二次根式)

(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为右米的装饰带(图中阴影部分)，求装饰后矩形舞

台N8CO的总面积.

53.(25-26九年级上•吉林长春•期中)如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台

ABCD,其面积为标而平方米，长为加米.

-------14

1

iy-------c

(|)求这个舞台的宽(结果化为最简二次根式)；

(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为加米的正方形升降台舞台的剩余部分

(图中阴影部分)铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用.

易错必刷题二十二、平面直角坐标系

54.(25-26八年级上•安徽安庆・期中)如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为V轴

正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是(-3,2),实验楼的坐标是(-4,0).

北

4-►东

(1)在图中画出此平面直角坐标系:

(2)校门在第象限：图书馆的坐标是；操场的坐标是

(3)若宿舍楼的坐标是(-2,-2),请在图上标出来.

55.(25-26八年级上•全国•期中)已知点+五)，根据下列条件分别求出点。的坐标.

(1)点下在x轴上.

(2)点P的纵坐标比横上标大0.

(3)点P到x轴的距离是点P到y轴距离的2倍.

56.(25-26八年级上•安徽安庆・期中)在平面直角坐标系中，已知点P(2〃?-6,m+2).

(1)若点P在V轴上，求点P的坐标；

(2)若点。的纵坐标比横坐标大8,试判断点「在第几象限，并说明理由.

易错必刷题二十三、平面直角坐标系中坐标的变化

57.(25-26八年级上•陕西•期中)如图，在平面直角坐标系中，已知/(TO),C(l,4),轴,

(1)求点8的坐标；

(2)在y轴上是否存在点P,使ABCP的面积为12?若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

58.(25-26八年级上•新疆吐鲁番期中)平面直角坐标系内的点力(机+1,5)与点4(3,5)关于》轴对称，则

w=.

易错必刷题二十四、中点坐标

59.(24・25七年级下•河北廊坊•期中)在平面直角坐标系中，以任意两点"(西,必),。(£,外)为端点的线段的

中点坐标为(土尹■•巧匹).例如：点4(1,3),8(7,1),则线段相的中点坐标为(4.2).

请利用以上结论解决问题：

⑴若点力(2,2),5(-4,4),则以点力和点4为端点的线段的中点坐标为.

(2)已知点。(1』),。(2,3),若。为线段CE的中点，求点£的坐标.

⑶已知点G和点M的坐标分别为(-1,6),(3,8),线段G〃与x轴平行，且G〃=6.若线段G”的中点与线段

MN的中点在第一象限重合，直接写出点N的坐标.

易错必刷题二十六、函数的相关概念

60.(25・26八年级上•陕西西安•期中)在学习地理时,我们知道：“海拔越高，气温越低”,如表是某天一地

的海拔/?(km)与对应高度处气温7(℃)的关系.

海拔h!km.,・01234・・・

气温r/c・・・201482-4・・・

⑴当海拔高度为26?时、气温是℃；当气温为-4C时，海拔是km.

(2)写出气温7与海拔人的关系式：7=；

(3)求海拔8h〃处的气温.

61.(24-25八年级」:•广东深圳•期中)弹簧」:挂物体后伸长，测得某一弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的

质量x(kg)可通过下面表格找到其对应值(0£%£10),根据上述信息，回答下列问题：

X(kg)012345678

y(cm)1111.51212.51313.51414.515

(1)弹簧不挂物体的长度是cm；

(2)写出弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的质量工(kg)的函数关系式，并指出它是什么函数？

(3)当所挂物体质量10kg时，弹簧的长度是多少？

易错必刷题二十七、一次函数的相关概念

62.(24-25八年级下・河南洛阳・期中)关于％的函数y=(加一1)/+〃一4.

(1))?和〃取何值时是关于x的一次函数：

(2)加和〃取何值时是关于x的正比例函数.

63.(25-26八年级上•山东•期中)已知(=("1)5+伊-4)是一次函数,则〃的值为一.

易错必刷题二十八、正比例函数的相关概念

64.(24-25八年级上•江苏・期中)若^=(。+1)，+(力-2)是正比例函数，则("力阳的值是

65.（25-26八年级上•全国•期中）已知函数卜=（〃?一5）--24+川+[.

（1）若它是一次函数，求〃?的值.

⑵是否存在加使它是正比例函数？若存在，请求出加的值；若不存在，请说明理由.

66.（24-25八年级上•全国•期中）已知关于x的一次函数P=（2A-l）x+（2Z+l）.

（1）当〃满足什么条件时，函数值丁随x的增大而增大？

（2）当《取何值时，y=（2A-l）x+（2〃+l）的图象经过原点？

（3）当上满足什么条件时，函数^=（2斤-1）工+（2〃+1）的图象与卜轴的交点在》轴的上方？

易错必刷题二十九、一次函数的图象与性质

67.（25-26八年级上•河南•期中）在平面直角坐标系中画出函数），=2%-4的图象，并完成下列问题:

以

5-

4-

3-

2-

1■

-5-4—3-2-g12345x

-2-

-3-

-4~

-5~

⑴函数图象与坐标轴所围成的三角形的面枳是:

（2）观察函数歹=2x-4的图象，当自变软x=时，y=-4；当自变量时，^>-4.

X・・♦01234•・・

y-2x-4-4-2024

易错必刷题三十、一次函数平移问题

68.（24-25八年级上•全国•期中）如图,解答下列问题.

(1)画出函数J=2x+1的图象:

(2)死一次函数y=2x+l的图象向下平移1个单位长度，求得到的一次函数的函数表达式.

易错必刷题三十一、一次函数图象与坐标轴交点问题

69.(24-25八年级下•河南商丘•期中)(1)点(。，1)向下平移2个单位后的坐标是；

(2)直线y=2x+l向右平移2个单位后的解析式是；

(3)已知直线y=2x+l交y轴于点儿交x轴于8,将直线4?沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式.

易错必刷题三十二、一次函数增减性

70.(24-25八年级上•安徽亳州•期中)已知一次函数歹二(%-1)x+2"4(心0).

(1)若函数值歹随x的增大而增大，求立的取值范围；

(2)若一次函数的图象经过点(-5,3),求左的值.

易错必刷题三十三、一次函数的实际应用1

71.(24-25八年级上•全国•期中)如图，人反映了甲离开4地的时间与离力地的距离的关系，匕反映了乙离

开,4地的时间与禽彳地的距离之间的关系，根据图象填空:

八s/千米

⑴当/为0时，甲离力地一千米；

（2）甲的速度为km/时，乙的速度为km/时；

（3）当/为一时，甲、乙两人离4地距离相等;

（4）当S=28时，乙离开/地的时间是一时；

⑸当z=2时，甲离4地的距离是一千米.

72.（24-25八年级下•河北•期中）4县和8县春季分别急需化肥100吨和60吨，7县和。县分别储存化肥

110吨和50吨，全部调配给力县和8县.运费如下表所示:

出发地

运费（元/吨）C县。县

目的地

/县4045

B县3550

（I）设从C县运到力县的化肥为x吨，则从C县运往4县的化肥为一吨，从。县运往力县的化肥为一吨，从。

县运往B县的化肥为一吨；

（2）求总运费沙（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案.

易错必刷题三十四、一次函数的实际应用2

73.（24-25九年级上•湖北孝感・期中）某超市试销一种新商品，在销售过程中，超市每天以每件100元的价

格将当天所进该商品全部售此一个月（按30天计算）后，对俏售情况进行了统计：该商品第x天的进价y

（元/件）与x（天）之间的相关信息如下表：

时间x（天）1Vx<20204x430

进价歹（元/件）-x+7050

该商品在销售过程中，F1销售量〃？（件）与工（天）之间的函数关系如图所示.

（I）直接写出该商品的日销售量〃？（件）与x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）

（2）此超市在销售该商品的过程中，第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少？

74.（24-25七年级下•陕西•期中）周六，小峰去博物馆参观学习,他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后

继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（m）和时间（min）

之间的关系.根据图象完成下列各题

（1）在这个过程中，自变量是，因变量是:

（2）点力表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？

（3）小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？

4

75.（24-25八年级下•宁夏银川•期中）已知一次函数y=-^x+4的图象与x轴、V轴分别交于点力、8,点

产从点力出发，沿X轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为/（s）.

（1）当/为何值时，△力的是以为斜边的直角三角形？

（2）当/为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点P的坐标？

压轴满分题一、勾股定理解三角形综合

76.(25・26八年级上•四川成都・期中)(1)在A4BC中,78=26,7c=30,过点4作直线8c的垂线,垂

足为0.

①如图1,若BC=28,求线段/ID的长；

②若力。=24,求线段8C的长.

(2)如图2,在△48C中，48=10,JC=25/i7,过点力作直线8c的垂线，交线段8C于点力.将△力8。

沿直线48翻折后得到对应的△力连接8',若4。=8,或线段CZX的长.

77.(25-26八年级上•广东佛山•期中)如图1,已知在Rt△44c中，4C8=90。，AC=8,BC=16,。是

4c上的一点，。。=3,点P从4点出发沿射线5c方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点。的运动时

间为「连接

⑴当4秒时，则”的K度为;

(2)当A/A尸是以为腰的等腰三角形时，求/的值；

(3)如图2,过点。作。£14〃于点E,连接P。，在点P的运动过程中，当〃。平分/力尸。时，直接写出/

的值.

压轴满分题二、勾股定理中最短路径综合

78.（25-26八年级上•河南•期中）如图，已知线段8C是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10,圆柱的高

力3=12,在圆柱的C侧面上，过点力、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝.

U

A

（1）现将圆柱侧面沿月6剪开，所得的圆柱侧面展兀图是二

（2）求该金属丝的长.

79.（25・26八年级上•山东青岛•期中）如图,长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是8。八8四,24cm,在AB

中点C处有一滴蜜糖，•只小虫从P处爬到C处去吃，有多种走法，则最短路程是（）cm.

A

D

24

A.25B.20C.24D.28

压轴满分题三、利用勾股定理求最值

80.（25-26八年级上•全国•期中）如图，C为线段6。上一动点，分别过点8,0作48_L8O,E/）_L8。，连

接NC,£C.己知/8=5,DE=1,BD=8,设CO=x.

（1）用含x的代数式表示4C+CE的长.

（2）请问当点。满足什么条件时，4C+CE的值最小？

后二|十亚丁芸的最小值.

（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式

81.(25-26八年级上•山东济南・期中)阅读并回答下列问题

【儿何模型】

如图①，力、8是直线/同侧的两个定点，问题：在直线/上找一点尸，使E4+尸8值最小.

【模型应用】

如图③，若力、E两点在直线/同侧，分别过点力、E作4EDOC为线段8。上一动点，连

接力。、EC.已知力8=5,DE=3,80:15,设。O=x.

(1)用含x的代数代表示ZC+CE的长为.

(2)图③中，当力C+CE的值最小时，求出最小值；

【拓展应用】

由庐T+J(X—3)2+4=J(X—0)2+(0—1)2+J(X—3)2+(0—2)2可得代数式的几何意义:如图，建立平面直

角坐标系，点P",0)是x轴上一点，则0『+(0-叶可以看成点Q与点力(0,1)的距离,

—3)2+(0—2)2可以看成点。与点见3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与外长度之和，

它的最小值就是的最小值.

(3)求代数式42一2x+10+_81+17的最小值.

压轴满分题四、算术平方根、立方根规律探究综合

82.(24-25七年级下•河北•期中)观察下表：

a0.00010.01110010000

0.010.111()100

(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：

(2)根据你发现的规律填空：已知、/5.217=2.284,J521.7-22.84.

贝IjA/0.052174--V52170«

若4a0.02284,则c;

(3)拓展提升：

①已知40.000456»0.07697,贝lj--7456«;

②已知将al.442,胸=3.107,则

压轴满分题五、复合二次根式化简

83.（24-25八年级匕湖南永州•期中）像“-2石,飞弧-而,这样的根式叫做复合二次根式.有一些

复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：

“-26=J3-2G+1="鬲-2石xl+1=/凤“=&］再如：

>/5+2^6=《3+2#+2=J（可+2xQx&+（码*=*6+用地+夜

请用上述方法探索并解决下列问题：

(1)化简：710+2721；

（2）化简：J14-8G；

(3)计算：<3-2VI+<5-26+V7-2VT2+…+,2023-2而23132+5/2025-2>/ibl2x1013•

压轴满分题六、分母有理化问题

84.（25-26八年级上•四川成都•阶段练习）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为=+=

所以&与&+1与亚-1互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中

的根号.

（1）写出6-2的一个有理化因式」化简：夕七=_;

V3-2

⑵化简：肃…

(3)拓展应用：已知a=J2023-J2022,b=J2024-J2023,c=J2025-J2024试比较〃,b,c的大小，并

说明理由.

85.（25-26八年级上•广东•阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：

2

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如耳石一样的式子，其实我们还可以将其进一步化

22（V3-1）2（V3-1）2（V3-1）,

简：=/…=一=&'，以上这种化简叫做分母有理化・

J3+1（V3+l）（V3-l）（司-12

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中•种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比

如我们熟悉的下面这个题：已知。+/）=2,ab=-3,求/+〃.我们可以把6和必看成是一个整体，令

x=a+b,y=ab,则/=（。4方）--2），=4+6=10.这样，我们不用求出6,就可以得到最

后的结果.

【解决问题】

（1）仿照上面的解题过程，化简：万*=.

Q）计算：丘…十环:国.

（3）已知J15+V726"=、,求Ji5+f+J26—-的值.

压轴满分题七、实数的新定义运算

86.（25-26八年级上•河南•期中）一次数学兴趣小组活动，老师和几个同学一起探讨：〃”=人中的a,b,，】

三者的关系.

同学甲：已知。，〃，可以求力，是我们学过的乘方运算，其中〃叫做。的〃次方.如：（-2）3=-8,其中-8

是-2的3次方.

同学乙：已知人"，可以求明是我们学过的开方运算，其中。叫做人的〃次方根.如：（±2>=4,其中±2

是4的二次方根（或平方根）：（-3）J=-27,其中-3是-27的二次方根（或立方根）.

老师：两位同学说得很好，那么请大家计算：

（1）阳的四次方根等于二-32的五次方根等于

同学丙：老师，如果已知。和那么如何求〃呢？这又是一种什么运算呢？

老师：这个问题问得好，已知。，。，可以求〃，它是一种新的运算，称为对数运算.

这种运算的定义是：若优=伙。>。,。工1）,〃叫做以。为底，，的对数，记作：〃=log,*.例如：23=8,3

叫做以2为底8的对数，记作3=1*28.根据题意，请大家计算:

2

(2)1og327=_；(-2)+V64-log4-^=_.

Io

随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果。>(),。工1,">(),N>0,那么

logaMN=loguM+log。N.

(3)请你利用上述性质计算：log,3+logs：.

压轴满分题八、平面直角坐标系的规律探究问题

87.(25-26八年级上•安徽安庆・期中)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动:

第一次：原点(0,0)一々(一1,3)：

第二次:4(7,3)-5(-2,0)；

第三次:4(-2,0)r〃(-3,5)；

第四次：厅(-3,5)-4(-4,0)：

第五次:A(-4,0)T(-5,3)；

归纳上述规律，完成下列任务.

(1)直接写出下列坐标：1,九:,七：

(2)第2025次运动后，鸟。”的坐标为；

(3)点P.距％轴的距离为，点P.距V轴的距离为.

压轴满分题九、平面直角坐标系中的面积计算

88.（25-26八年级上•陕西•期中）如图，在长方形O/3C中，。为平面直角坐标系的原点，点4的坐标为

（。,0）,点C的坐标为（0㈤，且。、〃满足而又+|力-可=0,点8在第一象限内，点。从原点。出发，以

每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-4-O的路线运动，回到。点，停止移动.设点尸运动的时间为

小）；

（1）点8的坐标为；当点P运动5秒时，点P的坐标为.

（2）在点。运动过程中，当△力。尸的面积为一个定值时，贝山的取值范围是;

（3）在O-C-6路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使AOBr的面积是10?若存在:，求出点尸运动的时

间；若不存在，请说明理由.

压轴满分题十、一次函数的图象与性质综合

89.（25-26八年级上•陕西西安•期中）（1）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-；x+3与x轴，V轴分

别交于月、3两点，在y轴上找一点尸，连接尸6,使得△月8尸是等腰三角形