2026年高中数学知识竞赛试题及答案

2026年高中数学知识竞赛试题及答案1.已知函数f(x)=ln(1+eˣ)−ax在R上单调递增，求实数a的最大值。【答案】求导得f′(x)=eˣ/(1+eˣ)−a。单调递增要求f′(x)≥0恒成立，即eˣ/(1+eˣ)≥a。令g(x)=eˣ/(1+eˣ)，则g(x)∈(0,1)。当x→+∞时g(x)→1，故a≤1。当a=1时，f′(x)=eˣ/(1+eˣ)−1=−1/(1+eˣ)<0，不满足。因此a的最大上确界为1，但无法取到，最大值为1。2.设复数z满足|z−3i|=5且z的虚部为正，求z的辐角主值θ的最大值。【答案】几何意义：z位于以3i为圆心、半径5的上半圆。设z=3i+5e^{iφ}，φ∈(0,π)。辐角主值θ=arg(z)=arctan((3+5sinφ)/(5cosφ))。令h(φ)=(3+5sinφ)/(5cosφ)，求导得h′(φ)=[5cos²φ+(3+5sinφ)sinφ]/(5cos²φ)=(3sinφ+5)/(5cos²φ)>0。故h(φ)在(0,π)单调增，最大值在φ→π⁻时趋近+∞，此时θ→π/2⁻。因此θ的最大值为π/2。3.在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，点D在BC上，使得∠BAD=30°，求∠CAD。【答案】设AB=AC=1，由正弦定理BC=2sin50°。在△ABD中，∠ABD=40°，∠BAD=30°，故∠ADB=110°。由正弦定理AD/sin40°=AB/sin110°⇒AD=sin40°/sin110°。在△ADC中，已知AC=1，AD=sin40°/sin110°，∠ACD=40°。设∠CAD=α，则∠ADC=140°−α。由正弦定理AD/sin40°=AC/sin(140°−α)⇒sin(140°−α)=sin110°。解得140°−α=110°或70°，即α=30°或70°。但α=30°时D与B重合，舍去，故∠CAD=70°。4.设数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+1/(a₁+⋯+aₙ)，求a₂₀₂₆的整数部分。【答案】令Sₙ=∑_{k=1}^{n}aₖ，则aₙ₊₁=aₙ+1/Sₙ。累加得Sₙ₊₁=Sₙ+aₙ₊₁=Sₙ+aₙ+1/Sₙ=Sₙ+(Sₙ−Sₙ₋₁)+1/Sₙ=2Sₙ−Sₙ₋₁+1/Sₙ。观察Sₙ增长近似平方，设Sₙ≈cn²，代入得c(n+1)²≈2cn²−c(n−1)²+1/(cn²)⇒c≈√(1/2)。更精确地，令bₙ=Sₙ²，则bₙ₊₁=(Sₙ+aₙ₊₁)²=Sₙ²+2Sₙaₙ₊₁+aₙ₊₁²≈bₙ+2+1/bₙ。近似差分bₙ₊₁−bₙ≈2，故bₙ≈2n，Sₙ≈√(2n)。于是aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁≈√(2n)−√(2n−2)≈1/√(2n)。累加得Sₙ≈√(2n)+O(1)，故a₂₀₂₆≈1/√(4052)≈0.0157，整数部分为0。5.已知椭圆x²/25+y²/9=1的右焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B，求△OAB的面积。【答案】F=(4,0)，直线y=√3(x−4)。代入椭圆得x²/25+3(x−4)²/9=1⇒x²+25(x−4)²=75⇒26x²−200x+325=0。解得x=(100±5√39)/26。对应y=√3(x−4)。面积S=1/2|x₁y₂−x₂y₁|=1/2|√3(x₁(x₂−4)−x₂(x₁−4))|=1/2|√3·4(x₁−x₂)|。|x₁−x₂|=10√39/26，故S=1/2·4√3·10√39/26=20√117/13=60√13/13。6.设x,y,z>0且x+y+z=1，求(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)的最小值。【答案】取对数，设f=ln∏(x+1/x)。由对称性猜最小在x=y=z=1/3，此时值为(1/3+3)³=(10/3)³=1000/27。证明：固定两变量，令g(t)=ln(t+1/t)，g″(t)=(t⁴−1)/(t²(t²+1)²)。当t∈(0,1)时g″(t)<0，凸向下，故由Jensen不等式，∑ln(x+1/x)≥3ln(1/3+3)，等号当且仅当x=y=z=1/3。因此最小值为1000/27。7.设函数f(x)=x³−3x在[−2,2]上的最大值为M，最小值为m，求M−m。【答案】f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)。临界点x=±1，端点x=±2。f(−2)=−2，f(−1)=2，f(1)=−2，f(2)=2。故M=2，m=−2，M−m=4。8.在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在A₁B₁上移动，求AP与平面BDD₁B₁所成角的最大值。【答案】建立坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A₁(0,0,1)。平面BDD₁B₁的法向量n=BD×BB₁=(−1,1,0)×(0,0,1)=(1,1,0)。P(t,0,1)，t∈[0,1]。向量AP=(t,0,1)。夹角θ满足sinθ=|AP·n|/(|AP||n|)=|t|/√(t²+1)·√2。令f(t)=t/√(t²+1)，f′(t)=1/(t²+1)^{3/2}>0，最大值在t=1，sinθ=1/√2·√2=1/2，θ=30°。9.设随机变量X~N(0,1)，求E[|X|³]。【答案】E[|X|³]=2∫₀^∞x³φ(x)dx，φ(x)=e^{−x²/2}/√(2π)。分部积分：∫x³e^{−x²/2}dx=−x²e^{−x²/2}|₀^∞+2∫xe^{−x²/2}dx=0+2。故E[|X|³]=2·2/√(2π)=4/√(2π)=2√(2/π)。10.已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ+3^{n}，求通项公式。【答案】齐次解aₙ^{(h)}=C·2ⁿ。设特解aₙ^{(p)}=A·3ⁿ，代入得A·3^{n+1}=2A·3ⁿ+3ⁿ⇒3A=2A+1⇒A=1。通项aₙ=C·2ⁿ+3ⁿ。由a₁=2=2C+3⇒C=−1/2。故aₙ=3ⁿ−2^{n−1}。11.设抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB,CD，求1/|AB|+1/|CD|。【答案】极坐标：抛物线r=2/(1−cosθ)。设AB的倾角为α，则CD为α+π/2。|AB|=r(α)+r(α+π)=2/(1−cosα)+2/(1+cosα)=4/sin²α。同理|CD|=4/cos²α。故1/|AB|+1/|CD|=sin²α/4+cos²α/4=1/4。12.设a,b,c>0且abc=1，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9+3∑(a−1)²。【答案】左边=3+∑(a/b+b/a)。右边=9+3∑(a²−2a+1)=9+3∑a²−6∑a+9=18+3∑a²−6∑a。需证∑(a/b+b/a)≥6+3∑a²−6∑a。由AM≥GM，a/b+b/a≥2，故∑≥6。只需3∑a²−6∑a≤0，即∑a²≤2∑a。由abc=1，设a=x/y，b=y/z，c=z/x，则∑a²=∑x²/y²，∑a=∑x/y。需证∑x²/y²≤2∑x/y。令x=y=z=1取等，故成立。13.设函数f(x)=∫₀^x(t²+1)/(t⁴+1)dt，求f(1)+f(−1)。【答案】f(−1)=∫₀^{−1}(t²+1)/(t⁴+1)dt=−∫₀^1(u²+1)/(u⁴+1)du=−f(1)。故f(1)+f(−1)=0。14.在△ABC中，AB=13，AC=14，BC=15，求内切圆与BC边的切点分BC所成两线段之长。【答案】半周长s=(13+14+15)/2=21。面积Δ=√(21·8·7·6)=84。内切圆半径r=Δ/s=4。设切点分BC为x,15−x，则x=s−AC=21−14=7，15−x=s−AB=21−13=8。故两段为7与8。15.设x,y∈R满足x²+y²−4x−2y+4=0，求x+y的最大值。【答案】配方得(x−2)²+(y−1)²=1。参数化x=2+cosθ，y=1+sinθ。x+y=3+cosθ+sinθ=3+√2sin(θ+π/4)。最大值为3+√2。16.设多项式P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d满足P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=5，求P(0)。【答案】令Q(x)=P(x)−5，则Q有根1,2,3,4，Q(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)。P(0)=Q(0)+5=24+5=29。17.设正整数n满足n²+1整除n³+2026，求所有这样的n。【答案】n³+2026≡n³−nmod(n²+1)。n³−n=n(n²+1)−2n≡−2nmod(n²+1)。故n²+1|−2n+2026⇒n²+1|2n−2026。设2n−2026=k(n²+1)，k∈Z。若k≥1，则n²+1≤2n−2026无解。k=0⇒n=1013，验证：1013²+1|1013³+2026，成立。k≤−1，令k=−m，m≥1，则2n−2026=−m(n²+1)⇒mn²+2n+(m−2026)=0。判别式Δ=4−4m(m−2026)≥0⇒m≤45。逐枚m=1到45，得整数n仅m=1时n=1012。验证：1012²+1|1012³+2026，成立。故n=1012,1013。18.设函数f(x)=sinx/x，求∫₀^πf(x)dx的精确值。【答案】∫₀^πsinx/xdx=Si(π)，其中Si为正弦积分。无初等表达式，数值≈1.851937。19.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求A¹⁰⁰的(1,1)元。【答案】特征值λ=(5±√33)/2。设λ₁=(5+√33)/2，λ₂=(5−√33)/2。对应特征向量v₁=(1,(λ₁−1)/2)，v₂=(1,(λ₂−1)/2)。A¹⁰⁰=PD¹⁰⁰P⁻¹，(1,1)元为(λ₁¹⁰⁰(λ₂−3)+λ₂¹⁰⁰(3−λ₁))/(λ₂−λ₁)。化简得(λ₁¹⁰⁰+λ₂¹⁰⁰)/2−(λ₁¹⁰⁰−λ₂¹⁰⁰)√33/22。数值≈λ₁¹⁰⁰/2。20.设a,b,c为三角形三