专题10图形的相似练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册 含答案

/专题10图形的相似（动点型）类型一动点定值问题1.如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E，F是线段AB上的两个动点，且∠EOF＝45°，过点E，F分别作x轴和y轴的垂线CE，DF相交于点P，垂足分别为C，D，设P点的坐标为（x，y），令xy＝k.（1）求证：△AOF∽△BEO；（2）当OC＝OD时，求k的值；（3）在点E，F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论.2.已知△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，连接BD.（1）如图1，当α＝60°时，连接CD，求∠ADC的度数；（2）如图2，连接CE，问BD∶CE的值是否为定值？若是，请说明理由并求出此值；（3）在旋转过程中，当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，求BD的长.3.在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F，E在边BC上，BF＝FE＝AG，且AG≤12AB，GF，DE的延长线相交于点P（1）如图1，当点E与点C重合时，求∠P的度数；（2）如图2，当点E与点C不重合时，问：（1）中∠P的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P的度数，若不变，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，作DN⊥GP于点N，连接CN，BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求证：MNNC为定值类型二动点最值问题4.如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点.（1）请找出图中与△CEB相似的三角形（只写答案，不需要写过程）；（2）若BEBC＝34，求EF（3）在（2）的条件下，点G，Q分别为DP，DE上的动点，若CP＝2.5，请求出GF＋GQ的最小值.5.如图1，在正方形ABCD中，点E是边AD上一动点，把△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接AF并延长，交CD于点G，过点C作CH⊥AF于点H.（1）求证：∠BFH＝∠BCH；（2）如图2，若点E是AD的中点，连接DF，CF，DH，求证：四边形DFCH是平行四边形；（3）点E在运动过程中，AHAG是否存在最大值？如果存在，请把它求出来；如果不存在，请说明理由6.如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE.（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由；（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD'E'（使∠ACD'＜180°），连接BE'，AD'，设AD'分别交BC，BE'于点O，F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝3，AC＝2，求BE'AD'的值及∠类型三动点存在性问题7.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2－18x＋72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB＝43OA（1）求点A、点C的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，动点E从点A出发沿AC方向运动，动点F从点C出发沿CB方向运动，点E，F同时出发，且速度均为1cm/s，设运动时间为ts（0＜t＜4）.过E作线段EP∥BC，且EP＝BC，连接EF，PF，解答下列问题：（1）当点F运动到BC的中点时，求CE的长；（2）连接PC，当△PFC的面积为1cm2时，求t的值；（3）是否存在某一时刻t，使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.答案：1.（1）证明：由题意得OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAF＝∠OBE＝45°.又∵∠AOF＝∠AOE＋∠EOF，∠BEO＝∠OAF＋∠AOE，∠EOF＝∠OAF＝45°，∴∠AOF＝∠BEO，∴△AOF∽△BEO.（2）解：如图，作OM⊥AB于M，则OM＝12AB＝2∵OC＝OD，OA＝OB＝1，∴CE＝DF.又∵∠OCE＝∠ODF，∴△OCE≌△ODF，∴OF＝OE，∴∠EOM＝12∠EOF又∠COE＝∠AOM－∠EOM＝45°－22.5°＝22.5°＝∠EOM，∴PC＝PD＝OC＝22，∴k＝PC×PD＝1（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，∵△AOF∽△BEO，∴AFOB＝OA∴AF×BE＝OA×OB＝1.∵BE＝2HE，AF＝2FK，∴2HE×2FK＝1，即HE×FK＝12∴PC×PD＝EH×FK＝12，∴k的值为定值12.解：（1）∵AB＝AD，∠BAD＝α＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝60°.∵CB＝CA，CD＝CD，∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠ADC＝∠BDC＝30°；∴∠ADC的度数为30°.（2）BD∶CE的值是定值，定值为85∵AB＝AD＝8，AC＝AE＝5，∴ABAC＝ADAE＝∵∠BAD＝∠CAE＝α，∴△BAD∽△CAE，∴BDCE＝ABAC＝∴BD∶CE的值是定值，这个定值为85（3）①如图1，∵BC＝AC＝AE，AE∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴CE＝AB＝8，由（2）可知：BDCE＝85，∴BD8解得BD＝645图1图2②如图2，若AE∥BC，连接BE，如图，∵BC＝AE＝AC，AE∥BC，∴四边形AEBC是菱形，∴OA＝OB，OC＝OE.∵AB＝8，∴OA＝OB＝4.∵AC＝5，∴OC＝AC2－OA由（2）可知：BDCE＝85，∴BD6＝85，∴综上所述，当B，C，A，E四点构成平行四边形时，BD的长是645或483.解：（1）∵EF＝BF＝AG，点E与点C重合，∴BF＝CF＝BG＝AG，∴∠BGF＝45°.∵AB∥CD，∴∠P＝∠BGF＝45°.（2）不变.理由如下：如图1所示，连接BD，取BD的中点O，连接OG，OF，OC.在正方形ABCD中，有OC＝OB，∠OCF＝∠OBG＝45°，又∵AG＝BF，∴BG＝CF，∴△OCF≌△OBG（SAS）.∴OG＝OF，∠COF＝∠BOG，∴∠GOF＝∠BOC＝90°，∴△GOF为等腰直角三角形.又∵点O，F分别是BD，BE的中点，∴OF∥DE，∴∠P＝∠OFG＝45°.图1图2（3）如图2所示，取DP中点Q，连接NQ，BD，MQ，由题意可得，△DNP为等腰直角三角形，∵点Q为DP中点，∴NQ⊥DP.设∠CDP＝α，则∠NDC＝45°＋α，∠BDP＝45°－α，∵点M，Q分别是BP，DP的中点，∴MQ∥BD，∴∠MQP＝∠BDP＝45°－α，∴∠NQM＝90°－（45°－α）＝45°＋α，∴∠NQM＝∠NDC.∵MQBD＝12，CDBD＝22，∴又∵△NQD为等腰直角三角形，∴NQND＝22，∴NQND＝MQ∴△NQM∽△NDC.∴MNNC＝NQND＝224.解：（1）△DEP和△DCP，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BEC＝∠DCE.∵DP⊥CE，点P为CE的中点，∴CD＝DE，∠DPE＝90°，∴∠DCE＝∠DEP，∴∠DPE＝∠B，∠DEP＝∠BEC，∴△DEP∽△CEB；∵DP⊥CE且点P是CE的中点，∴∠DPE＝∠DPC＝90°，PE＝PC，∴△DPE≌△DPC（SAS），∴△DCP∽△CEB；（2）如图1，延长AP交DC的延长线于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠H＝∠PAE.∵点P为CE的中点，∴PC＝PE，∴△PCH≌△PEA（AAS），∴CH＝AE，PH＝PA.∵BEBC＝34，设BE＝3k（k＞0），则BC＝AD＝4k，∠B＝90°，∴EC＝5∴PE＝PC＝12EC＝52∵△DEP∽△CEB，∴DE∶EC＝DP∶BC＝PE∶BE，即DE∶5k＝DP∶4k＝52k∶3k∴DE＝256k，DP＝103k，由（1）知：CD＝∴CD＝AB＝256k，∴AE＝CH＝AB－BE＝256k－3k＝7∴DH＝CD＋CH＝256k＋76k＝16∵AB∥DH，∴△AEF∽△HDF，∴EF∶DF＝AE∶DH＝76k∶163k＝（3）∵DP是线段CE的垂直平分线，∴直线DP是△DCE的对称轴，作点Q关于DP的对称点Q'，点Q'在DC上，且DQ'＝DQ，连接GQ，GQ'，GF，当F，G，Q'三点在同一条直线上，且FQ'⊥CD时，GF＋GQ＝GF＋GQ'＝FQ'最小，由（2）知：PE＝PC＝52k∵CP＝2.5，∴52k＝52，解得∴DE＝256k＝256，AE＝76k＝76，∵EF∶DF＝7∶32，∴DF＝3239DE＝3239×256∵FQ'⊥CD，∴∠DQ'F＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＋∠DQ'F＝180°，∴FQ'∥AD，∴△FDQ'∽△DEA，∴FQ'∶AD＝DF∶DE，即FQ'∶4＝400117∶256，∴FQ'＝∴GF＋GQ的最小值为128395.（1）证明：由折叠知，BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA.∵∠ABC＝∠CHA＝90°，∴∠BAH＋∠BCH＝180°.∵∠BFA＋∠BFH＝180°，∴∠BFH＝∠BCH.（2）证明：如图1，由折叠知，AE＝EF，AB＝BF，∴BE为AF的垂直平分线，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3.∵AB＝AD，∠BAE＝∠ADG＝90°，∴△BAE≌△ADG（ASA），∴AE＝DG，∵AE＝12AD＝12CD，∴DG＝1∴DG＝CG＝12CD∵AE＝EF，AE＝DE，∴AE＝EF＝DE，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6.∵∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠4＋∠5＝90°，∴∠DFG＝90°＝∠CHG.∵∠DGF＝∠CGH，DG＝CG，∴△DGF≌△CGH（AAS），∴CG＝DG，GF＝GH，∴四边形DFCH为平行四边形；（3）解：存在.如图2，作HN⊥CD于点N，则∠HNG＝∠ADG＝90°.又∵∠DGA＝∠NGH，∴△ADG∽△HNG，∴NHAD＝HG又∵AHAG＝AG＋HGAG＝1＋∴当NHAD取最大值时，AH又∵正方形AD边长一定，∴当NH取最大值时，AHAG最大，设正方形边长为2a连接AC，BD交于点O，连接OH，∵∠ADC＝∠AHC＝90°，OA＝OC＝OD＝OB，∴OH＝12AC＝OA＝OC＝OB＝OD，∴A，B，C，D，H都在以O为圆心，OA长为半径的圆上，则当点H为CD的中点时，HN最长，当点H为CD的中点时，则点N为CD∴ON＝CN＝DN＝12CD＝a又∵OC＝OA，AD2＝OC2＋OA2＝4a2，∴OC＝OA＝OH＝2a，∴NH＝（2－1）a，∴NHAD＝2－12，又1＋2∴AHAG的最大值为26.解：（1）猜想：AD＝BE.证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图所示，当△CDE旋转到该位置时，△BDE的面积最大，此时，DE边上的高为2＋32∴△BDE面积的最大值为12×1×2+32＝1+（3）∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CDCA＝CE∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到，∴CE'＝CE，CD'＝CD，∠DCE＝∠D'CE'＝60°，∴CD'CA＝CE'CB，∴又∵∠DCE＋∠BCD'＝∠D'CE'＋∠BCD'，即∠ACD'＝∠BCE'，∴△ACD'∽△BCE'，∴BE'AD'＝CBCA＝由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'＝∠CAF，∴∠BFA＝180°－（∠BAF＋∠ABF）＝180°－（∠BAF＋∠ABC＋∠FAC）＝180°－120°＝60°.7.解：（1）x2－18x＋72＝0即（x－12）（x－6）＝0，则x－12＝0，x－6＝0，解得x＝12或x＝6.又∵OA＞OC，∴OA＝12，OC＝6，∴点A的坐标是（12，0），点C的坐标是（－6，0）.（2）存在.∵OB＝43OA，∴OB＝43则点B的坐标是（0，16），∴AB＝OA2＋如图，作EF⊥x轴于点F，则△AEF∽△ABO，∴AFOA＝EFBO＝AEAB＝20－5∴AF12＝EF16＝∴AF＝9，EF＝12，则OF＝12－9＝3，则点E的坐标是（3，12）.∴CF＝3＋6＝9.又EF＝12，∴CE＝92设直线CD的表达式是y＝kx＋b，则－6解得k＝43，b=8，则直线CD当x＝0时，y＝43x＋8＝8，即OD∴CD＝OC2＋设P的坐标是（p，0），则PC＝p＋6.当△COD∽△CEP时，CDCP＝OC即10p+6＝615则点P的坐标是（19，0）.当△COD∽△CPE时，OCCP＝CDCE，则6p解得p＝3，则点P的坐标是（3，0）.综上，点P的坐标是（19，0）和（3，0）.8.解：