相似三角形中K字型与十字架模型（3大题型）-北师大版九年级数学上册专项训练（含解析）

专题相似三角形中K字型与十字架模型(3大题型)(专项训练)

数学北师大版九年级上册

学校:姓名：班级：考号：

一、解答题

1.(1)如图1,在VA6c中，乙4=90。，将线段6c绕点6顺时斜旋转90。得到线段3D,

作DE/AB交A8的延长线于点E,求证：AB=DE；

(2)如图2,连接C。并延长交AB的延长线于点居若A3=2,AC=6,求防的长.

图1图2

2.已知正方形4BCD的边长为4,点E在A4边上，旦/M_L"•交BC边于点F.

⑴求证：..DAEsEBF；

(2)若点E为48的中点,求防的长；

(3)在(2)的条件下，着48的延长线与。尸的延长线交于点G,求8G的长.

3.如图，在四边形A8CD中，AB=AD,NA=N£>,E是AO的中点，CD-DE.求证:

△ABES/\DEC

DEA

4.如图，在V4AC中，八8=AC,点。在4c上，ZEDF=ZB,NE。/7的两边分别与ARAC

交于点EF,且BE=CD.

试卷第2页，共10页

⑴如图1,求证：BE+CF=BC；

(2)如图2,作CK平分NAC8,交DF于点K,若DK=2FK,且BC=5&，求线段8。的

长.

5.四功形A8C。是平行四功形，连接4C,BFJ.AC干点、E,交功人力于点E

】rn4~修——7AFDAFD

BC

备用图

⑴如图1,AF=FD=6C£=2,求A8的长.

(2)如图2,AF=FD,AB=AC,猜想线段即与C。的数量关系，并说明理由.

⑶如图3,BE=5,CE=2AE=\2.

①求证：AF=FD；

②将VA3C沿直线AC翻?斤得到V/W'C,连接交4。边于点P,连接庄，求正的长.

6.【情境再现】

(1)如图1,在正方形4ACO中，点E、尸分别在边AB、8C上，且。求证：DE=AF.

【迁移应用】

(2)如图2,在矩形A3CQ中，空=*(A为常数)，点七、F、G、〃分别在矩形A8C。的

An

FG

边上，且EGLFH,求证：—=k

FH

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形ABC。中，N6=NAOC=90°,/8。。=60。，CD=4,点E、/分别

一、单选题

7.如图，在正方形A3CO中，A3=6,点E在边AO上，RAE=2DE,连接。过点E作

EhBE,交.CD于点、F,则。尸的长为()

试卷第4页，共10页

A.3B-ic|D.1

三、填空题

8.如图，在四边形内ABC。中，4)=4,AB=10,点E为A4中点，连接。七、CE,若

四、解答题

9.如图，在矩形4BC。中，石为边。。上的一点，把VAOE沿AE翻折，使点。恰好落在

边8C上的点尸处，且AO=6.

(I)求证：AA6F^AFCE.

(2)若b为BC的中点，求AE的长.

10.如图，在VA8C中，AB=AC,点。，石分别在边3cAe上，ZADE=ZABC.

⑴求证：AABDsADCE、

⑵如果A8=8,BC=6,AE=7,求OC的长.

11.如图，£为人〃上一点，ZA=NCED=NB.

C

⑴求证：CAES-EBD；

⑵若C£■平分NACO,CD=9,BD=4,求ED的长.

试卷第6页，共10页

12.【尝试探究】在矩形力EC。中，E为AB边上一点,连接OE,过点E作EFJ.DE交BC

于点尸.

(2)如图②，若AB=12,AZ)=7,E为八8的中点，求解的长.

【拓展应用】如图③，在VABC中，乙4。8=90。)。=808=42为48边上一点(点后不

与点A,B重合)，连接CE,过点E作NCEF=45。交BC干点尸.当所为等腰三角形时，

BE的长为.

】3.【初识图形】

(I)如图l,E,尸分别为正方形48CD的CO边和BC边上的点，连接AE,。尸，旦则

AE

DF_~；

⑵如图2,矩形ABCO中，点E,尸分别在边A。，BC上，连接4Q,EF,且BDJ.EF,AB=3,

BD=5,求芸的值；

ril)

【类比探究】

⑶如图3,RtZ\A8C中，D,尸分别为4C,BC边上的点,48=6,AC=8,D为AC的

中点，连接B。，作AF工RD交BD于点、E,交BC于点F.直接写出AF的长为

14.(1)如图1,在矩形ABCD中，点E,尸分别在边。C,BC上,AEA.DF,垂足为点G.求

证：MDEs^DCF.

图1图2图3

【问题解决】

(2)如图2,在正方形A8CQ中，点、E,尸分别在边DC,8c上，AE=DF,延长8C到

点，，使CH=DE,连接求证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形人BC。中，点E,尸分别在边。C,4c上，AE=DF=\\,DE=8,

NAEQ=60。，求。尸的长.

试卷第8页，共10页

15.3）【问题发现】如图1,在中，A3=AC=4,ZBAC=90°,点。为AC的

中点，过点A作8。的垂线，垂足为E,延长AE交8c于点尸，求△AM的面积.小明发现，

过点。作人。的垂线，交AF的延长线于点G,构造出全等三角形，经过推理和计算，能够

得到打，与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：芸=_,△AB/的面积为

（2）【类比探究】如图2,将（1）中的条件“点。为AC的中点”改为“点。为边AC上的一

点，且满足CZ）=2A0”，其他条件不变，试求△人3户的面积，并写出推理过程.

（3）【拓展迁移】如图3,在VABC中，AB=AC=4,/84C=120。，点。为AC上一点，

且满足C£>=2AD,E为BD上一点、,NAE8=60。，延长AE交BC于尸，请直接写出

的面积.

16.【模型识别】如图1,人4_1,8。于点8,CE上BC于点、C,ACJLDE交BC于点、D,求

DECE

证:~AC~^C

【尝试应用】如图2,在平行四边形AAC。中，E是3C上的一点，连接AE,作。尸J.人£交

r\p

BC于点、F,CE=EF,若=40=5,tanZC=3,求——的值；

AE

3

【拓展探究】如图3,已知菱形A3C。的边长为10,tanZABD=4,点E为边A8上的一

4

点，连接过点A作AG_LOE交80于点尸,交4C于点G,且OE=2A厂，求CG的长.

试卷第10页，共10页

参考答案

题号7

答案B

1.(1)见解析(2)10

【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握

知识点是解题的关犍.

(1)先证明NC8Z)=90。，BC=BD,可推导出/8。4=/£>8£=90。一443。，继而证明

ABC组.EDB(AAS),即可解答；

DEEF

(2)先证明BE=AC,DE=AB,再推导出DE//AC,可得到公DEFs^CA/，则一=—,

ACAF

求出政=4,即可解答.

【详解】(1)证明：•・•线段/3C绕点B顺时针旋转90。得到线段3Q,

/.ZCBD=90°,BC=BD,

ZA=Z£?-90°,

在△人9。和4EDB中,

Z=NE=90。

«NBCA=NDBE,

BC=BD

・•・AB8&EDB(AAS),

，AB=DE；

(2)解：由(I)可知：dABgaEDB(AAS),

:・BE=AC,DE=AB,

VAB=2,AC=6,

DE=2>BE=6»

AE=AB+BE=8,

••ZDEB+ZA=\S00,

答案第1页，共24页

/.DE//AC

，ADEFsMAF,

.DEEF

••=，

ACAF

£F=4,

，BF=BE+EF=\O.

2.⑴见解析

(2)1

(3)i

【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质.

(1)根据正方形的性质组合力行IF.F,推出正，即口I■证明结论:

RFRF

(2)先求出AE=AE=2,根据4/阴后2.£4/，推出一=—,即可求解；

AEAD

(3)根据〃防，易记AZXJsBFG,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：•・•正方形A4CO,

，ZA=ZB=90°,

*/EF±DE,

，ZAED+/BEF=90°,

又/BEF+/BFE=90°,

：・ZAED=/BFE.

*/ZA=ZB=90°,

：・_DAEs@F；

(2)解：:点七为AS的中点，

,AE=BE=2,

,/二DAESJEBF,

.BFBE

.•----------,

AEAD

.BF2

••一，

24

，BF=I；

(3)解：如图，

答案第2页，共24页

VAD//13F，

；・ADGsBFG,

.BFBG

••*,

ADAG

.IBG

**4-4+BG'

4

Z.BG=-.

3

3.见解析

【分析】本题考杳了相似三角形的判定定理，由题意可得工=空=工，再结合NA=ND即

DEAB2

可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关健.

【详解】证明：;E是AD的中点，

AAE=-AD

2f

•:AB=AD9

/.AE=-AB,

2

":CD'DE,

2

.CDAE\

•・・N4=ND,

，AABE^ADEC.

4.(I)证明见解析

(2)BD=—

3

【分析】(1)证明二正。密CO*ASA),得到8O=b,进而即可求证；

(2)过点”作户H〃CO,交CK的延长线于点“，由角平分线的定义及平行线的性质可

得NFCH=NBCH=NH,即得。尸=”尸，再由ACDKS^HFK,得到8=2尸”=2CF,

进而由(I)9=C/可得。。=2也)，即得到BC=3BD=5&，即可求解；

答案第3页，共24页

本题考查了三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正

确作出辅助线是解题的关灌.

【详解】(1)证明：•；£DF=/B,/B+/BED=/CDF+/EDF,

・•・4BED=NCDF,

;AB=AC,

/./B=NC,

XVBE=CD,

・•・BED^CDF(ASA),

:.BD=CF,

：.BE+CF=CD+BD=BC；

(2)解：如图，过点r作F”〃C。，交CK的延长线于点”，

TCK平分N8C4,

/.4FCH=ABCH=Z.H,

:,CF=HF,

'：FH//CD,

:.ACDKS,HFK,

.CDDK2FK「

..-----==-------=2,

FHFKFK

:・CD=2FH=2CF,

又由(1)可知8O=b,

：.CD=2BD,

・'BC=3BZ)=5夜，

3

5.(I)x/i7

(2)BF=41CD»见解析

答案第4页，共24页

⑶①见解析；②且

4

ACAp

【分析1(1)根据题意证明出△AMSACEB,得到芸=等，代数求出4E=1,然后利

BCCE

用勾股定理求解即可；

CFRCRF

(2)证明出，8反3&陶，得到===2,设=则CE=勿，勾股定理求

AEAFEF

出鹿，进而得到E/,BF，然后代入求解即可；

ATATApApI

(3)①证明出△AEA's/xc仍，得到芸然后结合CE=2AE,得到受=及=

BCCEBCCE2

进而求解即可；

②如图，连接&F,证明出8,七,£夕在一条直线上，过P作P〃_L/AC于，,证明出AP=PC,

PHCH

得到夕石=8七=5,AE=6,求出A”=9,£77=3,证明出^CPH^^CB'E，得到丁=——，

BECE

代数求出尸H，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】⑴解：•・•四边形A8CD是平行四边形，AF=FD=有,

AD//BC,BC=AD=2AF=2>f5,

AEFsCEB»

.AFAE亚AE

••=,H即n-r==，

BCCE2近2

解得AE=1.

,.・BFA.AC,

:.NBEC=ZAEB=9()。,

/.BE2=M-CE?=(2可-2?=16,

/.AB=UAE2+B可=衣+心屈；

(2)解：BF=41CD.

理由：四边形A88是平行四边形，AF=FD,

：.AD//BC,AD=13C=2AFf

:.△BECS^FEA,

.CEBCBE

AEAFEF

设AE=a,则CE=〃.

答案第5页，共24页

AB=AC,

/.AB=AC=AE+CE=a^-2a=3a.

・.,BF1AC,

/.ZAEB=90。,

BE=y]AB2-AE2=7（3a）2-a2=2亿，

:.EF=4ia>

BF=BE+EF=2>/2a+>j2a=3缶.

•.•AB=CD,

，—旭=&.

CDAB3a

：.BF=6CD；

（3）①证明：四边形NBC。是平彳丁四边形,

.\BC^AD,AD=BC,

AEFsCEB,

.AF_AE

CE=2AE,

•AF—AE.1

~BC~~CE~2,

：.AF=-BC=-AD,

22

:.AF=FD^

②解：如图，连接丁尸,

由折叠得，ZBEC=Z^EC=90°

VBFJ.AC于点E,

:,B,E,F,9在一条直线上，过。作P〃_LA。于H.

由折叠得，ZAC13=ZACP,

答案第6页，共24页

.•四边形ABC。是平行四力形，

:.ZACB=Z.PAC,

：.ZPAC=ZPCA,

:.AP=PC.

•;BE=5,CE=2AE=\2,

B'E=BE=5,AE=6,

AH=HC=-AC=-（AE+CE）=-x（6+\2）=9,

222

EH=AH-AE=9-6=3.

・.•NPHC=NPEC=90°,4PCH=/BCE,

.^CPH^^CB'E,

PHCH-CHB'E9x515

---=----,即PH=-----------=------=—,

BECECE124

.•）石=:即2+尸少二卜+（弓j=率.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形

的性质和判定，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

6.（1）见详解；（2）见详解；（3）AB=2G-1

【分析】（1）由“ASA”可证即尸，可得£>E=A尸；

（2）过点。作DW〃而交AB于点M,过点A作4N〃切交BC于点N,通过证明

△ADMs/\BAN、可得结论；

（3）过点。作。G〃4C交朋的延长线于点G,过点C作C”SQG于点〃，由相似三角形

的性质和直角三角形的性质分别求出G”,AG的长，即可求解.

【详解】（1）证明：•・•四边形48C£>为正方形，

/.AD=AB,/EAD==90°,

又；DE1AF,

JZADE+ZDAF=90°=NBAF+ZDAF,

,ZBAF=ZADE,

AAA£>E^^F（ASA）,

；・DE=AF；

答案第7页，共24页

（2）证明：过点。作DM〃EG交A4于点M,过点八作AN〃尸”交8C于点M

•••四边形ABC/）是矩形,

AB//CD,AD//BCNBAD=ZB=90°,

,:DM〃EG,AB//CD,

・•・四边形EGOM为平行四边形,

/.DM=EG，

同理可得4N="7,

由（1）同理可得NAOM=NB/W,

・•・^ADM^/XBAN,

.DMAD

•而一方

・EG

>•-----

FH

（3）解：过点。作7X7〃8c交/M的延长线于点G,过点C作C/71OG于点H.

图3

VDG//BC,Z4Z?C=90°,

・•・47=乙46。=9（『，

又•：CHJ.DG,

・•・四边形3C”G为矩形,

由（2）同理可得：2=凄=46-6,

CEGH

/BCD=3，

ZDCH=30°,

答案第8页，共24页

VCD=4,

・•・DH=-CD=2,CH=>]CD2-DH2=273=BG,

2

CH

：.GH=2+6,

4>/3-6

，QG=G,

XVZAZX?=90°,

/.ZADG+4CDH=NCDH+/DCH=90。，

，ZAZX7=ZDCH=3O°,

，AG=—DG=1,

3

，AB=BG-AG=2^3-1.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解

题的关键.

7.B

【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明一以白迎瓦/，得

出D骼F=与DF，代入计算求出答案•

AEAB

【详解】解：在正方形A8CD中，48=6,EFA.BE,

\AB=AD=CD=6^A?D?BEF90?,

ZAEB=90°-ADEF=NDFE,

\BAEs,EDF,

DFDE

/.——=——，

AEAB

vAE=2DE.AD=6f

2

故选•B.

4

8.5-

答案第9页，共24页

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解题的关键.利用=ZA=ZDEC,得出NBEC=NADE,

AF)4/775

再由/4=N8,得出ADEs工BEC,贝4针=黑，求出4c即可求解.

BEBC4

【详解】解：'：/DEB=ZA+ZADE,ZA=ZDEC,

/DEC+/BEC=/DEC+ZADE,

・•・二BEC=/ADE,

又•••/4=N8,

:.ADESQBEC,

,ADAE

•,诟—正’

VAD=4,48=10,点E为AB中点,

/.AE=BE=5,

.4_J_

••—，

5BC

解得：BC=g25

4

BE_5_4

ABC-25-5，

-4

4

故答案为：

9.(1)见解析

(2)AE=4X/3

【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等

知识，推导出N3AE=NCEE,进而证明dABPs二FCE是解题的关键.

(1)由矩形的性质得N8=NC=NO=90。，由翻折得/4所=/。=90。，推导出

乙BAF=々CFE,则.ABFjFCE；

(2)由尸为BC的中点，BC=AO=6,得8/二尸。=3,由A/=AO=6,勾股定理求得八B,

进而根据相似三角形的性质求得样，在RiH月产中，勾股定理，即可求解.

【详解】(1)证明：四边形A8C。是矩形，

.\ZB=ZC=ZD=90°,

•・,把AADE沿AE翻折，点。落在边上的点F处，

.•.乙”七=〃=90。，

答案第10页，共24页

•/ZBAF+Z4FB=90°,ZCFE+Z4FB=90°,

二.4BAF=4CFE,

ABFs：.FCE.

(2)解：•.♦尸为8c的中点，BC=AD=6,

BF=FC=-BC=3,

2

A尸=A£>=6,

AB="A/?-BF?=J6?-32=3后，

ABFS,FCE,

:"=竺=巫=6

FEFC3

AF=6FE=6,

:.FE=26,

・•・在Rt^AEF中，AE=JAF2+相=J+Q用=4,

即AE=4瓜

10.(1)见解析

(2)DC的长为2或4.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质

是解题的关键.

(1)由等腰三角形的性质可得N8=NC,由外角的性质可得NR4O=N8E,可得结论;

(2)根据△ABOSAQCE,得到胃=胃，进而求出解即可.

ABBD

【详解】(1)证明：AB=AC,

：./B=/C,

VZADC=ZABC+ZRAD=ZADE+ZCDE,NADE=NABC

:"BAD=NCDE,

:.^ABD^/\DCE.

(2)解：•.AC=AB=8,AE=7,

:.CE=AC-AE=\f

ABD^DCE,

答案第11页，共24页

BD=BC-CD=6-CD,CE=AC-AE=S-7=\

CDCECD1

/.——=——，即Hn——=-----,

ABBD86-CD

解得CZ)=2或CO=4,

/.DC的长为2或4.

II.(1)证明见解析

(2)6

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到

△CAEsMBD.

(1)根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得N£>E3=NACE,证明

即可解答.

(2)结合⑴和C£平分NACO,证明陀s,££>3,可得盥=卷，进而可得答案.

DEDB

【详解】(I)证明：VZA=ZC£D,ZA+ZACE=NCED+NDEB=NCEB,

工/DEB=ZACE,

又；44=々，

工ZAEMEBD.

(2)解：TCE平分NA8,

:.ZACE=ZDCE,

由(1)知，/DEB=ZACE,

：./DCE=/DEB,

又ZB=ZCE£),

:・CDEs.EDB,

.CDDE,9DE

..-----=-----,RJ(-lr------=-----,

DEDBDE4

・•・ED=6.

12.(1)证明见解析；(2)BFq;(3)2&或2

【分析】本题考杳了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩

形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键.

【尝试探究】⑴根据矩形的性质和垂线的定义可得4==々=90。，AD=BC=BF,

则可证明AE=8/，ZADE=/BEF,据此根据全等三角形的判定定理可证明结论；

答案第12页，共24页

(2)同(1)可证明=厂=NA=90。，ZADE=ZBEF,则可证明“EDs/庄，据

此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可；

srrp

【拓展应用】由勾股定理可得AC=8C=2上，证明二ACEs二阿，得到黑==，由ACEF

BEEF

为等腰三角形且NEOH90。，可分两种情况讨论：EC=EF和FC=FE,利用相似三角形

的性质求解即可.

【详解】解：【尝试探究】(1)•••四边形A68是矩形，EF±DE

：.ZA=NDEF=NB=90。,AD=BC=BF,

VAD=AE,

••・AE=BF；

,?ZADE+ZAED=ZBEF+ZAED=90°,

，ZADE=ZBEF,

：.AED^BFE(AAS)；

(2):四边形ABC。是矩形，EFl.DE

：,ZA=NDEF=/B=90。,

:ZADE+ZAED=/BEF+ZAED=9()。，

/.ZADE=/BEF,

:,这EDs上FE,

.ADAE

••=,

BEBF

VAB=I2,E为A8的中点,

・•・AE=BE=-AB=6

2f

.76

••一=，

6BF

/.RF二等

【拓展应用】・・・N4C8=90。，AC=BC,A8=4,

**•^CAB=NCBA=45°，AB=>]AC2+BC2=®AC=&8c=4，

***AC=BC=2>/2，

•・•ZCEF=45°,

，ZACE+ACEA=ZBEF+NCEA=180°-ZCEF=135°,

/.乙ACE=/BE卜,

答案第13页，共24页

:…ACEs.BEF,

.ACCE

••=,

BEEF

,:ACEF为等腰三角形且ZECF*90°,

・•・ZCFE0180。-90。-45'=45°,

:,CEHCF,

当EC=EF,则生二注=1,

BEEF

BE=AC=2>j2;

当FC=FE,则/七。产=/。痔=45。,

・•・ZCFE=90°,

CE=\IEF2+CF2=4IEFY

噂噜S

・・.哈*2

综上所述，M的长为2a或2.

13.(01

⑵：

⑶喀

【分析】（I）根据正方形的性质，垂直的定义可得/6/=/。4凡可证“力七-DCF（ASA）,

MWAE=DF,由此即可求解：

（2）过点E作EHJ.BC于点H,可得四边形八BHE是矩形，可证..ADBs.HEF,求出

七尸=二，由此即可求解；

4

C）过点户作于点M,运用勾股定理可得AC=10、BO=2而.设C尸=5.x,可

证ACM/SGCAA,得到CM=4KMF=3x,AM=8-4x,再证二AB4一MAF，求出x二,

则"/小⑶,由此即可求解；

4

【详解】（1）解：•・,四边形ABC。为正方形，

AD=DC/EDA=NFCD=90°,

AELDF.

答案第14页，共24页

ZADF+乙DAE=90°,ZADF+NCDF=90°,

/.NCDF=/DAE,

在RlADE与Rt.以犷中.

/ADE=NDCF

<AD=DC,

NDAE=NCDF

.<ADE乡一DCF(ASA),

:.AE=DF,

AE.

/.——=1,

DF

故答案为：1.

(2)如图，过点石作于点〃,

四边形A8C3为正方形，AB=3.tBD=5,

..AD=BC=^BD1-AB2=^52-32=4»

ZBAE=ZBHE=ZEHF=90°,AD//BC,

四边形4加兀为矩形，ZADB=NDBC,

:.AB=HE=3,

BDtEF于点G,

/.4GEH+AGED=ZGED+ZGDE=90°,

:.ZADB=/HEF,

:ADBs_HEF,

.EFEH

~BD~~AD，

即X

:.EF=^-t

4

15

•竺工3

BD54

答案第15页，共24页

(3)如图所示，过点尸色FMJ_AC于点M,

A8C是直角三角形,NBAC=90°,A8=6,AC=8,

/.BC=y/AB2+AC2=762+82=10，

丁点。是AC的中点,

AD=CO=-AC=-x8=4,

22

在RtZ^AB。中，AB=6,AD=4,

BD==762+42=2V13，

设b=5x,

/CMF=ZCAB=90°,NC=NC,

”CMFs±CAB,

.CFCMMF

5xCMMF

即nn---=-----=-----,

CB86

CM=4x,MF=3x,

:.AM=AC-CM=S-4x,

AF±BD,

ZABD+/BAE=/BAE+ZFAM=90°,

:.ZABD=ZFAD,

又丁ZBAD=ZAA/F=90°,

：^.ABD^^MAF,

ABADBD

即U=迈

8-4.r3xAF

解得x哈，

“2屈x3x2旧x3x$24

/.AF=-------------=----------------=---------

答案第16页，共24页

故答案为：之巫.

17

【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股

定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造

相似三角形，数形结合分析是解题的关键.

14.(1)见解析(2)见解析(3)3

【分析】(1)由矩形的性质可得NAO石=/"尸=90°,贝IJNCZ)尸+尸C=90°,再由

4£_1_止，可得//%花=9()。，则NCD/+NAE£)=90。，根据等角的余角相等得

ZAED=ZDFC,即可得证；

(2)利用"HL”证明.AD除ADCF，可得QE=CV,由CH=OE,可得CF=CH,利用“SAS”

证明.ZXYdDC",则N£WC=ZDR2,由正方形的性质可得人。〃8C,根据平行线的性质，

即可得证；

(3)延长8c到点G,使CG=OE=8,连接OG,由菱形的性质可得4。=DC,AD//BC,

则NAOE=N£)CG,推出△AOEgaOCG(SAS),由全等的性质可得N7X7C=N4ED=6O0,

DG=AE,进而推出」是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可.

【详解】(1)证明：四边形A4c。是矩形，

:.ZADE=^DCF=90°,

.•.ZCDF+ZDFC=90°,

「AELDF,

ZDGE=90°,

.•.NCDF+ZAED=90。,

ZAED=ZDFC,

:./SADE^^DCF；

(2)证明：四边形人〃C。是正方形，

/.AD=DC,AD//BC,ZADE=NDCF=90。,

\'AE=DF,

M4/)EM./XT(HL),

/.DE=CF,

又CH=DE,

CF=CH,

答案第17页，共24页

,点〃在AC的延长线上,

/DCH=NDCF=90。,

-DC=DC,

."bqsc，(SAS),

:.NH=NDFC,

丁AD//BC.

:.ZADF=NDFC=NH；

(3)解：如图，延长BC到点G,使CG=DE=8,连接。G,

四边形4BCD是菱形,

ZADE=ZDCG,

.zADE^_OCG(SAS),

ZDGC=ZAED=60°,DG=AE,

,AE=DF,

:.DG=DF,

LOPG是等边三角形，

:.FG=FC+CG=DF=\\,

.\FC=ll-CG=ll-8=3.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似

三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点

并灵活运用是解题的关键.

15.(1)2,y；(2)AAM的面积6：(3)SABF=臂^

【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应

用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用.

(1)过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G,证明“1CG丝二B4Z),得到CG=4。，

证明aC尸GS.8AA,求出所与Cf的数量关系，得到小台尸的面积.

答案第18页，共24页

(2)过点。作AC的垂线，交"'的延长线于点从类比(I)即可解决.

(3)如图3中，作C”_L8C交AF的延长线于从AKJ.8C于K证明B":BC=4:5,求

出VA8C的面积即可解决问题.

【详解】解：(1)如图1,过点C作AC的垂线，交"、的延长线于点G.

ABAC=90°,ZACG=90°,

...ZABD+ZADB=90°,ZBAC+NACG=180°,

/.CGAB,

AELBD^

・•・^DAE+ZADB=9O0,

•••ZCAG=ZABD,

在.ACG和8A。中，

ZCAG=ZABD

<AC=AB,

zlACG=/BAD

.•・ACG^84)(ASA),

ACG=AD=-AC=-AB,

22

VBA//CG,

；・CFGsBFA,

,CGCF\

••布一诟一3'

ABF:CF=2,

・・・zM班'的面积=2仓/4?4—；

323

(2)如图2,过点C作力C的垂线，交"'的延长线于点”.

答案第19页，共24页

A

*：NE4C=90。，

・•・ZABD+/ADB=90°.ZBAC+zLACH=180°,

:,CHAB,

•；AE1BD，

JZDAE+ZADB=90°,

/.ZCAH=ZABDf

在.AC"和484）中，

NCAH=NABD

AC=AB,

ZACH=/BAD

・•・-AO/且&AAQ（ASA）,

：.CH=AD=-AC=-AB,

33

*/BA//CH,

••・ACFHs^BFA，

.CH_CF|IfI__3

ABFB34

31

△AB/7的面积=-x-x4x4=6；

42

(3)如图3中，作C”_L8C交"•的延长线于H,AKLBC于K.

•；AB=AC,ZBAC=\20°,

，ZA13C=ZACB=30。，

答案第20页，共24页

•：/BCH=ZAKC=90°,

：.ZLACH=/BAD=120°,AKCH,

,:?ABD2ADB180?120?60靶AEB二？EAD2ADE60?,

/.ZABD=/CAH,

・,・_8AD^_AC〃（ASA）,

・••CH=AD,

,/AK1BC,

ABK=CK,

在RtACK中，VAC=4,7ACK30?,

AK=>AC=2,CK=BK=2退,

2

4

•・•AK//CH,AD=CH=~,

3

4

・••FK.FC=AK:CH=2:-=3:2,

3

ABF.BC=4:5,

:，SABF=g?SABC1仓44日2.

16.模型识别：见解析；尝试应用：!；拓展探究：

【分析】本题考查矩形的判定弓性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角

形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目.

(1)证明AACs.ocE即可得出结论;

(2)过点A作AM±CB的延长线于点M,过点F作FNLAD于点、N,先证明四边形AMFN

是矩形，AM=3BM,求出=1继而证明AAMESQN则笑=粤=券,设

。DFDNNF

36-v

CE=E/=x，则CF=2x,MF=6-2x,ME=6-x,即/W=M/=6—x,得至lj-------=--

213

求出x的值，即可解答.

(3)连接AC交DE于M,交BD于O,根据菱形性质和解直角4noA,求得OA=6,=8,

再证明OMD^OFA,得器=器=%=：=：,从而得OM=：A尸，继而求得

OFAFOA6333

然后证明二八叱，得到黑=穿，则寝=2,即可求得AM=4,