（艺术生）2026年高考数学一轮复习讲义+基础巩固练习 数列 第03讲 等比数列及其前n项和（教师版）

第第页第03讲等比数列及其前项和第一部分：知识点必背1.等比数列的概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.(2)等比中项如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.2.等比数列的有关公式(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.3.等比数列的性质设数列是等比数列，是其前项和．(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．高频考点一：等比数列定义例题1．已知数列中，，，为其前项和，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，∴，故选：B.例题2．已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．【答案】【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，因此，.故答案为：.练透核心考点1．已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.【答案】【详解】因为在数列中，，，则，所以，，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，因为、是函数的两个零点，由韦达定理可得，因为，可得，所以，，由等比中项的性质可得，因此，.故答案为：.高频考点二：等比中项例题1．已知是等差数列，是等比数列，若，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为是等差数列，所以，故，则，因为是等比数列，所以，故，则，所以.故选：A例题2．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，因为成等比数列，所以，即，因为，所以，所以.故选：A练透核心考点1．在等比数列中，，，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，得，因为、、都为奇数项，在等比数列中应该为同号，所以，故.故选：A.2．等比数列中，若，则（

）A．2B．3C．4D．9【答案】A【详解】因为等比数列，则，故.故选：A高频考点三：等比数列通项公式角度1：等比数列基本量计算例题1．等比数列中，，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】设等比数列的公比为，所以，所以，所以故选：C例题2．已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．【答案】【详解】由题意可得，则，上述两个等式作商可得，即，因为，解得.故答案为：.角度2：定义法证明或判断例题1．数列的前n项和为，若，，则______．【答案】【详解】由已知，，①，当时，，当时，②，①－②得：，整理得：，即，又符合上式，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以.故答案为：.练透核心考点三1．已知等比数列的前三项和为，则（

）A．81B．243C．27D．729【答案】B【详解】由.而，∴，又，.故选：.2．已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64B．81C．128D．192【答案】B【详解】由等比数列的性质可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故选：B.3．数列中，，，则等于（

）A．18B．27C．36D．54【答案】D【详解】由题意可得出，即可证明是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：D.高频考点四：等比数列的性质例题1．设等比数列的前项之积为，若，，则=（

）A．2B．4C．8D．16【答案】C【详解】因为，，所以，，解得，，则，故．故选：C.例题2．在正项等比数列中，，则__________.【答案】5【详解】数列为正项等比数列，则，∵，，∴.故答案为：5.练透核心考点1．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为等比数列的各项均为正数，且，由等比数列的性质可得，所以，，即，因此，.故选：B.2．在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.【答案】5【详解】因为与是方程的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.高频考点五：等比数列的前项和基本量计算例题1．已知等比数列满足，，若的前项和，则（

）A．5B．6C．7D．8【答案】A【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以.因为，所以，所以,解得.故选:A.例题2．已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．B．5C．D．【答案】B【详解】因为，当时，，当时，，则，当时，，则，因为是等比数列，所以，则，所以，解得，则，则.故选：B.练透核心考点1．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．127B．254C．510D．255【答案】D【详解】设等比数列的首项为，公比为，则显然，因为所以，解得，由，得，所以.故选:D.2．在等比数列中，为数列的前n项和，，，则＝_______【答案】21【详解】设等比数列的公比为，由，，得，而，于是，所以.故答案为：213．在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________.【答案】【详解】因为，所以，所以，即，所以，故.故答案为：高频考点六：等比数列的前项和性质角度1：等比数列片段和性质例题1．已知为等比数列的前项和，，，则的值为（

）A．85B．64C．84D．21【答案】A【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，，所以.故选：A例题2．等比数列的前项和是,且,若,则(

)A．B．C．D．【答案】D【详解】设,则,所以由等比数列性质知成等比数列所以,得,所以所以故选：D例题3．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.角度2：等比数列奇偶项和例题1．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15B．30C．45D．60【答案】D【详解】设，则，又因为，所以，所以.故选:D例题2．已知等比数列的公比，且，则___________.【答案】120【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，所以.故答案为：120练透核心考点六1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A．B．43C．D．41【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列．因为，所以，所以，故．故选：A.2．正项等比数列的前项和为，，，则等于（）A．90B．50C．40D．30【答案】B【详解】解：因为是正项等比数列的前项和，所以，所以，又因为，，所以，所以，解得或(舍).故选：B.3．已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.【答案】2【详解】由题意,设奇数项的和为,偶数项的和为,得故公比故答案为2第03讲等比数列及其前项和1．在等比数列中，，，则是（

）A．1B．3C．D．【答案】D【详解】等比数列中,因为成等比数列，且，，所以，故选：D.2．在等比数列中，若，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由，得，则.故选：B3．等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（

）A．B．C．D．或【答案】C【详解】设等比数列的首项为，公比为，则有，成等差数列，，即或（舍），；选：C.4．在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】设等比数列的公比为，由，，得，则；由，，得．故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件．故选：B5．已知数列{}为递增的等比数列，且，则{}的公比为（

）A．B．C．D．2【答案】D【详解】由题意，得，解得或（因为递增，故舍去），所以的公比.故选：D.6．已知数列满足，，则_______.【答案】【详解】由，得，由，得，因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，所以.故答案为：7.已知各项均不为零的数列的前n项的和为，且满足．求数列的通项公式；【答案】【详解】，，当时，，两式相减得：，由得：，即，满足上式，因此，于是得数列是首项为4，公比为4的等比数列，，所以数列的通项公式是.8.在等比数列中：(1)若它的前三项分别为5，，