直线与圆综合必考九类问题（专项训练）-人教A版高中数学选择性必修第一册（解析版）

专题03直线与圆综合必考九类问题(举一反三专项训练)

【人教A版(2019)]

题型梳理

【类型1圆的弦长与中点弦问题】.................................................................2

【类型2圆的切线及切线方程问题】..............................................................6

【类型3直线与圆中的面积问题】................................................................10

【类型4直线与圆中的最值问题】................................................................15

【类型5直线与圆中的距离问题】................................................................19

【类型6阿波罗尼斯圆】........................................................................25

【类型7直线与圆中的向量问题】................................................................30

【类型8直线与圆中的定点、定值、定直线问题】.................................................35

【类型9直线与圆中的探索性问题】.............................................................40

知识梳理

知识点1直线与圆相交时的弦长求法

1.圆的弦长的求法:

设直线/的方程为尸匕+力，圆C的方程为(x—x0)2+(y—%)2=〃2,求弦长的方法有以下几种:

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离4、弦长/三者具有关系式：/

(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为力«,y"区,外).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

y=kx-\-b

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次

222

(x-xQ)+(y-y0)=r

方程中根与系数的关系可得M+X2,M“2或》+外,*・》2的关系式，通常把|力用="^国一切1或

|力阴=J1+'|凹一对叫作弦长公式.

知识点2圆的切线及切线方程问题

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1.自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆处，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2.求过圆上的一点(xoj，o)的圆的切线方程：

⑴求法:先求切点与圆心连线的斜率以原0),则由垂直关系可知切线斜率为由点斜式方程可求得切

线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.

①经过圆/+y2=产上一点p(x«,%)的切线方程为=r2.

②经过圆(x—。)2+(y—份2=/.2上-一点P(X0,%)的切线方程为Go—a)(x—a)+(y。-b)(y—b)=r2.

③经过圆X?+y^+Dx+E^F=0上一点尸(X0,M))的切线方程为x0x++D-巧包+E•巧&+F=0.

知识点3解决直线与图有关的最值与范围问题的常用方法

1.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法

直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参

数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性

质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如“匕2的最值问题，可转化为动直线斜型的最值问题.

x-a

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如(x—a)2+(v-存的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

知识点4阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点力(口0),8征0)伍＞0)的距离之比为正数，/¥1)的点的轨迹是以

0(品*d。)为圆心，|思为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆・

题型归纳

【类型1圆的弦长与中点弦问题】

1.(24-25高二上•山东•阶段练习)直线Z:y=》与圆M:，+(y—i)2=4交于48两点，则4阴=()

A.2B.y/7C.2夕D.旧

【答案】D

【解题思路】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即“J.

【解答过程】圆M的半径r=2,圆心M(0,l),则圆心M到直线/的距离4=等=今，

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故=2Vr2—d2=X^14.

故选：D.

2.(24-25高二上•重庆•阶段练习)若点P(l,2)为圆d+y2=8的弦4B的中点，则弦力B所在直线的方程为

()

A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0

C.x—2y+3=0D.2x—y=0

【答案】A

【解题思路】根据垂径定理可知，AB1CP,结合直线的位置关系，即可求解.

【解答过程】圆工2+旷2=8的圆心为C(0,0),而点尸(1,2),

所以&CP=W=2

由题意可知，AB1CP,

则•hp=-L所以七8=一号

所以弦力8所在的直线的方程为y-2=--1),

即％+2y-5=0.

故选：A.

3.(多选)(24-25高二上・安徽亳州•阶段练习)己知圆C:(%-I)2+(y-2)2=25和直线1:(1-m)x+(3m-

1处一2=0,则下列说法正确的是()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.圆。被y轴截得的弦长为2遥

C.直线2与圆C恒相交

D.直线，被圆。截得最短弦长时，直线，的方程为2x-y-5=0

【答案】ACD

【解题思路】对于A,整理直线的方程，令m系数为()即可解：对于B,令％=0,解得丫=2±2遍，计算

弦长即可：对于C,判断直线定点与圆的位置关系即可；对于D,直线I被圆C截得弦最短时，则I1CP,借

助直线垂直时斜率关系求斜率，进而得到直线方程.

【解答过程】直线，的方程整理得Q-y-2)+m(-x+3y)=0,

由二;'得所以直线，过定点P(3,l),故A正确；

在圆C方程中，令乃=0,得1十(/-2)2=25,解得y=2_L2而，

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所以圆C被y轴截得的弦长为(2+2V6)-(2-2V6)=4瓜,故B错误；

因为(3-1)2+(1-2)2=5V25,所以(3,1)在圆C内，则直线I与阿C一定相交，故C正确；

直线，被圆C截得弦最短时，I工CP，且4“=三=一3所以吊=2,

3-1i

则直线侑勺方程为y-1=2。-3),即2%-、-5=0,故D正确.

故选：ACD.

4.(24-25高二上•河北石家庄•期中)直线/：无-my+m-1=U被圆。：无？+产=4截得的弦长最短，

则实数m=.

【答案】一1

【解题思路】根据直线/的方程，求得直线1所过的定点4(1,1),进而判断点4(1,1)在圆内，由圆的性质可得当

04，，时弦长最短，进而求解即可.

【解答过程】直线，的方程可化为％-1+(1-y)7n=0,由｛；［；：,，得后;；，

所以直线I过定点4(1,1).

圆0：x2+y2=4,圆心。(0,0),半径为2,

因为""v4,所以点4在圆。内.

设直线2与圆。交于M,N两点，则当04J.I时,|MN|取最小值,

由1,得lx\二—1,所以m=-1.

故答案为：—1.

5.(24-25高二上•浙江杭州•期末)已知圆C:(x-2尸+俨=r2(r>0)与y轴相切.

(1)直接写出圆心C的坐标及r的值；

(2)直线，:3x-4y-1=0与圆C交于两点4求|力所

【答案】(l)C(2,0),r=2

(2)273

【解题思路】(1)由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径；

(2)法一•由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.

【解答过程】(1)^C-.(x-2)2+y2=r2(r>0),

则圆心C(2,0),因为圆C:(x-2>+y2=八&>0)与y轴相切,则半径4=2.

由(1)知，圆的方程为C:(%-2/+V=%圆心C(2,0),半径为2.

(2)法一:设4(孙力),8(如丫2)，

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3%—4v—1=0

(A；a.24，得25d一70%+l=°，

((x-2)'+yZ=4

△=(-70)2-4x25=4800>0,

则为1+%2=装，打工2=装,

2

所以/B|=J1+-x2\=lj(xj+X2)-4X1X2="d丫-<=2痘.

12

法二：圆心C(2,0)到直线L3x-4y-1=0的距离d=,黑工=<>

贝=2Vr2—d2=2V4—1=2>/3.

故|AB|=2vs.

6.(24-25高二上•四川自贡•期末)已知圆。:炉+产=8内有一点P(—l,2),直线过点P且和圆C交于4

8两点，直线/的倾斜角为a.

(1)当a=135。时，求力8的长；

(2)当弦力R被点尸平分时，求直线/的方程.

【答案】(1))同

(2)x-2y+5=0

【解题思路】(1)写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长；

(2)求出圆心与P点连线斜率，从而得直线/斜率，得直线方程：

【解答过程】(1)由题意直线AB的斜率为攵=tan135°=-1,直线方程为y-2=-(x+l),即x+y-1=0,

圆心为C(O,O),圆半径为r=2VL

。到直线48距离为d==与

Vl2+122

所以|力8|=2Vr2-d2=2卜&)2-(苧)2=V30；

(2)弦力〃被点P平分，则CP1AB,乂kcp=±=-2,所以储8=3

—1Z

直线48方程为y-2=*X+1),即x-2y+5=0.

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【类型2圆的切线及切线方程问题】

7.(24-25高二上•福建三明•阶段练习)己知圆Cx2+y2-4x+3=0,过点。(0,0)作圆。的切线，则切

线方程为()

A.V3x—y=0B.x—V3y=0

C.V3x±y=0D.x±\[3y=0

【答案】D

【解题思路】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在.

【解答过程】因为+y2-4X+3=(工-2)2+y2-1=0,所以圆心C(2,0),半径r=l,

①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍：

②当切线斜率存在时，不妨设y=kx(k手。)，则粤=1,解得k=±g

V/c2+l3

所以切线方程为y=±-yXnx土V3y=0.

故选:D.

8.(24-25高二上•四川眉山•阶段练习)己知直线，:%+ay-1=0((zGR)是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0

的对称轴，过点P(-4,a)作圆。的两条切线，切点分别为力和8,则历8|=()

A.7B.V58C.2V10D.

【答案】D

【解题思路】依题意可知直线2过圆心C(3,l),求得。=-2,根据点P(-4,-2)结合点到直线距离以及等面积

法可得结果.

【解答过程】由网C:%2+y2-6x-2y+1=0可得(x-3)24-(>-l)2=9,

所以圆心C(3,l),半径为r=3；

乂由直线+ay-1=0(aeR)是圆的对称轴，即直线!过圆心C(3,l),

所以3+Q-1=0,解得Q=-2,即P(-4,-2)；

因此|PC|=J(3+4)2+(1+2)2=V58.

所以切线长|P川=JlPCl2-r2=758^9=7；

由圆的性质可知PC1AB,所以四边形P4C8的面积为^出。|<8|=2s=|P川丁，

可得伊8|=爷券=需=誓・

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故选：D.

9.(多选)(24・25高二上,安徽宣城•期末)已知圆C:(x-2/+y2=4和直线|：x-y+2=0,点尸在直

线：上运动，直线PA、分别与圆。相切于点48,则下列说法正确的是()

A.切线长|尸川的最小值为2企

B.四边形P4CB面积的最小值为4

C.当IP川最小时，弦所在的直线方程为x-y+1=0

D.弦/IB所在直线必过定点

【答案】BD

【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心为。(2,0),半径为2,由圆切线的性质及勾股定理得

\PA\=J|PC|2-4,再根据点到直线的距离公式得出|。。|抽m=2遮，即可判断A：结合A的结论得出

S四边形.八重工4即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦.48所在的直

线方程，即可判断C；设P(t"+2),得出以PC为直径的圆的方程，与圆C方程相减即可得出弦力8所在直线

方程，进而求得定点，即可判断D.

【解答过程】对于A,圆C:(%-2>+y2=4的圆心为。(2,0),半径为2,

由题意可得H414C,PB1BC,

所以|P川=J|PC|2-MC|2=J|PC|2—4,

附温=宁=20

所以四边形P4CB面积的最小值为4,故B正确;

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对于C,当|P川最小时，PC11,则直线PC的斜率为一1,

又PC1AB,所以直线力8的斜率为1,

PC的直线方程为y—0=-(x-2),即x+y-2=0,

由沅匕+*，解得％=0,y=2,即P(0,2),

因为当|P川最小时，\PA\=MCI=2,所以△4PC为等腰直角三角形，

所以，(；中点即为力8中点，

因为PC的中点为(1,1)，所以弦的中点为(1,1),

所以弦48所在的直线方程为=即x-y=O,故C错误；

对于D,设P(t"+2),

则以PC为直径的圆的方程为(X-2)(x-t)+y(y-(t+2))=0.

展开得%2-(2+t)x+2t+y2-(t+2)y=0①，

圆C的方程为%2一4%+4+,2=4,[ip%2-4x+y2=0②，

①一②得弦48所在直线方程为(2-t)x-(t+2)y+2t=0,即t(2-x-y)+2x-2y=0,

<-2/r0°>解得仁:，

所以弦所在直线必过定点(1,1),故D止确；

故选：BD.

10.(24-25高二上,宁夏吴忠•期中)已知圆C:(x-2)2+/=1.直线/过点P(3,2)且与圆C相切，则直线,

的方程为.

【答案】y=和％=3

【解题思路】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解.

【解答过程】圆。：(％-2)2+丫2=1的圆心和半径分别为。(2,0),丁=1

当直线，无斜率时，此时：上无=3,与圆相切，符合题意，

当直线有斜率时，设，:y=k(x-3)+2,

此时圆心C(2,0)到直线的距离为d==l=r,解得k=不

此时直线方程为"y=1(x-3)+2,即[：y=;％-5

练上可得l：y=*“一：和，：％=3

故答案为：y=44和％=3.

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11.(24-25高二上•安徽铜陵•阶段练习)已知圆。经过三点。(0,0),4(1,1),8(4,2).

(1)求圆。的方程；

(2)求过点力与圆。相切的直线方程.

【答案】(l)/+y2-8x+6y=0

(2)3x-4y+1=0

【解题思路】(1)将三个点的坐标代入到圆的一般方程中即可求解；

(2)根据切线方程与过该切点的半径垂直可得到切线的斜率，再根据点斜式可求得结果.

【解答过程】(1)设圆C的方程为d+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0),

因为圆C经过三点0(0,0),4(1,1),8(4,2),

F=0

所以D+F+F+2=0,

AD+2E+F+20=0

解得。=-8,召=6,2=0,满足U十

故圆C的方程为d+V-8x+6y=0；

(2)由(1)知圆。的方程为d+y2-8无+6y=0,

根据圆心坐标(一3可得圆心C(4,-3),

所以AC的斜率为演。=—

故切线的斜率为左一一4一1

kAC4

所以切线方程为y-1=：x(%—1),即3x-4y+1=0.

12.(24-25高二上•江苏泰州•期中)(1)从圆。:(%—1)2+(丫-1)2=1外一点「(2,3)向圆引切线，求此

切线的长；

(2)自点/(一1,4)作圆(％-2)2+口一3)2=1的切线1,求切线，的方程.

【答案】(1)2；(2)y=-4或3x+4y-13=0.

【解题思路】(1)利用切线与半径的垂宜关系，利用勾股定理求得切线长；

(2)法1,分直线/的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解;

法2,分直线，的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解.

【解答过程】(1)设从P向圆引切线的一个切点为4则|PA|2=|PC|2-|C4|2,

又因为|PC『=(2-I)24-(3-I)2=5,\CA\=1,

所以|PA|=7PC?-C42=万==2,即切线的长为2.

9/48

yt

卜七/

o

(2)解法1：当直线I垂直于x轴时，直线上工二一1与圆相离，不满足条件；

当直线I不垂直于x轴时，可设直线!的方程为y—4=Mx+l),^kx-y+k+4=0,

因为直线I与圆相切，所以12k#4|=i,

解得k=0或k=-1,

因此，切线，的方程为y=-4或3x+4y-13=0.

解法2：当直线[垂直于不轴时，直线上%=-1与圆相离，不满足条件.

当直线，不垂直于％轴时，可设直线!的方程为y-4=k(x+l),

因为直线i与圆相切，所以方程组｝1仅有一组解，

(%—2)/+(y—3)乙=1

由方程组消去y得(14-k2)x2+(2k2+2k-4)无+好+2k+4=0,

所以△=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0,

解得k=0或k=-1,

4

因此，切线I的方程为y=-4或3x+4y-13=0.

【类型3直线与圆中的面积问题】

13.(24-25高二上•江苏扬州•期中)直线％-y+1=0分别与%轴,y轴交于48两点，点P在圆(％-2)2+y2=

2上，则△4BP面积的取值范围是()

A.[1,3]B.[2,6]C.[1,|]D.展]

【答案】C

【解题思路】根据直线方程可得|力引=V2,根据圆的方程圆心。2,0)到直线％-y+l=0的距离为d=苧,

进而可得点P到直线％-y+1=0的距离的取值范围和面枳的取值范围.

【解答过程】由直线第—1+1=0可知4(一1,0),8(0,1),^\AB\=V2,

由圆(%—2)2+/=2可知圆心为C(2,0),半径r=企，

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则圆心C（2,0）到直线％-y+l=O的距离为d=2黑=#,

设点P到直线x-y+l=O的距成为山

h<d.+r=券

则，即强偿笄,

h>d-r=y

所以△A3P面积SgBP=gh,|A8|=-yhG

故选：c.

14.（24-25高二上•新疆乌鲁木齐•期中）已知点M是直线Z：x-y+4=0上的动点，过点M作圆。：d+y2=4

的两条切线，切点为C，D,则四边形。CMD面积的最小值是（）

A.>/2B.2C.2V2D.4

【答案】D

【解题思路】由相切的关系可得出AOMCAOMD都是直角三角形，根据几何关系可知四边形的面积取决于

M的位置，可得当OM1•，时四边形面积可取得最小值，进而求出此时四边形面积的值.

【解答过程】如图所示,

因为MC,初。都与圆相切，所以MC1OC,MD1。。，

因为在Rt^OMC和RtZiOMD中，OC=。。=2,OW为公共边,

Rt△OMCRtAOMD.

又因为OMC=；X|OC|X|MC|,

所以当|MC|取得最小值时，AOMC面积最小，

此时四边形0cM。面积=2S4OMC也取得最小值，

又由勾股定理，|MC|二J|OM|2一|OC|2,

所以当|0M|取最小值时，|MC|最小.

由题意，当0Mlz时，|0M|取得最小值，d=J^=L=2V2,

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所以此时|MC|=2,0MC=^\0C\x\MC\=2,

故四边形OCAW面积的最小值=2sMM。=4.

故选：D.

15.(多选)(24-25高二上•浙江•阶段练习)已知圆C:x2+y2-2x-4y+l=0,直线］:2x-y+2=0

与圆C交于48两点，则以下四个选项中正确的是()

A.圆。的圆心坐标是(1,2)B.\AB\

C.CA1CBD.△4BC的面积是g

【答案】AB

【解题思路】对于A,利用配方法整理圆的方程，根据圆的标准方程，可得答案；

对于B,利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案；

对于C,根据垂径定理的相关性质，结合正弦函数的二倍角公式以及锐角二角函数定义，可得答案；

对于D,根据三角形的面积公式，可得答案.

【解答过程】由题意，过C作COJLZ,垂足为。，作图如下：

对于A,由方程d+y2-2%-4y+1=0,整理可得Q-1)2+(y-2)2=4,则圆心C(l,2),故A正确：

对于B,圆心(1,2)到直线2x-y+2=0的距离是|CD|==奈

则=2J4一)=W，故B正确；

对于C选项，sim-ACB=sin2z.ACD=2s\nz.ACDcosz.ACD=2,=p故C错误；

对于D选项，S=g|&4||阳si必4cB=922W，故D错误.

故选：AB.

16.(24-25高二上•湖南益阳期末)已知圆C:Q+l)2+y2=%直线/：3%+4y-3=0与C交于4B两点,

则448。的面积等于.

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【答案】募

【解题思路】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面枳公式求解.

【解答过程】C:(x+1)2+y2=4的圆心为(一1,0),半径为r=2,

故圆心到直线的距离为d=号言=p

弦长|阴=23-乎=2J4-(1)2=孩，

471I4n1J］、,16648

故rSc^8C=-XyX-=-,

故答案为：黑

17.(24-25高二上•河北邢台•期末)已知圆C的圆心在％轴上，且经过点0(0,0)4(6,0).

(1)求圆C的标准方程：

(2)若直线上%-2、一8=0与圆C交于E,F两点，求产的面积.

【答案】⑴(x-3)2+y2=9

(2)275

【解题思路】(1)设圆C的圆心坐标为C(m,0),利用圆上的两点建立方程，求出m的值，即得所求圆的方程;

(2)结合图形，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，即可求得△CE尸的面积.

【解答过程】(1)依题意，设圆C的圆心坐标为C(m,0),则有忻】|=|6-7川，解得7九=3,

则圆的半径为：r=3.故圆C的标准方程为(x-3)2+必=9：

(2)

由圆心C(3,0)到直线Z:x-2y-8=0的距离为d=[CD]=*=而,

则|EF|==4,

故aCEF的面积为！x\EF\xd=lx4xV5=2遍.

LL

13/48

18.（24-25高二上•江西抚州•期末）己知。为原点，直线x+2y-3=0与圆C:%2+y2+%-6y+7九=0

交于P、Q两点.

（1）若|PQI=2夕，求m的值;

（2）若过。点作圆的两条切线，切点为M、N,求四边形ONCM面积的最大值.

【答案】⑴1

【解题思路】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解m的值;

（2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可.

【解答过程】（1）

圆心为（一表3），半径厂=史今也，其中mV今,

而圆心（一p3）到直线％+2y-3=0的距离d=噂£1=寺

所以|QQ|=2Vr2—d2=2f37~4?n—1=2夕，解得m=1,

yj44

即m的值为1.

（2）|0C|=船）2+32=与由（1）可知丁=空手，

由勾股定理可得|0M|=7OC2-丫2=后■一个=标

四边形ONCM由两个全等的宜角三角形组成。所以

当且仅当m=1时成立.

所以当m二营四边形ONCM有最大面积意

oO

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【类型4直线与圆中的最值问题】

19.(24-25高二上,黑龙江哈尔滨•阶段练习)己知48是圆％2+,2=4上的两个动点，且|力用=2企，点

MQoJo)是线段4B的中点，则岛+%-4|的最大值为()

A.12B.6V2C.6D.372

【答案】C

【解题思路】先根据题意求出M的机迹方程为K+y2=2,设MQo，yo)到直线％+y-4=U的距离为d,由

此可得|%+必一4|=V2d,将问题转化为求圆“2+/=2上的点到直线x+y-4=0距离的最大值，先

求圆心到直线的距离再加半径即可求解.

【解答过程】根据已知有，圆心0(0,0),半径r=2,因为弦|4B|=2加,

所以圆心到所在直线的距离d=卜_(V2)2=V4^2=V2,

又因为M为4B的中点，所以有OM=&,

所以M的轨迹为圆心为。(0,0),半径为n=遮的圆，

M的轨迹方程为d+y2=2；

令直线为％+y-4=0,则M(&,yo)到直线乃+y—4=0的距离为d,

则，即|&+%)-4|二&d,所以当d最大时，

|x0+y0-4|=也取得最大值，

由此可将问题转化为求圆好+产=2上的点到直线x+y-4=D距离的最大值的四倍，

设圆心。(0,0)到直线的距离为d(),则d0==2V2,所以dmax=d°+y/2=3V2,

所以%+y0-41的最大值为6.

故选：C.

20.(24-25高二上―黑龙江鹤岗・阶段练习)设加€/?，0用:％2+丫2-2%一6丫=0.若动直线x+my-2-

m=0与OM交于点4,C,动直线12：加工一丫一2根+1=0与0”交于点8,。，则|AC|+出川的最大值

是()

A.30V3B.2V30C.20>/3D.3730

【答案】B

【解题思路】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直

线的距离为止根据几何关系表示出MCI+IBDI，利用基本不等式即可求出其最大值.

【解答过程】x2Iy22x6y=0=(xl)2I(y3)2=10,

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圆心M(l,3),半径r=国，

x+my-2-m=0=^x-2+m(y-1)=0=>匕过定点£(2,1),

mx-y-2?n+1=0=>m(x-2)-y+l=0=%过定点E(2,l),且。_L，2,

如图，设力C和BO中点分别为尸、G,则四边形E/MG为矩形，

设|MF|=d,0<d<\ME\=6贝U|MG|=-\EG\2=-\MF\2=V5-d2,

则|.4C|+|^D|=2V10-d2+2J10-(5-d2)=2(V10-d2+V5+d2)

<272(10-d24-5+d2)=2V30,当且仅当10—砂=5+小即d=当时取等号.

故选：B.

21.(多选)(24-25高二上•浙江杭州•期中)已知直线，:以一y+k=0,圆C:2+y2-6%+5=0,点。(出,%)

为圆C上一动点，则下列说法正确的是()

A.一+%的最大值为5

B."的最大值为号

X05

C.勺+必的最大值为3+2鱼

D.圆心C到直线，的距离最大为4

【答案】BC

【解题思路】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知浜对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解答过程】对于A,圆C的方程可化为(％-3)2+y2=22,所以圆c的圆心为。(3,0),半径r=2.

\0C\=3,P(&,yo)是圆上的点，

所以焉+%的最大值为3+2)2=25,A错误.

对于B,如图所示，当直线0P的斜率大于零且与圆相切时，生最大，

X。

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此时|0C|=3,|PC|=2,|0P|=4,且%p=tan3Ppe=专=哈B正确.

对于C,设&=3+2cos仇y°=2sin仇

则沏+y0=3+2cos6»+2sin0=3+2&sin（0+^）<3+2&,

等号成立当且仅当sin(。+9=1,所以C正确.

对于D,圆心C(3,。)到直缴的距离4=瑞

当A=0时，d=0,

|4例_4

当kH0时,d=衍=再<4,所以D错误.

故选:BC.

22.(24-25高二上•黑龙江绥化•期中)圆/+步一轨一切,一10=0上的点到直线x+y+6=0的最大距

离是.

【答案】8V2

【解题思路】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解.

2

【解答过程】将圆>2+y2_4x-4y-10=0化为标准方程可得-2)2+(y-2)=18,

所以圆的圆心为。(2,2),半径r=3加,

根据点到直线距离公式可得圆心C(2,2)到直线x+y+6=0的距离为d==5VL

所以可得最大距离为5V2+3V2=8V2.

故答案为：8V2.

23.(2025高二•全国•专题练习)已知点P在直线y=-％-3上运动，M是圆％2+=1上的动点，N是圆

(%-9)2+(y-2)2=16上的动点，求|PM|+|PN|的最小值.

【答案】8

【解题思路】根据题意，将问题转化为求|PC|+|P0|的最小值，求出。关于直线y=-x-3的对称点G的坐标,

即可得到当P,G,C三点共线时，取得最小值.

【解答过程】如图所示，

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圆X2+y2=1的圆心为0(0,0),半径为1,

可知|PC|-4w\PN\<\PC\+4,|PO|-1<\PM\<\PO\+1,

所以|PM|+\PN\>\PO\+\PC\-5,

故求|PM|+|PN|的最小值,转化为求|PC|+|PO|的最小值，

设0(0,0)关于直线y=-x—3的对称点为G,设G坐标为(m,n),

乙=1，-2

则1巴_3，解得｛:二二；，故G(_3,_3),

2一~~2一

因为|PO|=\PG\,可得|PO|+\PC\=\PG\+\PC\>\GC\=J(9+3)2+(2+3)2=13,

当P,G,C三点共线时，等号成立，

所以|PM|+|PM的最小值为13-5=8.

24.(24・25高二上•江苏泰州•期中)已知M(x,y),4(1,2),5(-2,-1),且|MA|=点Q(-2,2).

(1)求|MQ|的最大值和最小值;

(2)求士^的最大值和最小值；

(3)求y—x的最大值和最小值.

【答案】(1)最大值为3遥+6,最小值为3而一6；

(2)最大值为崇最小值为0；

(3)最大值1+6夜,最小值为1-6VZ

【解题思路】(1)由=求出点M的轨迹，结合两点间距离即可求；

(2)将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算；

(3)将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算.

【解答过程】(1)由题意，因为|AL4|=&|MB|,

所以J(x-l)2+(y-2)2=可(“+2)2+(、+1产

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整理得G+5)2+(y+4)2=36,

所以点M的轨迹为以(-5,-4)为圆心，6为半径的圆.

所以点(-5,-4)到Q(-2,2)的距离为J(-5+2)2+(-4-2)2=3瓜

所以|MQ|的最小值为3通一6,最大值为3x^+6.

(2)设三=k,则kx-y-2k-¥2=0,

x-2

由题意kx-y-2k+2=0与(无+5)2+(y+4)2=36有交点,

所以|-5k+4-2k+2|_\-7k+6\

<6,

A2+i一心+1

解得OWkW詈

所以匕1的最大值为F，最小值为

x-213

(3)设y.x=b,则x-y+b=0

当直线与圆相切时，截距b取到最值，

所以1-5+;川6,解得b=1-6近或匕=1+6V2,

v2=

所以y-无的最大值为1+6鱼，最小值为1-66.

【类型5直线与圆中的距离问题】

25.(24-25高二上•天津北辰•期中)若圆％2+y2=r2(r>0)上仅有2个点到直线x-y-2=0的距离为1,

则实数r的取值范围为()

A.(V24-1,+oo)B.(V2-1,V2+1)C.(0,V2-1)D.(0,a+1)

【答案】B

【解题思路】与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，分别与圆相交、相离即可得7■的取值范围.

【解答过程】作与直线¥-'-2=0平行，且到直线x—y—2=0的距离等于1的两条直线，

,.,圆炉+y2=/的圆心为原点，

原点到直线％-y-2=0的距离为d=付：£=V2,

•••两条平行线中与圆心。距离较远的•条到原点的距离为近+1,

较近的一条到原点的距离为&-1,

又••圆+y2=r2(r>0)上有2个点到直线％-y-2=0的距离为1,

•••两条平行线中与圆心较近的与圆炉+/=户有2个公共点，

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与圆心较远的直线与圆/+y2=丁2无交点即可，如图,

由此可得圆的半径&-l<r<vl+l.

故选：B.

26.(2024•江西宜春•模拟预测)已知动点P到原点。与到点力(2,0)的距离之比为3:2,记P的轨迹为E,直线

Z:5x-5V3y+2=0,则()

A.E是一个半径为:的例

B.E上的点到必距离的取值范用为白司

C.，被E截得的弦长为粤

D.E上存在四个点到/的距离为|

【答案】C

【解题思路】设P(x,y),则尸可记，整理得卜一个丫+/=寰，所以E是一个圆心为(孩，0),半径为

J(x-2)2+y2

苫的圆，判断A：再利用点到直线的距离公式，求得圆心(三，0)到直线L的距离为2,得到E上的点到直线1

的距离的取值范围，判断B；由半径、弦心距、弦的•半构成的直角三角形求出弦长，判断C；由圆心管，0)

到直线，的距离为2,半径为半则£一2=|,即圆E截/所得的劣弧上只有一个点至"的距离为g所以圆E上

存在三个点到，的距离为g判断D.

【解答过程】对于A,设P(x,y),则

J(x-2)2+y2

整理得G-£y+y2=^，

所以E是一个圆心为(费，0),半径为蓝的圆，故A错误；

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0）到直线I的距离为卜、产1

对于B,因为圆心（当=2,

心+（—5对

所以E上的点到直线1的距离的取值范围为［0,2+引，即［0,y］,故B错误；

对于C,圆心（当，0）到直线I的距离为2,

所以，被E截得的弦长为2俯丫-22=蜉,故C正确；

对于D,因为蓝一2=|,所以E上存在三个点至”的距离为右故D错误.

故选：C.

27.（多选）（24-25高二上•湖北•期中）已知圆O:d+y2=4,直线，:y=x+b,下列说法正确的是（）

A.当匕<一2&或b>2或时，圆。上没有点到直线/的距离等于1

B.当b=±1时，圆O上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.当。=±a时，圆。上恰有三个点到直线/的距离等于1

D.当8=±1时，圆。上恰有四个点到直线/的距离等于1

【答案】CD

【解题思路】先求出圆心。到到直线］的距离d,根据选项中参数b的范围求得d的范围，结合图形，即可一一

判断.

由题设条件，圆的半径为2,圆心。到直线，“一y+b=0的距离为4=翳

对于A,当力〈―2年或b>2彼时，网>2遮，则d>2,当b=3衣时，

由图1知，圆。上有一点到直线！的距离等于1,故A错误；

对于B,D,当匕=±1时，d=y<l,由图2知，圆O上恰有四个点到直线/的距离等于1,故B错误,

D正确;

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日图3知，圆O上恰有三个点到直线/的距离等于1,故C正确.

故选：CD.

28.(24-25高二上・江苏泰州•期日)在平面直角坐标系xOy中，过点P(a,0)向圆。：(％-I)2+0-4)2=7

引切线，切线长为I.设点P到直线戈-'-2=0的距离为d,则Z+d的最小值为.

【答案】V10

【解题思路】利用切线长定理及点到直线距离公式求出J+d,换兀可得，+d=gT行+号，借助其几何

意义按t与1的大小分类讨论求出最小值.

【解答过程】圆0:(%-1)2+(y-4>=7的圆心C(l,4),半径r=V7,

贝(1/=yj\PC\2—r2=J(Q-1)2+42—7=J(a-1)2+9,d=令Q—1=£,

于是，+d="+号，

可视为动点Q(t,O)到定点处0,3)的距离与到定直线％-y-l=0的距离和，

令直线x-y-1=0与％轴的交点为8(1,0),tan乙48。=3,Z4B0>45。，

当Q与点B重合，KPt=lM,l+d=l=\AB\=Vw,

当£<1时，过Q作QE垂直于直线x-y-1=0于点E,连接力工

/.ABE=Z.ABO+45°>90°,则］+d=\AQ\+\QE\>\AE\>\AB\=x/10；

当£>1时，由直线45的倾斜角为钝角知，l+d>l=\QA\>\AB\=yfW,

因此对任意实数£,l+dNVIU,当且仅当t=l时取等号，

所以，+d的最小值为VT5.

故答案为：VTo.

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29.(24-25高二上•山东泰安•期中)已知圆C与y轴相切，圆心在直线％+y—1=U上，且被x轴截得的

弦长为2V3.

(I)求圆。的方程；

(2)已知直线/过点(1,-3),圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1,求直线/的方程.

【答案】(I)(x-2)2+(y+l)2=4；

(2)x=1或3x—4y—15=0.

【解题思路】(1)利用待定系数法即可求得圆C的方程；

(2)利用点到直线距离公式和数形结合即可求得直线/的方程.

【解答过程】(1)设圆。的标准方程为0-。)2+('-8)2=丁2&>0),

•••圆心C在直线％+y-1=0上，

a4-