国开电大离散数学（本）形考任务1-3答案

国开电大离散数学（本）形考任务1-3答案说明：本答案对应国开电大离散数学（本）课程形考任务1-3，涵盖选择题、填空题、判断题、计算题及证明题等常见题型，严格依据课程教学大纲及考核要求整理，解析部分注重逻辑推导，帮助理解核心知识点。形考任务1答案（集合与关系、函数）一、选择题（每题5分，共25分）设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B=（）

答案：B.{2,4}

解析：交集是指由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，A和B的公共元素为2、4。若集合A={a,b,c}，则下列集合中是A的真子集的是（）

答案：C.{a,b}

解析：真子集是指集合中的元素全部来自原集合，但不等于原集合。A的真子集包括∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}，选项C符合。设集合A={1,2}，B={a,b}，则从A到B的所有函数的个数为（）

答案：D.4

解析：从集合A到集合B的函数是指对于A中的每个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。A中有2个元素，每个元素有2种对应方式，故总个数为2×2=4。设集合A={1,2,3}，A上的关系R={(1,1),(1,2),(2,1),(3,3)}，则R是（）

答案：A.自反的且对称的

解析：自反性：对任意x∈A，(x,x)∈R，1、2、3均满足；对称性：若(x,y)∈R，则(y,x)∈R，(1,2)和(2,1)满足，其余元素自身对称，故R自反且对称。设集合A={1,2,3,4}，A上的关系R={(x,y)|x+y=5}，则R的定义域为（）

答案：B.{1,2,3,4}

解析：关系的定义域是指所有有序对中第一个元素的集合。满足x+y=5的有序对为(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，第一个元素为1、2、3、4，故定义域为{1,2,3,4}。二、填空题（每题5分，共25分）设集合A={1,3,5}，B={2,4,6}，则A∪B=____________

答案：{1,2,3,4,5,6}

解析：并集是指由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。设集合A={a,b,c,d}，则集合A的幂集P(A)的元素个数为____________

答案：16

解析：若集合A中有n个元素，则其幂集P(A)的元素个数为2ⁿ。A中有4个元素，故2⁴=16。设集合A={1,2}，B={3,4}，则A×B=____________

答案：{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

解析：笛卡尔积A×B是指由所有第一个元素属于A，第二个元素属于B的有序对组成的集合。设集合A={1,2,3}，A上的关系R={(1,2),(2,3),(1,3)}，则R具有____________性（填“传递”“对称”或“自反”）

答案：传递

解析：传递性：若(x,y)∈R且(y,z)∈R，则(x,z)∈R。此处(1,2)∈R、(2,3)∈R，且(1,3)∈R，满足传递性；无自反性（缺少(1,1)等），无对称性（(1,2)∈R但(2,1)∉R）。设f:A→B是从集合A到集合B的函数，若对于任意x₁,x₂∈A，当x₁≠x₂时，有f(x₁)≠f(x₂)，则f称为____________函数

答案：单射（或入射）

解析：单射函数的定义为：若定义域中两个不同元素的函数值不同，则该函数为单射函数。三、判断题（每题5分，共25分）空集是任何集合的子集。（）

答案：√

解析：空集不含任何元素，根据子集定义，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。设集合A={1,2}，B={1,2,3}，则A⊂B（真子集）。（）

答案：√

解析：A中的所有元素都属于B，且B中存在元素3不属于A，故A是B的真子集。设R是集合A上的对称关系，则R的逆关系R⁻¹也是A上的对称关系。（）

答案：√

解析：对称关系的逆关系与原关系相同，故仍为对称关系。若(x,y)∈R⁻¹，则(y,x)∈R，因R对称，故(x,y)∈R，即(y,x)∈R⁻¹，满足对称。所有的函数都是关系，但并非所有的关系都是函数。（）

答案：√

解析：函数是特殊的关系，要求定义域中每个元素有且仅有一个对应元素；而关系只需定义域中元素有对应元素即可，可多个或无，故并非所有关系都是函数。设f:A→B和g:B→C都是单射函数，则f∘g（复合函数）也是单射函数。（）

答案：√

解析：若f和g均为单射，则对于任意x₁≠x₂∈A，f(x₁)≠f(x₂)，进而g(f(x₁))≠g(f(x₂))，即f∘g(x₁)≠f∘g(x₂)，故复合函数为单射。四、计算题（每题25分，共25分）设集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={5,6,7,8}，求：

（1）(A∩B)∪C；（2）A∪(B∩C)；（3）P(A∩B)（幂集）

解：

（1）先求A∩B：A∩B={3,4}（A和B的公共元素）

再求(A∩B)∪C：{3,4}∪{5,6,7,8}={3,4,5,6,7,8}

（2）先求B∩C：B∩C={5,6}（B和C的公共元素）

再求A∪(B∩C)：{1,2,3,4}∪{5,6}={1,2,3,4,5,6}

（3）A∩B={3,4}，其幂集P(A∩B)是所有子集的集合：

P(A∩B)={∅,{3},{4},{3,4}}

形考任务2答案（图论基础）一、选择题（每题5分，共25分）设无向图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均为2，则G中顶点的个数为（）

答案：C.7

解析：根据握手定理：无向图中所有顶点的度数之和等于边数的2倍。设顶点个数为n，其余顶点数为n-4，度数和为4×3+(n-4)×2=12+2n-8=2n+4。边数的2倍为2×10=20，故2n+4=20，解得n=7。设无向图G是连通图，顶点数为n，边数为m，则m至少为（）

答案：A.n-1

解析：连通无向图的最小边数是树的边数，树的边数=顶点数-1，即m≥n-1。下列图形中，是欧拉图的是（）

答案：B.所有顶点度数均为偶数的连通图

解析：欧拉图的定义是：连通且所有顶点的度数都是偶数的无向图，存在经过每条边一次且仅一次的回路（欧拉回路）。设图G的邻接矩阵为$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$，则G中顶点的个数为（）

答案：B.3

解析：邻接矩阵是n×n的方阵，n即为顶点个数，该矩阵为3×3，故顶点数为3。设无向图G中有5个顶点，4条边，则G的生成树有（）条边

答案：A.4

解析：生成树是包含图中所有顶点的树，树的边数=顶点数-1，故5-1=4条边。二、填空题（每题5分，共25分）设无向图G中有n个顶点，m条边，则G的顶点度数之和为____________

答案：2m

解析：握手定理的核心内容，无向图中所有顶点的度数之和等于边数的2倍。设无向图G是树，顶点数为n，则G的边数为____________

答案：n-1

解析：树的定义是连通且无回路的无向图，其边数恒等于顶点数减1。设有向图G中存在一条从顶点u到顶点v的路径，则称u是v的____________顶点，v是u的____________顶点

答案：可达；被可达

解析：路径的定义衍生，若存在u到v的路径，则u可达v，v是u的被可达顶点。设无向图G中有两个连通分支，顶点数分别为n₁和n₂，边数分别为m₁和m₂，则G的顶点数为____________，边数为____________

答案：n₁+n₂；m₁+m₂

解析：连通分支是图中最大的连通子图，图的总顶点数为各分支顶点数之和，总边数为各分支边数之和。设简单无向图G的顶点数为n（n≥3），若G的每个顶点的度数都≥n/2，则G是____________图

答案：连通

解析：这是图论中的一个重要定理，若简单无向图中每个顶点的度数至少为n/2，则图一定连通。三、判断题（每题5分，共25分）有向图的邻接矩阵是对称矩阵。（）

答案：×

解析：无向图的邻接矩阵是对称的（因为边无方向，(i,j)和(j,i)对应同一条边）；而有向图的边有方向，(i,j)和(j,i)是两条不同的边，邻接矩阵不一定对称。树是连通且无回路的无向图，因此树中不存在度数为0的顶点。（）

答案：√

解析：树是连通图，连通图中所有顶点都可达，若存在度数为0的顶点（孤立顶点），则该顶点无法与其他顶点连通，矛盾，故树中无孤立顶点。欧拉图一定是连通图。（）

答案：√

解析：欧拉图的定义明确要求图是连通的，不连通的图不可能存在欧拉回路。设无向图G是连通图，若G中存在回路，则G中一定存在生成树。（）

答案：√

解析：连通图无论是否存在回路，都存在生成树（生成树是连通图的极小连通子图），可通过删除回路中的边得到生成树。设两个无向图G₁和G₂同构，则它们的顶点数和边数一定相等。（）

答案：√

解析：同构的图具有相同的结构，顶点数、边数必然相等，这是同构的必要条件（非充分条件）。四、计算题（每题25分，共25分）设无向图G的顶点集合V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}，边集合E={(v₁,v₂),(v₁,v₃),(v₂,v₃),(v₂,v₄),(v₃,v₅),(v₄,v₅)}，求：

（1）每个顶点的度数；（2）G的邻接矩阵；（3）判断G是否为连通图；（4）判断G是否为欧拉图

解：

（1）顶点度数：

deg(v₁)=2（连接v₂、v₃）

deg(v₂)=3（连接v₁、v₃、v₄）

deg(v₃)=3（连接v₁、v₂、v₅）

deg(v₄)=2（连接v₂、v₅）

deg(v₅)=2（连接v₃、v₄）

（2）邻接矩阵（行和列均对应v₁~v₅）：

$\begin{pmatrix}

0&1&1&0&0\\

1&0&1&1&0\\

1&1&0&0&1\\

0&1&0&0&1\\

0&0&1&1&0

\end{pmatrix}$

（注：矩阵中元素aᵢⱼ=1表示存在边(vᵢ,vⱼ)，aᵢⱼ=0表示不存在）

（3）连通性判断：

任意两个顶点之间都存在路径，例如v₁到v₄的路径：v₁→v₂→v₄；v₁到v₅的路径：v₁→v₃→v₅，故G是连通图。

（4）欧拉图判断：

欧拉图要求连通且所有顶点度数为偶数。G是连通图，但v₂和v₃的度数为3（奇数），不满足所有顶点度数为偶数的条件，故G不是欧拉图。

形考任务3答案（命题逻辑、谓词逻辑）一、选择题（每题5分，共25分）下列语句中，是命题的是（）

答案：C.2是偶数

解析：命题是指能够判断真假的陈述句。A是疑问句，B是祈使句，D是感叹句，均不能判断真假；C是陈述句，且可判断为真，故为命题。设P：今天下雨，Q：明天刮风，则命题“今天下雨且明天刮风”可符号化为（）

答案：A.P∧Q

解析：逻辑联结词“且”对应合取运算，符号为∧；P∧Q表示P和Q同时成立。设命题P：2+2=4，Q：3是奇数，则P→Q的真值为（）

答案：A.真（T）

解析：蕴含式P→Q的真值规则：只有当P为真、Q为假时，P→Q为假；其余情况均为真。此处P为真，Q为真，故P→Q为真。下列命题公式中，是永真式的是（）

答案：B.P∨¬P

解析：永真式（重言式）是指无论命题变元取何真值，公式总为真。P∨¬P表示“P或非P”，必然为真；A、C、D均存在使公式为假的情况。设个体域为整数集，谓词F(x)：x是偶数，G(x)：x是奇数，则命题“所有整数要么是偶数要么是奇数”可符号化为（）

答案：D.∀x(F(x)∨G(x))

解析：“所有”对应全称量词∀；“要么是偶数要么是奇数”对应F(x)∨G(x)，故符号化为∀x(F(x)∨G(x))。二、填空题（每题5分，共25分）设P：他是学生，Q：他是运动员，则命题“他不是学生也不是运动员”可符号化为____________

答案：¬P∧¬Q（或¬(P∨Q)）

解析：“不是学生”即¬P，“不是运动员”即¬Q，“也”对应合取∧；根据德摩根定律，¬P∧¬Q等价于¬(P∨Q)。命题公式P∨(Q∧R)的成真赋值为____________

答案：所有使P为真或Q∧R为真的赋值（即(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,1)）

解析：析取式P∨(Q∧R)为真的条件是P为真，或Q和R均为真，列出所有3个变元的赋值即可。设个体域为{1,2}，谓词F(x)：x＞0，则∀xF(x)的真值为____________，∃xF(x)的真值为____________

答案：真（T）；真（T）

解析：∀xF(x)表示“所有个体x都满足F(x)”，1和2均大于0，故为真；∃xF(x)表示“存在个体x满足F(x)”，显然存在，故为真。命题公式¬(P∧Q)的等价公式为____________（根据德摩根定律）

答案：¬P∨¬Q

解析：德摩根定律：¬(P∧Q)等价于¬P∨¬Q；¬(P∨Q)等价于¬P∧¬Q。设P：明天放假，Q：我去旅游，则命题“如果明天放假，我就去旅游”的逆否命题可符号化为____________

答案：¬Q→¬P

解析：原命题为P→Q，逆否命题为¬Q→¬P（原命题与逆否命题等价）。三、判断题（每题5分，共25分）命题“2是质数或3是质数”是真命题。（）

答案：√

解析：2是质数（真），3是质数（真），析取式P∨Q只要有一个为真则整体为真，故为真命题。设P和Q是命题，则P→Q与¬P∨Q等价。（）

答案：√

解析：这是蕴含式的等价转换公式，P→Q的真值表与¬P∨Q完全一致，故等价。全称量词∀x的否定是存在量词∃x，存在量词∃x的否定是全称量词∀x。（）

答案：√

解析：量词否定定律：¬∀xF(x)等价于∃x¬F(x)，¬∃xF(x)等价于∀x¬F(x)，核心是全称与存在量词相互否定。命题公式P∧¬P是永假式（矛盾式）。（）

答案：√

解析：P和¬P不可能同时为真，合取式P∧¬P永远为假，故为永假式。设个体域为实数集，谓词F(x)：x是整数，G(x)：x是有理数，则∀x(F(x)→G(x))是真命题。（）

答案：√

解析：该命题表示“所有整数都是有理数”，整数是有理数的子集，故为真命题。四、证明题（每题25分，共25分）证明命题公式(P→Q)∧(Q→R)→(P→R)是永真式