2026年九年级数学中考模拟压轴练1 含答案

/中考模拟压轴练1--针对安徽中考数学第10、14、22、23题1．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点M，N将底边AB三等分，点P在△ABC的腰上，且满足PM+PN＝5的点P恰好是2个，则△ABC的腰长为（）A．1524 B．35 C．32．平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象上，连接AB，OA，AB∥x轴．（1）b＝；（2）若将抛物线y＝﹣x2+bx+c向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界）则m的取值范围是．3．如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是CA延长线上一点且满足AD=12AC，E是BC的中点，连接DE交（1）求证：F为DE的中点；（2）求证：DB＝DE；（3）求sin∠BDE的值．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．（1）若E是AD的中点．①如图1，当AF=12时，求证：EF⊥②如图2，当tan∠FCE=23时，求tan∠（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，tan∠FCE=24时，求证：AE＝中考模拟压轴练2--针对安徽中考数学第10、14、22、23题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，且∠AOD＝120°，点E为BD上一个动点，点P为AE的中点，点F为OD的中点，则PB+PF的最小值为（）A．53 B．43 C．426．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，m），（3，m），（1）抛物线的对称轴为；（2）点（t，y1），（t+2，y2）在抛物线上，且y2﹣y1＜8，则t的取值范围是．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，连接DE，点G在DE上，连接AG，作∠GEF＝∠AGE交BD于点F，CD于点H，EF＝AG．（1）求证：BF＝DF；（2）若∠ABC＝90°，BD＝AB+AE，求cos∠EAG的值；8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且△AOB的面积为6．（1）求b，c；（2）若点M为二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象第二象限内一点，求四边形AMBC的面积S的最大值；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．中考模拟压轴练3--针对安徽中考数学第10、14、22、23题9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝9，AB＝12，D是AC上的一点，且AD＝2CD，E是BC上的一动点，DF⊥DE，交线段AB于点F，连接EF．设CE的长为x，△BEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A． B． C． D．10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点G落在边AB上，得到四边形EFPG，连接BP．若AG＝2，AD＝6．（1）AE＝．（2）若AG＝BG，则BP＝．11．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，DE是△ABC的中位线．将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α（0＜α＜90°），射线BD与射线CE交于点P，如图2所示．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）在这个旋转过程中，∠BPC的度数是否发生改变？若不变，求出∠BPC的度数；若改变，请说明理由．（3）当AE⊥CE时，求BP的长．12．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求b，c的值；（2）连接BC，交抛物线L：y＝x2+bx+c的对称轴于点D．①求点D的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L′．抛物线L的对称轴交抛物线L′于点E，抛物线L′的对称轴交抛物线L于点F．当DE＝2EF时，求m的值．中考模拟压轴练4--针对安徽中考数学第10、14、22、23题13．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，∠ABC的平分线BF交AC于点F，D为BF上一动点，连接AD，以AD为边在右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值（）A．5−1 B．2 C．3+114．如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N，且∠EBF＝45°．（1）求∠BEA+∠BFC＝°．（2）若AB＝4，AD＝2，CF＝1，则AE＝．15．如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF．（1）求证：△ABF∽△CBD；（2）求证：CD＝2EF；（3）若AF＝1，求CD．16．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3．（1）求二次函数图象的对称轴以及与y轴的交点坐标．（2）当﹣2≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为32，求该二次函数的表达式．（3）若a＞0，直线y＝kx+1经过抛物线y＝ax2﹣2ax+3的顶点，并与该抛物线的另一交点为点B，当OB2取最小值时，求a的值．中考模拟压轴练5--针对安徽中考数学第10、14、22、23题17．正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF，交于点P，连接CP，当CP的值最小时，点P到AB的距离是（）A．455 B．2 C．2518．在平面直角坐标系中，反比例函数y=−12x(x＞0)与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（（1）m＝，n＝；（2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是．19．如图，抛物线y=ax2−103x+4与直线y=43x+b交于点A（2，0），B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段AB上一动点（不与点A，B重合），过点N（1）求抛物线和直线的函数表达式．（2）四边形ACBM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ACBM的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）求证：∠ACB20．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

中考模拟压轴练1参考答案与试题解析--针对安徽中考数学第10、14、22、23题1．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点M，N将底边AB三等分，点P在△ABC的腰上，且满足PM+PN＝5的点P恰好是2个，则△ABC的腰长为（）A．1524 B．35 C．3【分析】如图，过A作AM′⊥AM，AM＝AM′，连接PM′，证明△AMP≌△AM′P，可得MP＝M′P，结合点P在△ABC的腰上，且满足PM+PN＝5的点P恰好是2个，可得当PM+PN取最小值时，刚好是2个，P，N，M′共线时，PM+PN＝PM′+PN＝M′N最小，再进一步求解即可．【解答】解：如图，过A作AM′⊥AM，AM＝AM′，连接PM′，由题意可得：∠CAB＝45°＝∠PAM′，∵AP＝AP，∴△AMP≌△AM′P，∴MP＝M′P，∵PM+PN＝5的点P恰好是2个，∴当PM+PN取最小值时，刚好是2个，∴P，N，M′共线时，PM+PN＝PM′+PN＝M′N最小，∵M，N为AB的三等分点，∴设AM＝MN＝BN＝a，则AM′＝a，∴a2+（2a）2＝52，解得：a=5，（∴AB=3∴AC=故选：C．2．平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象上，连接AB，OA，AB∥x轴．（1）b＝﹣2；（2）若将抛物线y＝﹣x2+bx+c向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界）则m的取值范围是1＜m＜3．【分析】（1）利用待定系数法可求得二次函数解析式，从而知道b；（2）先写出下移后的函数表达式y＝﹣x2﹣2x+4﹣m＝﹣（x+1）2+5﹣m，表示出顶点坐标（﹣1，5﹣m），接着求出直线OA的表达式，求得当x＝﹣1时，y＝2，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），那么2＜5﹣m＜4，最后解不等式即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象上，∴4=−4−2b∴b=−2∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4，故答案为：﹣2；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4，∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+4向下平移m个单位的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4﹣m＝﹣（x+1）2+5﹣m，∴顶点坐标为（﹣1，5﹣m），设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），代入点A（﹣2，4），得到4＝﹣2k，∴k＝﹣2，∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，∴x＝﹣1时，y＝2，∵使平移后抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），∴2＜5﹣m＜4，∴1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．3．如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是CA延长线上一点且满足AD=12AC，E是BC的中点，连接DE交（1）求证：F为DE的中点；（2）求证：DB＝DE；（3）求sin∠BDE的值．【分析】（1）取AC的中点G，连接EG，即可得到EG是△ABC的中位线，然后根据平行线分线段成比例解题即可；（2）连接AE，过点D作DH⊥BC于点H，即可得到DH∥AE，然后根据平行线分线段成比例得到EH=（3）过点E作EM⊥BD于点M，设AB＝AC＝a，求出BD，DH长，然后根据面积法求出EM长，再根据正弦的定义计算解题即可．【解答】（1）证明：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是CA延长线上一点且满足AD=12AC，E是BC的中点，如图，取AC的中点∴AG=GC=12∴AB∥EG，∴DFFE∴DF＝EF，即F为DE的中点；（2）证明：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是BC的中点，如图2，连接AE，过点D作DH⊥BC于点H，∴AE=BE=CE=∴DH∥AE，∴EHCE∴EH=∴DH是BE的垂直平分线，∴DB＝DE；（3）解：过点E作EM⊥BD于点M，设AB＝AC＝a，则AD=在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC=∴CE=在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD=又∵∠C＝45°，∴DH=又∵S△∴EM=∴sin∠4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．（1）若E是AD的中点．①如图1，当AF=12时，求证：EF⊥②如图2，当tan∠FCE=23时，求tan∠（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，tan∠FCE=24时，求证：AE＝【分析】（1）①由由题意可得AECD=AFDE=12，证得△AEF②延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．证得△GEH∽△CED，得GHCD=EHED，推得CE=5，设EH＝m，GH＝2m，得tan∠ECF=GHCH=2mm（2）过点G作GH⊥CE，交CE的延长线于点H．设GE＝DE＝a，GH＝b，EH＝c，证得△GEH∽△CED，即得GHCD=EHED=EGEC，推得b=2aa【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，DC＝DA＝2．∵E是AD的中点，AF=∴AECD∴△AEF∽△DCE，∴∠AEF＝∠DCE．∵∠DCE+∠CED＝90°，∴∠AEF+∠CED＝90°，∴∠CEF＝90°，∴EF⊥EC．②解：如图2，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，∴△GEH∽△CED，∴GHCD∵CD＝2，AE＝ED＝1，∴GH＝2EH．设EH＝m，GH＝2m．在Rt△CED中，由勾股定理得：CE=∴CE=∴CH=∵tan∠∴2m解得m=∴EH=52在Rt△GHE中，由勾股定理得：EG=∴EG=∴DG=∴tan∠∵GD∥CB，∴∠DGC＝∠BCF，∴tan∠（2）证明：如图3，过点G作GH⊥CE，交CE的延长线于点H．设GE＝DE＝a，GH＝b，EH＝c，在Rt△EDC中，由勾股定理得：EC2＝ED2+CD2，∴EC=∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，∴△GEH∽△CED，∴GHCD∴b2∴b=2a在Rt△CGH中，tan∠∴CH=2∴a2整理得a2解得：a=∴AE=∴AG=∵AF∥CD，∴△GAF∽△GDC，∴AFCD∴AF2∴AF=2−∴AE＝AF．中考模拟压轴练2参考答案与试题解析--针对安徽中考数学第10、14、22、23题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，且∠AOD＝120°，点E为BD上一个动点，点P为AE的中点，点F为OD的中点，则PB+PF的最小值为（）A．53 B．43 C．42【分析】取AB的中点M，作直线PM，由点P是AE的中点，得到PM∥BE，作点B关于直线PM的对称点H，连接BH交直线PM于点G，连接FH，根据PG垂直平分BH，得到PB＝PH，∠PGB＝90°，根据矩形的性质得到BM＝AM＝2，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，AC＝BD，推出△AOB是等边三角形，根据勾股定理得到HG＝BG=BM2−MG2=3，FH=BH【解答】解：取AB的中点M，作直线PM，∵点P是AE的中点，∴PM∥BE，作点B关于直线PM的对称点H，连接BH交直线PM于点G，连接FH，∵PG垂直平分BH，∴PB＝PH，∠PGB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴BM＝AM＝2，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝4，∠BMG＝∠ABO＝60°，∴∠BPG＝30°，∴MG=12∴HG＝BG=B∴BH＝2BG＝23，∴FH=BH2∵PF+PH≥FH，∴PF+PB≥43，∴PF+PB的最小值为43，故选：B．6．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，m），（3，m），（1）抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）点（t，y1），（t+2，y2）在抛物线上，且y2﹣y1＜8，则t的取值范围是t＜2．【分析】（1）依据题意，由抛物线过（﹣1，m），（3，m），可得对称轴是直线x=−1+3（2）依据题意，由点（t，y1），（t+2，y2）在抛物线上，从而y1＝t2+bt+c，y2＝（t+2）2+b（t+2）+c，故y2﹣y1＝（t+2）2+b（t+2）+c﹣t2﹣bt﹣c＝4t+4+2b＜8，再结合对称轴是直线x=−b2=1，可得b【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过（﹣1，m），（3，m），∴对称轴是直线x=−1+3故答案为：直线x＝1．（2）由题意，∵点（t，y1），（t+2，y2）在抛物线上，∴y1＝t2+bt+c，y2＝（t+2）2+b（t+2）+c．∴y2﹣y1＝（t+2）2+b（t+2）+c﹣t2﹣bt﹣c＝4t+4+2b＜8．又∵对称轴是直线x=−b∴b＝﹣2．∴4t＜8．∴t＜2．故答案为：t＜2．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，连接DE，点G在DE上，连接AG，作∠GEF＝∠AGE交BD于点F，CD于点H，EF＝AG．（1）求证：BF＝DF；（2）若∠ABC＝90°，BD＝AB+AE，求cos∠EAG的值；【分析】（1）先证四边形AEFG是平行四边形，从而证明△DFG∽△DBE，进而证明结论；（2）设AE＝a，BE＝2a，则BD＝4a，求出AD=7a，DE=22a，EF=【解答】（1）证明：∵∠GEF＝∠AGE，∴EF∥AG，∵EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AE∥FG，AE＝FG，∴△DFG∽△DBE，∴DFDB∵BE＝2AE，∴BE＝2FG，∴BD＝2FD，∴BF＝DF．（2）解：设AE＝a，BE＝2a，则AB＝AE+BE＝3a，∵BD＝AB+AE，∴BD＝3a+a＝4a，由（1）得BF＝DF，EF∥AG，∴BF=12BD=2∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，BC∥AD，∴∠BAD＝90°，∵AD=∴DE=由（1）得DGDE∴点G为Rt△DAE斜边DE的中点，AG=∵四边形AEFG是平行四边形，∴EF=如图，作BP⊥EH于点P，∴BE＝BF＝2a，EP=∴cos∠EAG＝cos∠BEP=EP8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且△AOB的面积为6．（1）求b，c；（2）若点M为二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象第二象限内一点，求四边形AMBC的面积S的最大值；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据点A（0，4），得到OA＝4，c＝4，由几何面积得到OB＝3，即点B（﹣3，0），将点B（﹣3，0）的坐标代入二次函数表达式即可求解；（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点C(43，0)，BC=43−(−3)=133，如图所示，过点M作MN⊥x轴于点N，设点M的坐标为(m，−m2−53m+4)(−3＜m＜0)，则BN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN=−m2−（3）设点P的坐标为（x，0），则AB2＝32+42＝25，AP2＝x2+16，BP2＝（x+3）2，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当AB＝AP时，即25＝x2+16；当AB＝PB时，则25＝（x+3）2；当AP＝BP时，则x2+16＝（x+3）2；由此解方程即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），将点A的坐标代入得：c＝4，∴OA＝4，∵△AOB的面积为6，∴12∴OB＝3，∴点B（﹣3，0），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴的负半轴交于点B，将点B的坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣9﹣3b+4，解得b=−（2）由（1）得抛物线的表达式为y=−令y＝0，即−x解的x＝﹣3，或x=∴点C(43如图，过点M作MN⊥x轴于点N，设点M的坐标为(m∴BN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN=−m2−53m+4，∵S四边形AMBC＝S△BMN+S梯形AMNO+S△AOC，∴==1=−3=−3∵−3∴当m=−32时，S故四边形AMBC的面积S的最大值为28924（3）点P的坐标为（3，0）或（2，0）或（﹣8，0）或(7设点P的坐标为（x，0），则AB2＝32+42＝25，AP2＝x2+16，BP2＝（x+3）2，当AB＝AP时，即25＝x2+16，解得x＝﹣3（舍去）或3，即点P的坐标为（3，0）；当AB＝PB时，则25＝（x+3）2，解得x＝2或﹣8，即点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）；当AP＝BP时，则x2+16＝（x+3）2，解得x=76，即点P综上，点P的坐标为（3，0）或（2，0）或（﹣8，0）或(7中考模拟压轴练3参考答案与试题解析--针对安徽中考数学第10、14、22、23题9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝9，AB＝12，D是AC上的一点，且AD＝2CD，E是BC上的一动点，DF⊥DE，交线段AB于点F，连接EF．设CE的长为x，△BEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A． B． C． D．【分析】过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，易得BE的长，利用相等角的三角函数值用含x表示出BF的长，进而表示出△BEF的面积，根据BF的取值范围可得x的取值范围，即可得到正确选项．【解答】解：如图，过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝9，∴AC=AB∵AD＝2CD，∴CD＝5，AD＝10，在Rt△CEM中，EM＝CE•sinC＝x•1215=45x，CM＝CE•cos∴DM＝CD﹣CM＝5−35设FA长m，则AN为45m，NF=3∴DN＝10−45∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，∴∠FDN+∠EDM＝90°，∵∠NFD+∠NDF＝90°，∴∠NFD＝∠EDM，∴tan∠NFD＝tan∠EDM，∴10−4解得：m=−32x∴BF=3∴y=∵点F在线段AB上，∴0≤BF≤12，∴13故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点G落在边AB上，得到四边形EFPG，连接BP．若AG＝2，AD＝6．（1）AE＝83（2）若AG＝BG，则BP＝655【分析】（1）根据折叠的性质可知ED＝EG，设ED＝EG＝x，则AE＝6﹣x，在Rt△AEG中，根据勾股定理可得：EG2＝AE2+AG2，所以可得关于x的方程x2＝（6﹣x）2+22，解方程求出x的值即可得到DE=103（2）过点P作PQ⊥AB的延长线于点Q，根据同角的余角相等可得∠AEG＝∠QGP，又因为∠A＝∠Q＝90°，从而可证△AEG∽△QGP，根据相似三角形的性质可得AGQP=AEQG=EGGP，从而可得2QP=【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，由折叠可知ED＝EG，设ED＝EG＝x，则AE＝6﹣x，在Rt△AEG中，EG2＝AE2+AG2，∴x2＝（6﹣x）2+22，∴x=∴DE=∴AE=6−故答案为：83（2）如图所示，过点P作PQ⊥AB的延长线于点Q，∵AG＝BG，AG＝2，∴AB＝4，由折叠可知∠EGP＝∠D＝90°，GP＝CD＝AB＝4，∵∠AGE+∠AEG＝90°，∠AGE+∠QGP＝90°，∴∠AEG＝∠QGP，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△AEG∽△QGP，∴AGQP=AE解得：QP=125∴BQ=在Rt△QBP中，BP=故答案为：6511．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，DE是△ABC的中位线．将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α（0＜α＜90°），射线BD与射线CE交于点P，如图2所示．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）在这个旋转过程中，∠BPC的度数是否发生改变？若不变，求出∠BPC的度数；若改变，请说明理由．（3）当AE⊥CE时，求BP的长．【分析】（1）由∠BAC＝90°，AB＝AC，DE是△ABC的中位线，得到AD＝AE，∠DAE＝90°，再推出∠DAB＝∠EAC，即可证得△AEC≌△ADB．（2）设AB与CP交于点F．由△AEC≌△ADB，可得到∠DBA＝∠ECA，再在△AFC与△PFB运用角度的运算，可得到∠BPC＝∠BAC＝90°．（3）将当AE⊥CE时的正确图形画出，利用勾股定理求出EC的长，由△AEC≌△ADB，即可得到BD的长，再求出BP的长．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DE是△ABC的中位线，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC．在△AEC和△ADB中，AE=∴△AEC≌△ADB（SAS）．（2）解：不变．如图，设AB与CP交于点F．由（1）可知△AEC≌△ADB，∴∠DBA＝∠ECA．∵∠AFC＝∠BFP，∴180°﹣∠DBA﹣∠BFP＝180°﹣∠ECA﹣∠AFC，即∠BPC＝∠BAC＝90°，∴∠BPC的度数为90°．（3）解：如图，当AE⊥CE时，AE＝4，AC＝8，∴EC=由（1）可知△AEC≌△ADB，∴BD=∴四边形ADPE是正方形，∴PD＝PE＝AE＝4，∴BP=12．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求b，c的值；（2）连接BC，交抛物线L：y＝x2+bx+c的对称轴于点D．①求点D的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L′．抛物线L的对称轴交抛物线L′于点E，抛物线L′的对称轴交抛物线L于点F．当DE＝2EF时，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）由（1）可得二次函数解析式，即得抛物线L的对称轴为直线x＝1，C（0，﹣3），利用待定系数法求出直线BC的解析式，再把x＝1代入计算即可求解；（3）根据平移可得L′的解析式为y＝（x﹣1+m）2﹣4，进而可求出点E、F的坐标，最后根据DE＝2EF列出方程解答即可求解．【解答】解：（1）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），将点A、点B的坐标代入得：1−b解得b=−2即b＝﹣2，c＝﹣3；（2）①由（1）得：抛物线L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线L的对称轴为直线x＝1，由图可知，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴相交于点C，当x＝0时，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+n，将点B，点C的坐标代入得：0=3k解得k=1∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵直线BCy＝x﹣3交抛物线的对称轴于点D，如图，当x＝1时，得：y＝1﹣3＝﹣2，∴D（1，﹣2）；②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L′，L′的解析式为y＝（x﹣1+m）2﹣4，∴抛物线L′的对称轴为直线x＝1﹣m，把x＝1代入y＝（x﹣1+m）2﹣4得：y＝（1﹣1+m）2﹣4＝m2﹣4，∴E（1，m2﹣4），把x＝1﹣m代入y＝（x﹣1）2﹣4得：y＝（1﹣m﹣1）2﹣4＝m2﹣4，∴F（1﹣m，m2﹣4），∵DE＝2EF，∴m2﹣4﹣（﹣2）＝2[1﹣（1﹣m）]或﹣2﹣（m2﹣4）＝2[1﹣（1﹣m）]整理得：m2﹣2m﹣2＝0或m2+2m﹣2＝0解得m1=3+1，m2＝1−3（舍去），m3＝﹣1+3∴m的值为3+1或﹣1+中考模拟压轴练4参考答案与试题解析--针对安徽中考数学第10、14、22、23题13．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，∠ABC的平分线BF交AC于点F，D为BF上一动点，连接AD，以AD为边在右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值（）A．5−1 B．2 C．3+1【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E′，此时AE′+FE′的值最小．【解答】提示：如图，连接CE．∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AF=∴∠ACE＝30°，∴点E在射线CE上运动，且CE＝BD．作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E′，连接EM，即有AE＝EM，∴AE+EF＝EM+EF．当F，E，M三点共线时，AE+EF有最小值，此时AE′+FE′的值最小，最小为AE′+FE′＝ME′+FE′＝FM，即△AEF周长有最小值，最小值为FM+1．根据对称性可知∠ACE＝∠MCE＝30°，∴∠ACM＝60°．∵CA＝CM，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝AM＝2．∵AF＝CF＝1，∴FM⊥AC，由勾股定理得：FM=∴△AEF周长的最小值为FM+1=故选：C．14．如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N，且∠EBF＝45°．（1）求∠BEA+∠BFC＝135°．（2）若AB＝4，AD＝2，CF＝1，则AE＝43【分析】（1）利用矩形的性质和三角形内角和进行计算即可；（2）利用三角函数和相似三角形进行计算．【解答】解：（1）∵∠ABE+∠EBF+∠CBF＝90°，∠EBF＝45°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∵矩形ABCD，∴∠BAE＝∠BCF＝90°，∴∠ABE+∠BEA＝90°，∠CBF+∠BFC＝90°，∴∠BEA+∠BFC＝90°+90°﹣（∠ABE+∠CBF）＝135°，故答案为：135；（2）∵在Rt△CBF中，BC＝2，CF＝1，∴BF=∵CD∥AB，∴CFAB∴BN=在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝2，∴AC=2∵tan∠∴∠CBF＝∠BAC，∴∠CNB＝90°，∵∠EBF＝45°，∴∠BMN＝45°，∴MN=∵∠CNB＝90°，∴tan∠∴CN=∴AM=∵AD∥BC，∴AEBC∴AE=故答案为：4315．如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF．（1）求证：△ABF∽△CBD；（2）求证：CD＝2EF；（3）若AF＝1，求CD．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠4，再利用三角形外角性质可证明∠5＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）过E点作EM∥BD交AC于M点，如图，利用平行线分线段成比例定理，由EM∥BD得到CM＝DM，由DF∥EM得到AFFE=ADDM，则FE＝DM，所以（3）先证明△ADF∽△AME得到ADAM=FDEM，则利用AD＝AF＝1，EM=12BD，DM=12CD得到11+12【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵AD＝AF，∴∠3＝∠4，∵∠3＝∠1+∠5，∠4＝∠2+∠C，∴∠5＝∠C，∴△ABF∽△CBD；（2）证明：过E点作EM∥BD交AC于M点，如图，∵AE为中线，∴BE＝CE，∵EM∥BD，∴CMDM即CM＝DM，∵DF∥EM，∴AFFE而AD＝AF，∴FE＝DM，∴CD＝2DM＝2EF；（3）解：∵DF∥EM，∴△ADF∽△AME，∴ADAM∵AD＝AF＝1，EM=12BD，DM=∴11+即12+∵△ABF∽△CBD，∴AFCD即1CD①+②得12+解得CD=216．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3．（1）求二次函数图象的对称轴以及与y轴的交点坐标．（2）当﹣2≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为32，求该二次函数的表达式．（3）若a＞0，直线y＝kx+1经过抛物线y＝ax2﹣2ax+3的顶点，并与该抛物线的另一交点为点B，当OB2取最小值时，求a的值．【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可；（2）分两种情况讨论：a＞0和a＜0，根据抛物线的开口方向和对称轴，确定最大值和最小值，再列方程求解即可；（3）由（2）可得二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣a+3），代入直线解析式，求得k＝2﹣a，进而求出抛物线和直线的另一个交点B(2a，4a−1)，设2a=m，则点B（m【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1．当x＝0时，得y＝3，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）；（2）若a＞0，抛物线y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a开口向上，对称轴为直线x＝1，∵﹣2≤x≤5，∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣a+3，当x＝5时，二次函数有最大值15a+3，∴15a+3﹣（﹣a+3）＝32，解得a＝2，∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3．若a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵当﹣2≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为32，∴当x＝1时，二次函数有最大值﹣a+3，当x＝5时，二次函数有最小值15a+3，∴﹣a+3﹣（15a+3）＝32，解得a＝﹣2，∴该二次函数的表达式为y＝﹣2x2+4x+3，综上所述，该二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3或y＝﹣2x2+4x+3；（3）由（2）可得，二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣a+3）．∵直线y＝kx+1经过抛物线y＝ax2﹣2ax+3的顶点，并与该抛物线的另一交点为点B，∴﹣a+3＝k+1，解得：k＝2﹣a，∴y＝（2﹣a）x+1．联立得：y=(2−解得x=1y=−∴点B(设2a=m，则点B（m∴OB∵a＞0，∴m＞0，∴当m=25时，OB2∴2a=2中考模拟压轴练5参考答案与试题解析--针对安徽中考数学第10、14、22、23题17．正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF，交于点P，连接CP，当CP的值最小时，点P到AB的距离是（）A．455 B．2 C．25【分析】先证明△ABE≌△BCF（SAS），所以∠BAE＝∠CBF，所以∠APB＝90°，因此点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当点C，P，G在同一条直线上时，CP有最小值．所以CG=BC2+BG2=42+22=25，过点【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，如图，设AB的中点为G，当点C，P，G三点在同一条直线上时，CP有最小值．∵BC＝4，BG＝2，∴CG=过点P作PH⊥AB于点H，∴PH∥BC，∴△GHP△∽GBC，∴PHBC∴PH4∴PH=故选A．18．在平面直角坐标系中，反比例函数y=−12x(x＞0)与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（（1）m＝2，n＝﹣1；（2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是2+7≤k≤12−【分析】（1）把P（m，﹣6），Q（12，n）代入反比例函数解析式即可求得；（2）把P、Q分别代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数），求得k的值，根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数y=−∴﹣6m＝12n＝﹣12，解得m＝2，n＝﹣1，故答案为：2，﹣1；（2）∵二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2，∵Δ＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（1﹣k2）＝4＞0，∴抛物线y＝﹣x2+2kx+1