初中数学添加辅助线基础方法及突破专题训练

作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切(外切，内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，(在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键，是添与二条平行线都相交的等第三条直线。(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时，往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时，可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时，可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边，则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形进行证明，当有中点没有中位线时，则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点，则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线，得三角形中位线基本图形。(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段，位于一组对顶角两边且成一直线时，可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形：相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线(8)特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1:1:√2;30度角直角三角形三边比为1:2:√3进行证明(9)半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一方法1:有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方方法2:含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题(1)连对角线或平移对角线：(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归(1)在梯形内部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形内平移两腰(4)延长两腰(5)过梯形上底的两端点向下底作高(6)平移对角线(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。(9)作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析(1)见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联(2)见直径作圆周角(3)见切线作半径(4)两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的(5)两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又一.解答题(共40小题)相切于点D,E.(2)设AC=x,⊙O的半径为y,求y与x的函数关系式.交CA的延长线于点F.(1)求证：FE⊥AB;3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作◎(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；①求⊙O的半径；②设⊙0与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)4.已知△ABC内接于◎O,过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种):或者·(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B,那么EF是◎O的切线吗?试证明你的判8.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD(1)求证：AE=BD;(2)求证：MN//AB.9.自选题：若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB'连接BB'.求证：BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.10.如图，在△ABC中，AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.(1)求证：EF⊥AD;11.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明；(2)若D在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗?若不成立，又存在怎样的关系?请说明理由.CC12.如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A,B,已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°,新开发区B到公路MN的距离BC=3千米.(1)新开发区A到公路MN的距离为;(2)现要在MN上某点P处向新开发区A,B修两条公路PA,PB,使点P到新开发区A,B的距离之和最短.此时PA+PB=(千米).13.在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：即由此推出勾股定理a²+b²=c²,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规yCyC(1)请你用图(Ⅱ)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证(x+y)²=x²+2xy+y²;(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：(x+p)(x+q)=x²+px+qx+pq=x²+(p+q)x+pq.14.据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三，股四，弦五”.过.计并根据你发现的规律，分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式；的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示他们的股和弦.15.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解决下列问题：②猜想：PA²,PB²,PQ²三者之间的数量关系为;的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；(3)若动点P满,求的值.(提示：请利用备用图进行探求)16.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边，当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形；当a²+b²≠c²时，利用代数式a²+b²和c²的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为三角形.(2)猜想，当a²+b².c²时，△ABC为锐角三角形；当a²+b²_c²时，△ABC为钝角三角形.(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<a<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然CBCCB19.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证：AF+EF=DE;(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<a<60°,其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变，如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.20.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使得到图③,请解答下列问题：图4②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件,使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.22.已知四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.23.(本题有3小题，第(1)小题为必答题，满分5分；第(2)、(3)小题为选答题，其中，第(2)小题满分3分，第(3)小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第(2)小题评分.)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明.图3注意：第(2)、(3)小题你选答的是第2小题.24.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是;②设△BDC的面积为S₁,△AEC的面积为S₂,则S₁与S₂的数量关系是_·(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE//AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上EEBB27.如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD,在底边AB上截AE=CD.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由.问结论①是否仍然成立?请说明理由.CC30.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A'CD'.(2)若∠ACB=30°,试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABCD'是菱形，并请说明理由.31.在△ABC中，∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点，连接AC.于点F,且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF.32.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点M是AE的中点.(2)如图2,若点D在△ABC的内部，连接BD,(3)如图3,将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=图1图2图333.在等边△ABC中，(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧，且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P,Q运动的过程中，始终有PA=PM,小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形；想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).作CH⊥AB,垂足为H.②请猜想三条线段DE,AD,CH之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图b,当∠ACB=120°时，三条线段DE,AD,CH之间存在怎样的数量关系?请证明你的结论.图a图图a35.如图，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AC=AD.36.如图，已知△ABC,按如下①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证：△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.37.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.(2)若AB+CD=2√3+2,求AB.度数.∠C之间的数量关系吗?并说明理由.40.在△ABC中，AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE,旋转角为a(0°(1)如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值.温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.A一.解答题(共40小题)1.如图，在△ABC中，∠C=90°,AC+BC=8,点O是斜边AB上一点，以O为圆心的◎0分别与AC,BC相切于点D,E.(2)设AC=x,⊙O的半径为y,【分析】(1)连接OD,OE,由△ABC是直角三角形，以O为圆心的⊙O分别与AC,BC相切于点D,E,可知OD//BC,在△ADO中，解得半径.(2)由题意可知，OD//BC,∠AOD=∠B,则两角正切值相等，进而列出关系式.【解答】解：(1)连接OE,OD,在△ABC中，∠C=90°,AC+BC=8,∵以O为圆心的⊙0分别与AC,BC相切于点D,E,,解得∴圆的半径在直角三角形ABC中，∵以O为圆心的⊙0分别与AC,BC相切于点D,E,∴四边形OECD是正方形.解得解得【点评】本题主要考查切线的性质和解三角形的相关知识点，不是很难.交CA的延长线于点F.(1)求证：FE⊥AB;【分析】(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°,根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案.【解答】(1)证明：连接AD、OD,又∵AB=AC,【点评】本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；①求⊙O的半径；所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)【分析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD//AC,(2)①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2O推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可；D=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值；②根据【解答】解：(1)直线BC与⊙O相切；∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,又∵直线BC过半径OD的外端，在Rt△ACB中，∠B=30°,∴所求图形面积【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力.4.已知△ABC内接于◎O,过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B,那么EF是◎O的切线吗?试证明你的判【分析】(1)求出∠BAE=90°,再根据切线的判定定理推出即可；(2)作直径AM,连接CM,根据圆周角定理求出∠M=∠B,∠ACM=90°,求出∠MAC+∠CAE=90°,再根据切线的判定推出即可.【解答】解：(1)①∠BAE=90°,②∠EAC=∠ABC,理由是：①∵∠BAE=90°,②∵AB是直径，(2)EF是◎O的切线.证明：作直径AM,连接CM,【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线.5.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连接BE、AD交于点P.求证：(3)易证得△ABD一△BCE与△BPD∴·【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意数形结合思想的应用.6.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙0交BC于点D,在劣弧AD上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于点G,交⊙0于H.(1)求证：AC⊥BH;(2)若∠ABC=45°,◎O的直径等于10,BD=8,求CE的长.【分析】(1)连接AD,由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC,∠ADC=90°,再根据直角三角形的性质即可得出结论；(2)由∠BDA=180°-∠ADC=90°,∠ABC=45°可求出∠BAD=45°,利用勾股定理即可得出DC的长，进而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长.【解答】(1)证明：连接AD,(2)解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°,∠ABC=45°,【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.7.如图，AB是⊙0的直径，AC=CD,∠COD=60°.(1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由；【分析】(1)由等弧所对的圆心角相等推知∠1=∠COD=60°;然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径知OA=OC,从而证得△AOC是等边三角形；(2)证法一：利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC//BD;证法二：通过证明同位角∠1=∠B,推知OC//BD.【解答】解：(1)△AOC是等边三角形...(1分)∴∠1=∠COD=60°...(3分)∵OA=OC(◎O的半径),∴△AOC是等边三角形；...(5分)(2)证法一：∵AC=CD,∴OCLAD...(7分)又∵AB是⊙O的直径，证法二：∵AC-CD,又...(7分)...(9分)..(10分)【点评】本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定以及平行线的判定.在证明△AOC是等边三角形时，利用了等边三角形的内角是60°的性质，8.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,(1)求证：AE=BD;第29页共81页(2)求证：MN//AB.(2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三点共线可(2)∵由(1)得，△ACE≌△DCB,∴△MCN为等边三角形，【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△DCB,△ACM≌△DCN是解答此题的关键.9.自选题：若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为_2√3;(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB'连接BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.【分析】(1)由题意可得△ABP∽△BCP,所以PB²=PA·PC,即PB=2√3;(2)在BB'上取点P,使∠BPC=120°,连接AP,再在PB'上截取PE=PC,连接CE.为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°,而△ACB'为正三角形，由此也可以得到AC=BC,∠ACB'=60°,现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE,然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论.【解答】解：(1)∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°,∴P为△ABC的费马点.度数.别交直线AB,AC于E,F,连接EF.(1)求证：EF⊥AD;(2)若DE//AC,且DE=1,求AD的长.第32页共81页长了.又AD=AD,∴AD是EF的垂直平分线.(2)解：∵DE//AC,由(1)得EA=FA,∴四边形EAFD是正方形.【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点.本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键.11.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明；(2)若D在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗?若不成立，又存在怎样的关系?请说明理由.【分析】(1)连接AD,根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；(2)类似(1)的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系.即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积-三角形ACD的面积.【解答】解：(1)DE+DF=CG.证明：连接AD,(2)当点D在BC延长线上时，(1)中的结论不成立，但有DE-DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时，则有DF-DE=CG,说明方法同上.【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用.12.如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A,B,已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°,新开发区B到公路MN的距离BC=3千米.(1)新开发区A到公路MN的距离为8(2)现要在MN上某点P处向新开发区A,B修两条公路PA,PB,使点P到新开发区A,B的距离之和最短.此时PA+PB=14(千米).【分析】(1)先求出OB的长，从而得出OA的长，再根据三角函数求得到公路的距离.(2)根据切线的性质得EF=CD=BC=3,AF=AE+EF=AE+BC=11,再根据余弦概念求解.【解答】解：(1)∵BC=3,∠AOC=30°,即新开发区A到公路的距离为8千米；(2)过D作DF⊥AE的延长线(点D是点B关于MN的对称点),垂足为F.则EF=CD=BC=3,AF=AE+EF=AE+BC=11,∴PA+PB=PA+PD=AD=14(千米).【点评】此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力.13.在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：由此推出勾股定理a²+b²=c²,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规Xyy(1)请你用图(IⅡ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等);(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证(x+y)²=x²+2xy+y²;(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：(x+p)(x+q)=x²+px+qx+pq=x²+(p+q)x+pq.【分析】(1)根据阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=4个直角三角形的面积，即可证明；(2)可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；(3)可以拼成一个长、宽分别是x+p和x+q的长方形，它由边长是x的正方形，长宽分别是x和p,x和q,p和q组成的图形.【解答】解：(1)大正方形的面积为：c²,中间空白部分正方形面积为：(b-a)²;四个阴影部分直角三角形面积和为：由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：(2)如图示：大正方形边长为(x+y)所以面积为：(x+y)²,它的面积也等于两个边长分别为x,y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x²+2xy+y²所以有：(x+y)²=x²+2xy+y²成立；(3)如图示：大矩形的长、宽分别为(x+p),(x+q),则其面积为：(x+p)·(x+q),从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：x²+px+qx+pq,则有：(x+p)(x+q)=x²+px+qx+pq=x²+(p+【点评】注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法.14.据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得(1)观察：3,4,5;5,12,13;7,24,25;.…,发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断并根据你发现的规律，分别写出能表示7,24,(2)根据(1)的规律，用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;.…,可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示他们的股和弦.【分析】(1)根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；(2)股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一.【解答】解：(1)∴7,24,25的股的算式弦的算式;(4分)例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股²=弦2(9分)证明关系式①:弦-或证明关系式②:(n²+1)²=弦2猜想得证；(12分)(3)例如探索得，当m为偶数且m>4时，股、弦的代数式分别为：.(14分)另加分问题，例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股.即上一组为：n,)(n为奇数且【点评】注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式.15.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解决下列问题：②猜想：PA²,PB²,PQ²三者之间的数量关系为PA²+PB²=PQ²;的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；(3)若动点P满求的值.(提示：请利用备用图进行探求)【分析】(1)①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB,垂足为D,从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB,从而可求得：CD=AD=DB,然后根据AP=DC-PD,证明AP²+BP²=2PC²,因为在Rt△PCQ中，PQ²=2CP²,所以可得出AP²+BP²=PQ²的结论；(3)根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长(用含有CD的式子表示),然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可.【解答】解：(1)如图①:①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+√3∴△PBQ为直角三角形.②如图1.∵AP²=(AD-PD)²=(DC-PD)²=DC²-2(2)如图②:过点C作CD⊥AB,垂足为D.PB²=(DP-BD)²=(PD-DC)²=DC²-2DC(3)如图③:过点C作CD⊥AB,垂足为D.①当点P位于点P₁处时.②当点P位于点P₂处时.【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质证得：CD=AD=DB,将PA、PA、PQ、AC、PC用含≠c²时，利用代数式a²+b²和c²的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形.(2)猜想，当a²+b²>c²时，△ABC为锐角三角形；当a²+b²c²时，△ABC为钝角三角形.(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.【分析】(1)利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；(2)根据(1)中的计算作出判断即可；(3)根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解.【解答】解：(1)两直角边分别为6、8时，斜边=√6²+g²=10,∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；当a²+b²<c²时，△ABC为钝角三角形；故答案为：>;<;(3)∵c为最长边，2+4=6,∴当4≤c<2√5时，这个三角形是锐角三角形；∴当c=2√5时，这个三角形是直角三角形；∴当2√5<c<6时，这个三角形是钝角三角形.【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键.17.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=21,AD=9.【分析】把△ADC沿AC翻折得△AEC,作CF⊥AB于点F.根据轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，分别求得CF和AF的长，根据勾股定理求得AC的长即可.【解答】解：∵AC平分∠BAD,∴把△ADC沿AC翻折得△AEC,在Rt△BFC(或Rt△EFC)中，由勾股定理得CF=8.在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=17.∴AC的长为17.【点评】此题要巧妙构造辅助线，综合运用了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理.18.(1)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<a<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然C【分析】(1)①BD=CE,BD⊥CE.角形的对应边相等证得BD=CE、BB根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三对应角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF;②BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF,再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°;(2)根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)时，该结论成立了，所以本条件中【解答】解：(1)①结论：BD=CE,BD⊥CE;②结论：BD=CE,BD⊥CE...1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°(2)结论：乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°.….2分【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质.SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL,因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS),因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线(或高、角平分线)分别对应相等的两个三角形也全等.(1)求证：AF+EF=DE;为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之并说明理由.图1图2图1(2)解题思路和辅助线的作法与(1)完全一样；(3)同(1)得CF=EF,由△ABC≌△DBE,可得AC=DE,AF=AC+FC=DE+EF.【解答】(1)证明：连接BF(如图①),在Rt△BFC和Rt△BFE中，∴(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立；(3)不成立.在Rt△BCF和Rt△BEF中，图2【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键.20.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使得到图③,请解答下列问题：图2图2ABA图3(1)若AB=AC,请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是;②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系(2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法，得到图④,请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.【分析】(1)①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB,所以BD=CE;②根据题意可知∠CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD≌△CAE,在△ABM和△ACN中，(2)直接类比(1)中结果可知AM=k·AN,∠MAN=∠BAC.【解答】解：(1)①BD=CE;在△BAD和△CAE中∵.∵ABAB图4【点评】本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.21.CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠a+∠BCA=180°,使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).【分析】由题意推出∠CBE=∠ACF,再由AAS定理证△BCE≌△CAF,继而得答案.【解答】解：(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°.证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠a.又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,证明过程：【点评】本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等，相似的综合应22.已知四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.MM【分析】根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF,从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE=∠CBF=30°,△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF.【解答】解：∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,∴△BEF为等边三角形；图2成立，图3不成立.证明图2.则△BAE≌△BCK,图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF.【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS,SAS,AAS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用.23.(本题有3小题，第(1)小题为必答题，满分5分；第(2)、(3)小题为选答题，其中，第(2)小题满分3分，第(3)小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第(2)小题评分.)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明.N图3注意：第(2)、(3)小题你选答的是第2小题.第54页共81页(2)根据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB,由此可证DE=AD-BE;(3)当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等).结论.24.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE//AC;(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE//AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上【分析】(1)①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3)过点D作DF₁//BE,求出四边形BEDF₁是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF₁,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F₁为所求的点，过点D作DF₂⊥BD,求出∠F₁DF₂=60°,从而得到△DF₁F₂是等边三角形，然后求出DF₁=DF₂,再求出∠CDF₁=∠CDF₂,利用“边角边”证明△CDF₁和△CDF₂全等，根据全等三角形的面积相等可得点F₂也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解.【解答】解：(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),(3)如图，过点D作DF₁//BE,易求四边形BEDF₁是菱形，∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点，ZCDF₂=360°-150°-60°∵在△CDF₁和△CDF₂中，∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点，DE//AB,CC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个.25.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC,求证：AC是∠DAB的平分线.【分析】利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论.【解答】证明：∵AB//CD,即AC是∠DAB的角平分线.【点评】本题考查了梯形的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质，难度较小，是一道不错的证明题.26.如图，在梯形ABCD中，AB//DC,∠BCD=90°,且AB=1(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状，并证明你的结【分析】(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,可得四边形ABCM是矩形，根据矩形的对边相等求出AM=2,再根据tan∠ADC=2求出DM=1,然后求出CD=2,从而得证；(2)利用“边角边”证明△DEC和△BFC全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF,全等三角形对应角相等可得∠ECD=∠BCF,然后求出∠ECF=90°,从而判断出是等腰直角三角形.【解答】(1)证明：过A作DC的垂线AM交DC于M,则四边形ABCM是矩形，(2)解：△ECF是等腰直角三角形.理由如下：∵在△DEC和△BFC中，即△ECF为等腰直角三角形.【点评】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，解直角三角形，准确识图确定出全等三角形是解题的关键.27.如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD,在底边AB上截AE=CD.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由.【分析】(1)根据四边形ABCD是梯形得到AB//DC,从而得到∠DCA=∠EAC,利用EC平分∠BAD,得到∠BAC=∠DAC,从而∠DAC=∠DCA,所以AD=CD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形AECD(2)利用若点E是AB的中点，得到AE=BE,根据CE=AE,得到CE=BE,从而得到△ABC为直角三角【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，∴四边形AECD是平行四边形.∴四边形AECD是菱形；(2)解：∵若点E是AB的中点，∴△ABC为直角三角形.【点评】本题考查了梯形的性质及菱形的判定，解题的关键是熟知梯形的性质，并理解其基本辅助线的作28.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于E,AE=1.【分析】如图，过A作AF⊥BC垂足为F,把梯形的问题转化到直角三角形中；然后再利用∠C=60°这个条件根据直角三角形的性质解题.【解答】解：∵AD//BC,作AF⊥BC垂足为F,∴梯形ABCD的高为√3.【点评】此题考查了梯形的常用辅助线，也考查了直角三角形的性质：在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半.问结论①是否仍然成立?请说明理由.你的结论.CCCC【分析】(1)先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC,DMC,DBC都是同底，而由于AB//DC,因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A,M,B分别作BC的垂线AE,MN,BF,AE//MN//BF,由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此三个三角形同底因此结论①是成立的.(2)本题可以利用AM=MB,让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等(等底同高),因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积.根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系.【解答】解：(1)当AB和CD不平行时，结论①仍然成立.∴四边形AEFB是梯形.BB【点评】本题主要考查了梯形中位线定理的应用，根据中位线或中点得出三角形的底相等或高成比例是解题的关键.30.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A'C′D'.(1)证明△A'AD′≌△CC'B;(2)若∠ACB=30°,试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABCD′是菱形，并请说明理由.【分析】(1)根据已知利用SAS判定△A'AD'≌△CC′B;(2)由已知可推出四边形ABCD'是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC'D'是菱形，由已知可得到从而得到AB=BC',所以四边形ABC'D'是菱形.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，(2)解：当点C'是线段AC的中点时，四边形ABC'′D′是菱形.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，△A'CD'由△ACD平移得到，∴四边形ABC'D′是平行四边形.在Rt△ABC中，点C'是线段AC的中点，∴四边形ABC'D'是菱形.【点评】本题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握.考查了学生综合运用数学的能力.31.在△ABC中，∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点，连接AC.于点F,且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF.【分析】(1)先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2,再由勾股定理可得AC的长；【解答】解：(1)∵∠ABM=45°,AM⊥BM, 所以BD=BG=CE,因此∠BDG=∠G=∠E.【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.32.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,,DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点M是AE的中点.(2)如图2,若点D在△ABC的内部，连接BD,点N是BD中点，连接MN,NE,MN,探的值并直接写出结果.图1图2图3【分析】(1)先证明△ACE是直角三角形，根据求出AE即可解决问题.(2)如图2中，如图2中，延长EN至F使NF=NE,连接AF、BF,先证明△DNE≌△BNF,再证明△ABF≌△ACE,推出∠FAB=∠EAC,可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°,由此即可解决问题.(3)如图3中，延长DM到G使得MG=MD,连接AG、BG,延长AG、EC交于点F,先证明△ABG≌△CAE,得到BG=AE,设BC=2a,在RT△AEF中求出AE,根据中位线定理由此即可解决问题.【解答】解：(1)如图1中，连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形，(2)如图2中，延长EN至F使NF=NE,连接AF、BF.在△DNE和△BNF中，=180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠D(3)如图3中，延长DM到G使得MG=MD,连接AG、BG,延长AG、EC交于点F.第70页共81页图2(1)如图1,P,Q是BC边上的两点，AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数；(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧，且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形；想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…直线AC的对称点为M,得到