初中数学三角函数专题强化（选择）

三角函数专题强化(选择)一.选择题(共40小题)1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是()2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()3.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值，错误的是()4.在△ABC中，,则∠C的度数是()5.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1),则tana的值是()6.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S₁、S₂,则()能作为一个智慧三角形三边长的一组是()A.1,2,3B.1,1,√2C.1,1,√3D.1,2,√39.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是()10.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为()A.25:9B.5:315.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB,则sin∠AOB的值等于()17.如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=√3,P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于B.A.2B.320.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,则BC的长度为()21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AM则tanB的值为()22.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于0,OE⊥AC于0交BC于E,连接AE.若AB=1,23.如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A,B两点，P是AB上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sina)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sin则BC的长是()的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是()26.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),记它们的面积分别为SABCDA.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题28.在△ABC中，AB=5,BC=6,B为锐角且则∠C的正弦值等于()29.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC,小颖画的三角形面积记作S△DEF,那么你认为()小敏画的三角形小颖画的三角形30.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是()31.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S,S₂,则()32.如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且.AC上有一点E,满足AE:EC=2:3.那么,tan∠ADE是()34.一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等，36.如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()37.如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P则乙杯中的液面与图中点P的距离是()38.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽CD=12m,塔影长DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m,同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m,那么塔高AB39.一斜坡长为√10米，高度为1米，那么坡比为()40.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()三角函数专题强化(选择)一.选择题(共40小题)1.(如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是()【解答】解：过B点作BD⊥AC,如图，由勾股定理得，【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键.【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD,进而利用锐角三角函数关系得出答案.【解答】解：∵AC⊥BC,CD⊥AB,只有选项C错误，符合题意.【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键.4.在△ABC中，,则∠C的度数是()A.45°B.60°C.75°D.105°【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数.【解答】解：由题意，得,tanB=1,【点评】此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.5.如图，在平面直角坐标系中，直线OA【分析】设(2,1)点是B,作BC⊥x轴于点C,根据三角函数的定义即可求解.【解答】解：设(2,1)点是B,作BC⊥x轴于点C.则故选C.【点评】本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键.6.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S₁、S₂,则()【分析】过A点作AG⊥BC于G,过D点作DH⊥EF于H.在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG,在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH,根据三角形面积公式可得S,S₂,依此即可作出选择.【解答】解：过A点作AG⊥BC于G,过D点作DH⊥EF于H.【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形.7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是()A.1,2,3B.1,1,√2C.1,1,√3D.【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°,底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°,60°,30°的直角三角形，依此即可作出判定.【解答】解：A、∵1+2=3,不能构成三角形，故选项错误；B、∵1²+1²=(√2)2,是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高可知是顶角120°,底角30°的等腰三角形，故选项错误；的定义，故选项正确.【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念.8.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于()【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,故选B.【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边.9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是()法求解即可.【解答】解：∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,B、,故本选项错误.故选A.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键.10.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为()【分析】找出OB边上的格点C,连接AC,利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC,故选B.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.11.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是()【分析】作AC⊥OB于点C,利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解.【解答】解：作AC⊥OB于点C.【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.12.在Rt△ABC中，∠C=90°,则tanB的值为()【分析】根据题意作出直角△ABC,然后根据,设一条直角边BC为5x,斜边AB为13x,根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B.∴设BC=5x,AB=13x,故AA【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用.13.如图，△ABC与△A'B'C'都是等腰三角形，且AB=AC=5,A'B'=A'C'=3,若∠B+∠B′=90°,则△ABC与△A'B'C的面积比为()A.25:9B.5:3C.√5:√3D.5√5:3√3【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,∠B′=∠C',根据三角函数的定义得到AD=AB·sinB,【解答】解：过A作AD⊥BC于D,过A′作A'D'⊥B'C'于D',∴AD=AB·sinB,AD′=A'B故选A.【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式.14.计算sin²45°+cos30°·tan60°,其结果是()【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.【解答】解：原=2.故选：A.【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值.15.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB,则sin∠AOB的值等于()【分析】连接AB,先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论.【解答】解：连接AB,∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B,∴△AOB是等边三角形，【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键.【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长.【解答】解：当△ABC为钝角三角形时，如图1,当△ABC为锐角三角形时，如图2,故选D.图2【点评】本题考查了解直角三角形的知识，能从中整理出直角三角形是解答本题难点中等.17.如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=√3,P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于【分析】过0作OD⊥直线PA于D,在△OPD中，OP是定值，由,可知当OD取最大值时，∠OPA取最大值.【解答】解：过O作OD⊥直线PA于D∴当OD取最大值时，∠OPA取最大值故选B.【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是发现OA⊥PA时，∠OPA的值最大.【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°,∠BEC=72°,AE=BE=BC.再证明△BCE∽△ABC,根据相似三角形的性质列出比例式,求出AE,然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值.【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4,∠C=设AE=x,则BE=BC=x,EC=4即解得x=-2±2√5(负值舍去),故选C.【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中.证明△BCE∽△ABC是解题的关键.【分析】根据三角函数定义可得AD=AC·sin45°,从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长.【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数定义.20.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,则BC的长度为()【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB,然后利用勾股定理即可求解.【解答】解：∴设BC=4x,AB=5x,解得：x=2或x=-2(舍),故选：C.【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键.21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AM是BC边上的中线，则tanB的值为【分析】在直角三角形ACM中，利用锐角三角函数定义表示出sin∠CAM,由已知sin∠CAM的值，设CM=3x,得到AM=5x,根据勾股定理求出AC=4x,由M为BC的中点，得到BC=2CM,表示出BC,在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB,将表示出的AC与BC代入即可求出值.【解答】解：在Rt△ACM中，又M为BC的中点，故选B【点评】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.22.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于0,OE⊥AC于0交BC于E,【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，再证明△COE∽△CBA,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求得AE的长.【解答】解：在直角△ABC中，BC=AD=√3,AB=1故选C.【点评】本题主要考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质.正确求得OE的长是解题的关键.23.如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A,B两点，P是AB上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sina)B.(cosα,cosα)C.(cosa,sinα)D.(sin【分析】过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ,即可确定出P的坐标.【解答】解：过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,则P的坐标为(cosa,sina),故选C.【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.则BC的长是()的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD,再利用即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长.【解答】解：∵∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,故选A.【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD,进而用CD表示出BD是解决问题的关键.25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是()【分析】根据及特殊角的三角函数值解题即可.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=8,即【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握.26.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),记它们的面积分别为SABCDA.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题【分析】①由已知先求出sin∠EDF,再求出tan∠EDF,确定是否真假命题.②由已知根据矩形、菱形的性质用面积法得出结论.【解答】解：①设CF=x,DF=y,BC=h,则由已知菱形BFDE,BF=DF=y由已知得：由已知所以①是真命题.②已知菱形BFDE,∴DF=DE又DE²=BD·EF(已知),∴②是真命题.故选：A.【点评】此题考查的知识点是解直角三角形、矩形的性质及菱形的性质，解题的关键是①先求出∠EDF的正弦确定其度数，再求出其正切.②用面积法确定.27.Rt△ABC中，∠C=90°,,BC=5,【分析】先利用∠A的正切计算出AC,然后利用勾股定理计算AB.【解答】解：∵∠C=90°,故选D.【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.28.在△ABC中，AB=5,BC=6,B为锐角且,则∠C的正弦值等于()【分析】过点A作AD⊥BC,根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD,根据勾股定理得出AC,再由三角函数的定义得出答案即可.【解答】解：过点A作AD⊥BC,故选C.【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键.29.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△小敏画的三角形小颖画的三角形【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可.【解答】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC,DH⊥EF,垂足分别为G、H,小敏画的三角形小颖画的三角形在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°,故选C.【点评】考查解直角三角形的知识和等底等高两三角形面积相等.30.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是()出AD=BC=x,AE=DE=AB=√3x,作EM⊥AD于M,由等腰三角形的性质得出在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果.【解答】解：如图所示：设BC=x,辅助线求出AM是解决问题的关键.【分析】作AM⊥BC于M,DN⊥EF于N,如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°,利用于是可判断S₁=S₂.【解答】解：作AM⊥BC于M,DN⊥EF于N,如图，故选D.【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了三角形面积公式.32.如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且AC上有一点E,满足AE:EC=2:3.那么,tan∠ADE是()【分析】作EF//CD,利用锐角三角函数的概念和两直线平行对应边成比例求∠ADE的正切值.【解答】解：如图.作EF//CD交AD于F点.∵【点评】此题考查等腰三角形的性质及三角函数的定义.【分析】连接AD,由△ABC中，AB=AC=13,BC=10,D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC,再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD,然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD,于是tan∠BDE=tan∠BAD.【解答】解：连接AD,【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质.此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.34.一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等，的值等于()【分析】根据余弦定理，求出最小角的余弦值，建立相等关系，解方程即可.【解答】解：余弦定理：a,a,b中最小内角为边b所对，b,b,a中最小内角为边b所对，解方程得：故选B.ba【点评】本题的关键是根据余弦定理，利用两三角形中有一个等角，建立等式，解方程求值.35.已知菱形ABCD的对角线AC=6cm,BD=8cm,则sin∠ABC=()【分析】根据菱形的性质“对角线互相垂直平分，且平分一组对角”得直角三角形，运用锐角三角函数的定义解答.【解答】解：作DE⊥AB于E点，∵在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,AC⊥BD,故选A.【点评】本题利用了菱形的性质和锐角三角函数的定义、勾股定理，比较简单.36.如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC,再相减即可求得BC【解答】解：如图，延长OD,BC交于点P.故选：D.【点评】本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念.37.如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是()A.2cmB.4√3cm【分析】首先根据液体