整式的乘除（期中知识清单）-2024八年级数学上学期（华东师大版）

专题02整式的乘除（5知识&15题型&3易错&2方法清单）

知识图谱

知识清单

【清单01】塞的运算

①同底数募的乘法：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

符号表示：。*标=0加+川（山、几为止整数）

②嘉的乘方：幕的乘方，底数不变，指数相乘

符号表示：（"n）n=amn（7H、n为正整数）

③积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

符号表示：（ab）n=胪即（九为正整数）

④同底数幕的除法：底数不变，指数相减

符号表示：+Q"=（?九、71为正整数,771>71,QH0）

【清单02】整式的乘法

①单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的嘉分别相乘，对于只在一

个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。

具体步骤：①系数相乘：将两个单项式的数字系数相乘，得到结果的系数；

②同底数嘉相乘：将相同字母的指数相加；

③不同字母保留：无相同字母的项直接合并；

②单项式与多项式相乘：将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

③多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

符号表示：（a十〃）（c十d）=uc+ad+be+bd

【清单03】乘法公式

①平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差

符号表示：（Q+b）（a-b）=a2-b2

②完全平方和（差）：两个数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍

符号表示：（Q±b）2=a2±2ab4-b2

【清单04】整式的除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数募分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同

它的指数一起作为商的一个因式。

具体步骤：①系数相除：将两个单项式的数字系数相除，得到结果的系数。

②同底数嘉相除：对相同字母的导进行减法运算

③不同字母的处理：被除数独有的字母，直接保留在结果中。

②多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

符号表示：(am+/mi+cm+dm)+m=a+b+c+d

【清单05】因式分解

①因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

②公因式定义：多项式口□+□□+□匚中的每一项都含有一个相同的因式口，我们称之为公因式。

③提取公因式法步骤：(D确定公因式：

a.系数：取各项系数的最大公约数

b.字母部分：取各项共有的字母，并选择最低指数

(2)提取公因式：将公因式提到括号外，原多项式每一项分别除以公因式，结果写在括号内.

④公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

a.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a—b')

b.完全平方公式：a24-2ab+b2=(a+b)2

c.立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

d・立方差公式:a3—b3=(a—Z?)(a2+ab+b2)

⑤十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+bf2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

期中常考题型清单

、一q

【灌型一】利用塞的运算判断式子是否正确

【例1】(2025•浙江省湖州市•三模)下列运算正确的是()

A.m2+m3=m5B.m64-m2=m-C.(2m3)2=4m5D.m2-m3=m5

【答案】D

【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数塞的除法，积的乘方，同底数基的乘法等运算，解题的关键

是熟练掌握各运算法则.

利用合并同类项，同底数导的除法，积的乘方，同底数鬲的乘法等运算法则，逐项进行判断即可.

【详解】解：A、m2+m3,不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意；

6624

B、m-a-TH2=m~=m,该选项错误，不符合题意；

C、(2^3)2=4^6,该选项错误，不符合题意；

235

m-m=mf该选项正确，符合题意；

故选：D.

【变式11】(2324八上•点福建福州第十九中学・期中)下列计算正确的是()

A.(—a8)-i-(—a)4=a4B.(—a8)-r(—a)4=-a4

C.(—a8)+(—a)4=a2D.(—a8)+(-a)4=—a2

【答案】B

【分析】本题考查了同底数索的除法，解题关键是掌握同底数冢的除法法则.

直接利用同底数幕的除法法则求解.

【详解】解：(一〃)+(-a)4=-a8+/=一小，

故选:B.

【变式12](2425八上•辽宁丹东第卜七中学•期中)下列运算正确的是()

A.(—a2)3=a6B.a2+2a=3a3C.(ab2)3=a3b3D.(—a)2•a3=a5

【答案】D

【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数昂的乘法.

分别根据积的乘方、合并同类项、同底数累的乘法计算即可.

【详解】A.(-a2)3=-a6,原计算错误

B.a2,2a不是同类项，无法合并，原计算错误

C.(口＞/=下游,原计算错误

D.(—a)2-a3=a2-a3=as,原计算正确

故迄D

【变式13)(2425八上•福建泉州第六中学・期中)下列各式中：①/=”；②%3.婷=2%6；③(Q2)4=a6,

5712

@G+a=a;⑤Q5・Q2=Q3,正确个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数塞的乘法，塞的乘方运算，熟记各自的运算法贝!是解本题的

关键，根据运算法则逐一判断即可.

【详解】解：①/•%2=X4+2=”，正确；

②工3.炉=%3+3=9*2X6,错误;

③32）4=08工。6,错误；

④户与小不是同类项，不能合并，错误；

⑤。5・。2=。5+2=07工。3,错误；

综上，正确的有①，共1个.

故选：A.

【题型二】利用幕的运算计算代数式的值

【例21（2425七下•江苏南京将军山中学.期中）若£1加=2,an=3,则/时兀的值是.

【答案w

【分析】本题主要考查同底数基的除法，哥的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

利用同底数福的除法的法则及幕的乘方的法则进行求解即可.

【详解】解:当a7n=2,a[=3时,

a2m-n

=a2m+an

=3呼+an

=224-3

=4+3

_4

=?

故答案为：£

【变式21]（2425八上♦江苏无锡锡北片区•期中）若谷=6,2r=3,2*7的值为.

【答案】2

【分析】本题考查同底数塞的除法的逆运算，根据同底数寤的除法运算法则。加+。"二。小"求解即可.

【详解】解：=6,2丫=3,

・・.2丫~=2*+2、=6+3=2.

故答案为：2.

【变式22】(2425八上•内蒙古包头第二十九中学・期中)=3,=2,则a2m+n=.

【答案】18

【分析】本题考查了同底数辕相乘、弃的乘方，根据同底数基相乘以及暴的乘方的运算法则将所求式子变

形为3m)2.〃，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：Ya7n=3,an=2,

2m+nn2

/.G=Q2m.an_(产)2.a=3x2=9x2=18,

故答案为：18.

【变式23】(2425八上•内蒙古包头第三十五中学・期中)若2m=3,4n=8,则2n+3的值是

【答案】27

【分析】本题考查了同底数案的乘除运算法则，解题的关键是将所求式子变形为与已知条件相关的形式，

再代入求值.

先根据幕的运算法则,杷23m-2n+3变形为(2一4+(2/1)2x23,再结合4n=将已知条件代入计算.

【详解】解：•••2n=3,4n=8,

n,3n23

...23m-2n+3=(2)+(2)X2

=(2m)34-4nx23

=33+8x8

=27,

故答案为：27.

【变式24](2425八上•甘肃天水爱积区•期中)已知IO"=5,10,=6,求

(l)102x+103y；

⑵l()2x+3y.

【答案】(1)241

⑵5400

【分析】本题考查了事的乘方的逆用、同底数塞乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键.

(1)根据幕的乘方的逆用可得102%+103、=(10%)2+(10了)3,代入计算即可得；

(2)先根据同底数哥乘法的逆用可得102x+3y=W2X•i03y,再根据基的乘方的逆用可得1()2“,1()3y=

(10x)2(10y)3,代入计算即可得.

【详解】(1)解：・・・10*=5,10y=6,

2x

.•・10+103y=(10X)2+(10y)3

=52+63

=25+216

=241.

（2）解：•••IO*=5,10,=6,

A102x+3y=102x.103y

=（io*）2•（ioy）3

=52x63

=25x216

=5400.

【题型三】已知代数式求字母（或代数式）的值

［例3］（2425八下•黑龙江大庆庆新中学・期中）已知4x16mx647n=416,则血+1的值为.

【答案】4

【分析】本题考查了事的乘方逆用，同底数幕相乘，解一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，解题

关键是掌握上述知识点.先逆用事的乘方运算法则和同底数幕乘法运算法则进行计算，转化为关于待求字

母的一元一次方程求解，再代入代数式求值.

【洋解】解：・・・4xl6mx64m=小6,

/.4x（42）mx（43）m=416,

.\4X42m*43m=416,

.•41+2^+3m_416,

/.1+2m+3m=16»解得：m=3,

.*.m+1=3+1=4.

故答案为:4.

【变式31］（2425八上•吉林长春朝阳区长春力旺实验初级中学期中）若％+2y-4=0,则4y二戈算的值等

T.

【答案】4

【分析】本题考查了二元一次方程的变形，同底数基乘法的运算法则，掌握同底数基的乘法法则是解题的

关键.

由工+2、-4=0可得：x+2y-2=2,运用整体思想将％+2y-2代入即可.

【详解】解：・・“+2丫-4=0,

.•・x+2y—2=2,

：.4y-2X-2=22yX2X-2=2X+Zy-2=22=4

故答案为：4.

【变式32】(2324七下•江西九江外国语学校•期中)若〃?，〃满足3m-九一5=0,则8m+2'=.

【答案】32

【分析】本题主要考查了同底数恭相除，累的乘方的逆用，

先求出3m-n=5,再根据8m+2n=23m—解答即可.

【详解】解：因为3根一九一5二0,

所以37n—n=5,

所以8m+2n=(23)m+2n=23m+2"=23m-n=25=32.

故答案为：32.

【变式33】(2425八上•湖南邵阳城步苗族自治县十校联考•期中)计算：

(1)已知=4,求(>3n)2的信：

(2)已知2无+5y—4=0,求4%•32、的值.

【答案】(1)64

⑵16

【分析】本题主要考查箱的乘方、同底数'幕的乘法，解题的关键是掌握'幕的乘方及其逆运算、同底数辕的

乘法法则.

(1)将12n=4代入原式=x6n=(无2n>计算即可;

(2)由2x+5y-4=0,知2x+5y=4,代入原式二(22尸.(2$)y=22"•=22"+5、计算即可.

【详解】⑴解:(x3n)2=x6n=(x2n)3=43=64；

(2)解：v2x+5y-4=0,

2x+5y=4.

4X-32y=(22)x-(25)y=22x-25y=22x+5y=24=16.

【题型四】利用幕的运算表示代数式

【例4】(2425八上江苏徐州睢宁县•期中)若〃、〃是正整数，且满足3a+3。+3a=30x3bX3%则。与力

的关系是()

A.Q=bB.a=3b

C.a=3b-1D.a=b2—1

【答案】C

【分析】本题考查了合并同类项，同底数箱的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键.根据已知等式可得

3。+1=33〃,则a+l=3b.

【详解】解：・・・3。+3a+3。=3。乂3匕乂3九

.••3x30=33万，

:.3a+1=33d,

a+1=3b,即Q=3b—1,

故选：C.

【变式41］（2425八上•福建福州连江县•期中）若a,b是正整数,且满足3。+3。+3a=30x3bx3%则下

列G与b的关系正确的是（）

A.a=bB.a+1=3b

C.a+1=b3D.3a=b3

【答案】B

【分析】本题考查了合并同类项，同底数累的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键.

根据已知等式可得3。+I=33匕则Q+l=3b.

【详解】解：:3a+3。+3a=3°x3^x3%

.•.3x3a=33匕，

:.3a+1=33b,

/.a+1=3b7

故选：B.

【变式421（2425八上•河北廊坊固安县•期中）若4+4+…+Q=2x2x•••x2,则m与〃之间的关系为（）

m个4兀个2

A.m=2nB.m=2nC.m=2n-2D.m=2n~2

【答案】D

【分析】本题主要考查了幕的乘方的逆运算，同底数累除法运算，根据题意可得4m=2",进一步可得m=

2"+4=2n+2?=2n~2.

【详解】解：由题意得，4m=2\

••・m=2n+4=2n+22=2n-2,

故选：D.

【变式43］（2425八上•陕西西安长安区•期中）已知2a=3,2°=5,2。=45,那么a、匠c之间满足的等量关

系是.

［答案】2a+b=c

【分析】本题主要考查了辕的乘方计算，同底数辕乘法计算，根据幕的乘方计算法则得到22a=9,再由题

意可得22a.2匕=2。则22。+匕=2。据此可得答案.

【详解】解：=3,

••.0）2=32,即22a=9,

V2d=5,2C=45,

A22a-2b=9x5=45=2C,

22a+。=2c,

.\2a+b=c,

故答案为：2a+b=c.

【题型五】寨的运算综合题（解答题）

【例5】（2425八上•浙江杭州西湖区文理中学・期中）根据算式的结构特征，逆向运用罂的运算法则，常可化

繁为简，化难为易，使问题巧妙获解.请逆向运用幕的运算法则，解决以下问题：

⑴若％m=2,xn=3,求2n的值；

（2）若/x4x6,=25X3”，求%与y的值.

【答案】（1）72

（2）x=4,y=3

【分析】本题考查寻的相关运算，涉及同底数累的乘法及其逆运算，幕的乘方的逆运算，积的乘方，解方

程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

（I）利用同底数幕的乘法的逆运算，幕的乘方的逆运算，得/次+2n=2n=（£n）3・（/）2,再代入

求值即可；

（2）利用同底数鼎的乘法，鼎的乘方的逆运算，积的乘方，将9”x4x6y=25x311化简得22+yx32^+^=

2sx311»得出2+y=5,2JC+y=11»求解即可.

【详解】（1）解：・.”m=2,xr=3,

.・.x3m+2n=/m.%2n=（无m）3.（产）2=23X32=8X9=72;

（2）ft?：V9xx4x6y=25X3U,

A32Xx22x（2x3）"=2sx311,

••./x22x2"3y=25x3”,

：.22+yx32P=Z5x311,

/.2+y=512x4-y=11,

解得：x=4,y=3.

【变式51】(2425八卜..浙江杭州开元中学.期中)在等式的运算中规定：若砂=疗(。>0且1,%,y是正

整数)，则％=y,利用上面结论解答下列问题：

(I)若/=3】。，求％的值；

(2)若3>2_3*+i=162,求工的值.

【答案】(1次二5

(2)x=3

【分析】本题主要考查了同底数爆乘法的逆运算，塞的乘方的逆运算，塞的乘方计算，熟知相关计算法则

是解题的关键.

(1)由嘉的乘方的逆运算法则得到(32尸=3］。，则32%=31。，据此可得方程2%=10,解方程即可得到答

案：

(2)根据同底数幕乘法的逆运算法则得到3x3>i-3、+1=2x33进一步可得3'+1=34,则％+1=4,

解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：・・・9第=31°,

A(32)x=310,

.\32X=310,

2x—10,

••x=5：

(2)解：V3X+2-3X+1=162,

.\3x3X+1-3X+1=2x34,

A(3-1)3X+1=2x34,

A2x3x+1=2x34,

/.3X+1=33

+1=4,

.\x=3.

【变式52】(2425八上•安徽亳州蒙城县三义路中学•期中)按要求计算下面各题：

⑴已知3a+2b=6,求8a•m的值:

(2)已知n为正整数，且％2n=2,求(3/n)2一4a2)2n的值

【答案】(1)64

⑵56

【分析】本题主要考查同底数昂的乘法，辕的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌

握.

(1)利用哥的乘方，同底数基的乘法法则，整理8a•#,再将3a+2b=6整体代入运算即可；

(2)利用积的乘方，幕的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可.

【详解】⑴解:8a•#=(23)口.02*=23a♦22b_^a+lb

当3Q+2b=6,

则原式=23a+2b=26=64.

(2)解：(3x3n)2-4(x2)3n=9■(x2n)3-4­(x2n)2

当《2n=2,

则原式=9•(x2n)3-4-(x2n)2=9x23-4x22=56.

n

【变式531(2425八匕河南郑州新郑•期中)(1)欠=2,a=3,求次吁〃的信：

nm+3

(2)若16m=4x22n-2,27=9x3,求(m-〃)2025.

【答案】(1)g(2)-1

【分析】本题考查同底数累的除法，同底数累的乘法，辱的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)化简a2m-n=(Qm)2+Qn,再将已知代入即可；

(2)由24m=22巴33n=3m+s,可得n=2m,3n=m+5,求出m、n的值即可求解.

【详解】解：(1)vam=2,an=3,

:.^.2m-n

=a2m+an

=(am)2+an

=22+3

=4+3

4

=3：

(2)v16m=4x22n-2,

:.24m=22x22n_2=22n,

4m=2n»

：♦n=2m,

V27n=9X3m+3,

・33n_32x3m+3-37^+5

3n=m+5,

：•6m=m+5,

:.nt=1,

An=2,

：.(m-71)2025=(1一2)2025=一1

【题型六】幕的运算中简便运算

Z1、2012

［例6］(2425八上•辽宁盘锦大洼区第二初级中学・期中)计算82。1】x(-^)是()

A.8B.-8C.-D.——

88

【答案】C

【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理原式=82。11x(-02011x(-0,再结合积的乘方的逆运算

法则进行计算，即可作答.

/1、2012

【详解】解：82O11x(-0

=(-l)2011x(--)

=一，

8

故选：C.

/2023

【变式61］计算32。24x(-1)的结果是()

A.-B.-3C.3D.--

33

【答案】B

【分析】本题考查了积的乘方的逆用，掌握积的乘方法则并能逆用是关键；把32。24拆成3X32023,再逆用

积的乘方即可求解.

Z2023

【详解】解：32O24x(-0

2023

=3X32023X(-1)

12023

=3X(-3X3)

=3x(-1)

=-3.

故选:B.

/ox2024f八2025

【变式62】(2425•四川宜宾叙州区万菁初级中学・期中)计算：(一|)x(l|)=.

【答案】!

【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键.

z2024zr\2024r

将原式化为(-1)X(j)X/再逆用积的乘方计算即可；

/o2024-\2024口

【详解】解：原式=(一§XX(/jc)X?

/3\2024/5\20245

=(-5)X\3)X3

=(-M)x(l)

=(_1)2。24x|

5

=1X3

5

=

3

【变式63】计算3】5x(-」=_.

【答案】-3

【分析】本题考查了哥的乘方，积的乘方的逆用，掌握两个法则是关键；由/=Q)2原式可化为一3"XQ)14,

再逆用积的乘方即可求解.

【详解】解:315x(-l)7

=-3X3】4X©

14

=-3X(/3X31)\

=-3.

故答案为：—3

【题型七】整式的乘除混合运算

【例7】计算:

22

(1)2%2y3(3/_2xy+3y2)+(-3xy)；

⑵(y+2)3+3)-y(y-l).

【答案】(1)-2/y+gxy2-2y3

(2)6y+6

【分析】本题考查了整式的四则混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键；

(1)先计算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可；

(2)分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可.

【详解】⑴解:原式=(6%4y3-4%3y4+6%2y5)*(_3/y2)

=6%4y3+(-3x2y2)-4x3y4+(-3x2y2)+6%2ys+(-3x2y2)

=-2x2y+^xy2-2y3；

(2)解：原式=y2+3y+2y+6—(y2—y)

=y2+3y+2y+6-y2+y

=6y+6.

【变式71](2425八上•辽宁盘锦天洼区第二初级中学・期中)计算

(1)(-2盯2)2.3%2y.(_%3y4)

(2)x(x2+3)+x2(x-3)—3x(x2-x-1)

(3)(2u2)•(3ab2-5ab3)+8U2!J2

(4)(2%+5y)(3x-2y)-2x(x-3y)

【答案】(1)一12朽产

(2)-x3+6x

⑶14a3炉_ioa3b3

(4)4/-10y2+17xy

【分析】本题主要考杳了积的乘方、辕的乘方、单项式乘单项式、整式的四则混合运算法则等知识点，灵

活运用相关运算法则成为解题的美键.

(1)先根据积的乘方、箱的乘方化简，然后再根据单项式乘单预式运算法则计算即可;

(2)直接运用整式的四则混合运算法则计算即可；

(3)直接运用整式的四则混合运算法则计算即可；

(4)直接运用整式的四则混合运算法则计算即可.

【详解】(I)解：(―2孙2)2.3%2y.(T3y4)

=4x2y4•3x2y•(-x3y4)

=12%4y5.(_%3y4)

=-12x7y9.

(2)解：x(x2+3)+x2(x-3)-3x(x2—x—1)

=x3+3x+x3-3x2-3x3+3x2+3x

=(x3+x3-3x3)4-(—3x2+3x2)+(3x+3x)

=-x34-6x.

(3)解：(2Q2)•(3Q〃-5Q/)—8Q3炉

=6a3b2-10a3b3+8a3b2

=6a3b2+8a3b2_io。3b3

=14a3b2-10Q3b3

(Z1)解：(2x+5y)(3x—2y)—2x(x—3y)

=6x2+llxy-10y2-2x2+6xy

=(6x2-2x2)-10y2+(llxy+6xy)

=4x2-10y2+17xy.

【变式72】(2324八上♦点福建福州第十九中学・期中)计算：

(1)2XQX-1)-3X(|X+|)

(2)(2.5x210)x(8x210)

【答案】(1)-4%

(2)5x222

【分析】本题考查整式的混合运算，哥的运算：

(1)先计算单项式乘多项式，再合并同类项；

(2)利用乘法交换律及同底数幕乘法法则计算.

【详解】(1)解：2xQx-1)-3xQx+

=x2-2x-x2-2x

=-4x；

(2)解：(2.5x210)x(8x210)

=(2.5x8)x(210x210)

=20x220

=5X22x220

=5x222.

【变式73](2425八上•黑龙江绥化第四中学校・期中)计算：

(0(-|xy)-Qxy2-2xy+gy)

(2)3x•(2/-%+1)-x.(2%-3)-4(1-x2)

【答案】(l)—^x2y3+5%2y2一段xy2

(2)6x3-x2+6x-4

【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键.

(1)根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可；

(2)先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案.

【详解】(I)解：(-jxy)•(^xy2-Zxy+

=fI盯之一(一|町)•2孙+沁动*

=-1x2y3+5x2y2—^xy2；

(2)解：3x(2x2-x+1)-x-(2%-3)-4(1-x2)

=6x3-3x2+3X-2X2+3X-4+4X2

—6义3—x2+6x—4.

【题型八】整式乘除中无关题型

【例81(2425八上•甘肃天水武山县百泉初级中学・期中)若(/+〃％+3)与(/-3%+m)的乘积中不含/和

产的项，求小〃的值.

【答案】m的值为6,n的值为3

【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元•次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键.先计算多项式

乘以多项式，再根据含炉和炉的项的系数都等于0,据此求解即可得.

【详解】解：(x2+nx+3)(x2-3x+m)

4232

=x-3/+mx+nx-3nx+mnx+3/-9x+3m

=/+(八-3)x3+(zn-3n+3).r2+(znn-9)x4-37n,

V(x2+nx+3)与(%?-3%+m)的乘积中不含炉和％2的项,

.(n-3=0

…Im—3九+3=0'

解得｛：：(，

所以m的值为6,九的值为3.

【变式81](2425八上•四川成都石室天府中学•期中)关于/的代数式(mx-2)(2x+1)4-x2+〃化简后不含X2

的项和常数项.

(1)分别求打、刀的值;

(2)求机2025n2026的值.

【答案】(1)血=一5n=2

(2)-2

【分析1本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的

四则混合运算法则，正确得到加、九的方程是解答的关键，尤其(2)中利用枳的乘方的逆运算求解是关键.

(1)先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含M和常数项得出2m+1=0,-2+n=0,即可解

答；

(2)根据幕的运算法则得出加2。25—2。26=m2025^2025・九=3m)2。25・九，根据(])中得出的HI和九的值，

即可解答.

【详解】(1)解：(7nx—2)(2%+l)+》2+n

=2mx2+mx-4x-24-x24-n

=(2rn+l)x2+-4)x-2+n

•・•不含/的项和常数项

.*.2m+1=0,—2+n=0,

..m=—2,n=2；

(2)解：m2025n2。26=m2025-n2025-n=(mn)2025.n,

由(1)知，m=?n=2,

2025

原式二(一gx2)x2=-2.

【变式821(2425八上•江西抚州金溪县实验中学•期中)已知将(，+以+3)(--2x-m)乘开的结果不含/

和十项.

⑴求m,n的值；

(2)在(1)的条件下，求(m—几)•(m?+血几+九2)的值.

【答案】(l)m=-1,九=2

(2)-9

【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组等知识，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解

题关键.

(1)先计算多项式乘以多项式，再根据结果中含炉和/项的系数等于o建立方程组，解方程组即可得；

(2)先计算多项式乘以多项式，再将m,n的值代入计算即可得.

【详解】(1)解：(/+nx+3)[xz-2x-m)

=x4-2x3-mx2+nx3-2nx2-mnx+3x2-6x-3m

=x4+(n-2)x3+(3-m-2n).t2-(mn+6)x-3?n,

•・•将(产+nx+3)(x2-2x-m)乘开的结果不含/和/项，

n—2=0,3—m—2n=0,

解得m=-1,n=2.

(2)解：(TH-n)•(TH2+mn4-nz)

=zn3+m2n+mn2—m2n—mn2—n3

=m3-n3,

将n=—1»n=2代入得：原式=m3—n3=(—I)3—23=—1-8=-9.

【变式83](2425八上•湖南岳阳云溪区九校联考•期中)已知m、n均为常数，若Q+3)2(/+m无+n)的乘

积既不含有二次项又不含有一次项，则机十几的值是多少？

【答案】1

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的积不含某项，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于

能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则.先根据多项式乘多项式的计算法则计算出(％+3>(/+mx+n),

然后根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可.

【详解】解：(%+3)2(%2+巾工+〃)

=(%2+6x+9)(/+7HX+n)

=x4+6x34-9x24-mx3+6mx2+9mx4-nx2+6nx+9n

=/+e+爪)/+(9+6m+n)x2+(9m+6n)x+9n,

V(x+3)2(7+mx+ri)既不含x的二次项，也不含A-的一次项,

.(9+6m+n=0

*t9?n+6n=0'

解得｛:二£2,

/.n4-n=-24-3=1.

【题型九】整式的乘除实际应用

[ft9](2425八卜・•黑龙江大庆庆新中学,期中)小红家有一块L形的菜地，现要把L形的菜地按如图所示分

成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是3am,下底都是bm,高都是(b-a)m,请

你帮小红算一算这块心形菜地的面积共有多少，并求出当Q=10,b=30M,这块L形菜地的总面积.

【答案】(2ab-3a2+炉川2,1200m2

【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，多项式乘多项式与图形面积，解题关键是掌握多项式乘

以多项式法则.

先列出算式，再利用多项式乘以多项式法则化简，再代入求值.

【详解】解：这块/，形菜地的面积共有：(3a+b)S—a)x2

—(3Q+b)(b—a)

=3ab—3a2+b2—ab

=lab-3a2+b2

当a=io,b=30时，

原式=2X10X30-3X102+302

=600-300+900

=1200

.,•当a=10,b=30时,这块L形菜地的总面积为这00m2.

【变式91】(2425八上•陕西咸阳彬州公刘中学・期中)幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空

地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个的池，然后在剩余部分(阴影部分)铺上草坪，相应的长度

如图所示.

(1)用含％,y的代数式表示铺草坪的面积；

⑵如果铺草坪每平方米的价格是25元，那么当％=20,y=30时，铺这块草坪一共需要花费多少元？

【答案】(l)2x2+5xy

⑵铺这块草坪一共需要花费95000元

【分析】此题考查了根据实际问题列代数式表示的能力，关键是能准确理解题意，并列式、化简.

(1)运用长方形和正方形的面积公式进行列式、化简；

(2)将％=20,y=30代入(2)题结果，再算出一共的花费.

【详解】(I)解：由题意得，铺草坪的面积为：

(y+%+y)(2x+y)-2y2

=(x+2y)(2x+y)-2y2

=2x2+5xy+2y2-2y2

=2x2+5xy；

(2)解：由题意得，当％=20,y=30时，铺这块草坪一共需要的总费用为：

25X(2X202+5X20X30)

=25X(2x400+3000)

=25x(800+3000)

=25x3800

=95000(元)，

当％=20,y=30时，铺这块草坪一共需要花费95000元.

【变式92](2425七下•江苏泰州海陵区六校・期中)如图,某学校有一块长为(5a+b)m,宽为(2a+b)m的长

方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为(Q+b)m的正方形喷水池.

(1)求绿化面积是多少平方米；

(2)当Q=1.5,b=2时,求绿化面积.

【答案】(1)绿化面积为(9M+5ab)平方米

⑵绿化面积为35.25平方米

【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的

计算方法是正确解答的关键.

(1)根据S草坪二S长方形一S正方形，用代数式表示即可；

(2)把Q=1.5,b=2代入(1)中的代数式求值即可.

【详解】⑴解：s草坪=S长方形-S正方形

=(5a+b)(2a+b)-(a+b)2

=10a2+Sab+2ab+b2-a2—2ab—b2

=9a2+5ab,

•••绿化面积为(9M+5ab)平方米；

(2)解：当Q=1.5,b=2时,

S草坪=9a2+5ab

=9x1.52+5x1.5x2

=20.25+15

=35.25(平方米)，

答：绿化面积为35.25平方米.

【变式93](2425八上•广东梅州五华县•期中)如图,某公园内有一块长为(3a+2b)m,宽为(2a+b)m的长

方形地块，计划在中间留一块长为(2a-8)m、宽为勿〃的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进

行绿化.

⑴求绿化的面枳；

(2)若a=4,b=3,绿化成本为11()7t/m2,则完成绿化共需要多少元？

【答案】(1)(6Q2+5ab+3/)m2.

(2)20130元.

【分析】本题主要考查了整式的混合运算和代入求值，解决此题的关键是正确的计算，

(1)根据矩形的面积等于长乘以宽，得到整式的混合运算，再计算即可得到答案：

(2)分别代入求值即可得到答案；

[详解】(1)解：由题意可得：(3a+2b)(2a+b)-b(2a—b)=6a2+3ab+4ab+2b2—(2ab—b2)

=6a2+7ab+2b2—2ab+b2

=6a2+Sab+3b2(m2)

故绿化的面积为(6Q2+5ab+3b2)m2

(2)解：若Q=4,b=3时,

/.110(6a2+Sab+3b2)=110(6x164-5x12+3x9)=20130(元)，

答：完成绿化共需要花费20130元.

【题型十】判断是否能用乘法公式

【例10](2425八上•四川眉山东坡区思蒙镇初级中学・期中)下列各式中用平方差公式计算正确的是()

A.(Q+3b)(Q—3d)=Q?—3匕2B.(—Q4-3b)(a-3匕)=-Q?—9b?

C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2D.(-a-3Z))(a+3b)=a2-9b2

【答案】C

【分析】本题考查了用平方差公式计算，由平方差公式逐一判断即可.

【详解】解：A.(a+3b)(a-3b)=a2-%2,原选项计算错误.故不符合题意；

B.(-a+3b)(a-3b)=-(a-3ft)2,原选项不能用平方差公式计算，故不符合题意；

C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2,原选项计算正确，故符合题意；

D.(-a-3b)(a+3b)=-(a+3d)2,原选项不能用平方差公式计算，故不符合题意；

故选：C.

【变式101](2425八上•上海西延安中学・期中)下列各式不能用平方差公式计算的是()

A.(a-2b)(a+2b)B.(2x+y)(y—2x)

C.(—2a—b)(—b+2a)D.(—2%+y)(—y+2%)

【答案】D

[分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的特征是解题的关键.平方差公式为(a+bXa-b)=a2-

b2,需满足两括号中有一项相同，另一项互为相反数，根据这个特征一一判断即可.

【详解】解：A、(a-2b)(a+2力),满足a相同,2b与一2b相反,可用平方差公式,结果为小一(2匕)2；

B、(2%+丫)(7-2%)可调整为(7+2%)2-2%)满足旷相同,2%与一2%相反，可用平方差公式，结果为y?-

(2x)2；

C、(一20-切(-5+2。)可调整为一(2。+与(2。-6)满足2。相同，bq-b相反，可用平方差公式，结果为

-[(2a)2-b2]；

D、(一2x+y)(-y+2幻可调整为一(y-2幻(y-2x)=-(y-2x)2,两括号为同一二项式的相反数，结果

为完全平方的负数，无法用平方差公式.

故选：D.

【变式102](2425八上•山东菊泽牡丹区•期中)下列各式中，可以用乘法公式计算的是()

A.(a+2〃)(2a十小)B.(a-2Z/)(—a+2b)

C.(a-2b)(b+2a)D.(a+2b)(2a-b)

【答案】B

【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构.

【详解】A、(Q+2b)(2a+b),

两括号中的项分别为Q+2b和2a+b,既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开；

B、(a-2b)(-Q+2b),

将第二个括号提取负号,得:(a-2b)(-a+2b)=-(a-2b)(a-2b)=-(a-2Z,)2,

符合完全平方公式(％-yA=x2-2xy+y2,可用乘法公式计算；

C、(a-2b)(b+2a),

第二个括号可整理为2a+4但两括号中的项a-2b与2a+b无相同或相反项，无法直接应用乘法公式；

D、(a+2Z?)(2a—b)

两括号中的项分别为a+2b和2a-6无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式.

故选:B.

【变式103](2425七"安徽合肥・期中)下列运算正确的是()

A.2m2n-i-m=2nB.(x+y)(x-y)=x2-2xy4-y2

C.(—2m2n)2=4m2nD.(x—y)2=x2-2xy4-y2

【答案】D

【分析】逐一分析各诜项的运算是否正确，利用单项式除法、平方差公式、积的乘方及完全平方公式进行

判断.熟练掌握单项式除法、平方差公式、积的乘方及完全平方公式是解题的关键.

【详解】解：A、2m2九+租=2m2-1n=2nm,故选项A错误；

B、(x+y)(x-y)=x2-y2,故选项B错误；

C、(一2m=(一2尸•(m2)2-n2=47n2m故选项c错误：

D、(x—y)2=x2-2xy4-y2,故选项D正确.

故答案为：D.

【题型十一】乘法公式与几何图形

【例111(2425八上•黑龙哈尔汇第卜七中学校•期中)如图所示,在边长为Q的正方形中挖去一个边长为b的

小正方形(a>b),将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证()

A.(a-b)2=(a+b)2-4abB.a2+b2+2ab=(a+b)2

C.(a—b)2=a2-2ab4-b2D.a2—b2=(a+6)(a—d)

【答案】D

【分析】本题考杳了平方差公式的几何背景，运用不同的方法表示阴影部分的面积是解题的关键.

将左右两边图形阴影部分面积表示出来，根据阴影面积相等即可作答.

【详解】解：左图可得阴影部分面积为：a2-b2,

右图可得阴影部分面积为：(a+力)(。一匕)，

所以/-b2=(a4-b)(a—b),

故选D.

【变式111](2425八上•上海西延安中学•期中)有两个正方形4、B,将8放在4的内部得图1,将4、8并列放

置后得图2,如果图1和图2中阴影部分的面积分别为21和6,则正方形4、B的面积之和是

【答案】29

【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面枳、多项式乘多项式与图形面积，解题关键是从图中提

取出正确信息.

a2-b2=21@

设正方形/的边长为a,正方形B的边长为b,得出i，①—②x2求出a—b后可得a+b.b,

(ab-bz=6(2)

即可求解.

【详解】解：设正方形力的边长为a,正方形B的边长为b，

a2—b2=21①

依题得:

ab—b2=6@，

①一②x2得。2-匕2-2ab+2/=21-6x2,

即(a—b)2=9,

:.a-b=3,

••a+b=a~b-=7,b=叱=2,

a-ba-o1

a=5,

a?+>2=25+4=29.

即正方形4、8的面枳之和是29.

故答案为：29.

【变式112](2425八匕浙江宇波慈溪中部区域•期中)如图所示，两个正方形的边长分别为Q和b,如果Q+8=

12,ab=32,那么阴影部分的面积是

【答案】24

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形。2+/=9+6)2—2时是关

键.阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，川a、b的代数式表示后，整体代入a+b=12,ab=32即

可.

【详解】解：如图,连接BE,

•••5阴影=；。(。­)+?

=7(a2—ab4-b2)

=1[(a+b)2-3ab]

1

=T(122-3X32)

z

=24.

故答案为：24.

【题型十二】乘法公式中相关计算

【例12】(2425八上•上海西延安口学•期中)已知5/一6%+4xy+y?+9=0,那么盯=.

【答案】-18

【分析】将给定的多项式进行配方，转化为几个平方项相加等于0的形式，再根据平方项的非负性求出％、y

的关系，进而求出肛的值.本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性，熟练掌握完全平方

公式(。±匕)2=小±2必+〃，并能根据其结构特征对多项式进行配方，再结合平方数的非负性求解是解

题的关键.

【详解】解：57-6%+4xy+y2+9=0,

4x2+4xy4-y2+x2-6%4-9=0,

(2x+y)24-(x-3)2=0,

v(2x+y)2>0,(x-3)2>0,

2x+y=0且x-3=0,

解得x=3,y=-6,

•••xy=3x(-6)=-18.

故答案为：-18.

【变式121](2324七上•湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区•期中)已知a+b=5,a-b=-3,a2-

b2=.

【答案】-15

【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的形式及用法是解题的关键.本题可根

据平方差公式对小-非进行变形，再将已知条件代入变形后的式子进行计算.

【详解】解：根据平方差公式a?一〃=(a+b)(a-b)，

va+Z