（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 平面向量与复数 第01讲 平面向量的概念及其线性运算（原卷版）

第第页第01讲平面向量的概念及其线性运算第一部分：知识点必背1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；4.2中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任意一点，则.4.3三点共线等价形式：（，为实数），若，，三点共线高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示例题1．关于向量，，下列命题中，正确的是（

）．A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则例题2．（多选）下列说法中错误的是（

）A．单位向量都相等B．对于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共线向量D．若，满足且与同向，则练透核心考点1．下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上2．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（

）A．0B．1C．2D．3角度2：模例题1．正方形的边长为1，则为（

）A．1B．C．3D．例题2．对于非零向量，“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件练透核心考点1．已知，，，则（

）．A．1B．2C．3D．2或者62．如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的最小值是____________；最大值是____________.角度3：零向量与单位向量例题1．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．例题2．（多选）下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若与共线，则或C．若为单位向量，则D．是与非零向量共线的单位向量练透核心考点1下列说法中不正确的是（

）A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．单位向量是模为1的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等2．给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个角度4：相等向量例题1．对于向量、，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例题2．（多选）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（

）A．与B．与C．与D．与练透核心考点1．下列叙述中正确的个数是：（

）①若，则；②若，则或；③若，则④若，则⑤若，则A．0B．1C．2D．32．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.（1）写出与共线的向量；（2）写出与的模大小相等的向量；（3）写出与相等的向量.高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法例题1．设为对角线的交点，为任意一点，则（

）A．B．C．D．例题2．（多选）下列四式可以化简为的是（

）A．B．C．D．练透核心考点1．下列各式中不能化简为的是（

）A．B．C．D．2．化简所得的结果是（

）A．B．C．D．角度2：平面向量的数乘例题1．在平行四边形中，，．若，则（

）A．B．C．D．例题2．若在线段上，且，则（

）A．B．C．D．练透核心考点1．已知为所在平面内一点，，则（

）A．B．C．D．2．在中，点D满足，则（

）A．B．C．D．3．如图，在中，，若，则__________．高频考点三：共线向量定理的应用例题1．在中，，，与相交于点，设，(1)用，表示；(2)过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求的最小值.练透核心考点1．设两个非零向量，不共线．(1)若，，，求证：，，三点共线；(2)若与共线，求的值．2．如图，在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．，设，．(1)试用基底，，表示，，；(2)若G为长方形内部一点，且，求证：E，G，F三点共线．第01讲平面向量的概念及其线性运算课后巩固练习1．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D．单位向量都相等2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（

）A．7个B．8个C．9个D．10个3．（

）A．B．C．D．4．如图，在正六边形中，（

）A．B．C．D．5．设是两个非零向量（

）A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则6.给出下列命