2025高考数学上海卷真题试卷+参考答案

2025高考数学上海卷练习题试卷+参考答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，若$f(x)$在$x=1$处的切线斜率为$k$，则$k=$

A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.若复数$z$满足$|z1|=|z+i|$，则$z$在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设$a$，$b$是方程$x^2+2x+1=0$的两个根，则$a^2+b^2=$

A.$1$B.$2$C.$4$D.$8$

4.若直线$y=2x+1$与圆$(x1)^2+(y+2)^2=16$相交于$A$，$B$两点，线段$AB$的中点坐标为

A.$(1,0)$B.$(2,1)$C.$(0,2)$D.$(1,1)$

5.一个等差数列的前5项和为$35$，第5项与第10项的差为$3$，则该数列的首项和公差分别为

A.$7$，$1$B.$7$，$1$C.$5$，$1$D.$5$，$1$

6.设函数$f(x)=x^36x^2+9x+1$，若$f(x)$在$x=3$处取得极值，则该极值为

A.$0$B.$1$C.$4$D.$7$

7.若函数$g(x)=x^2+bx+c$的图像与$x$轴相切，且顶点坐标为$(1,4)$，则$b=$

A.$2$B.$4$C.$2$D.$4$

8.已知三角形$ABC$的三个内角$A$，$B$，$C$满足$A+B+C=\pi$，且$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$，则$\cosA=$

A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{8}$D.$\frac{3}{8}$

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数$h(x)=\ln(x1)$，则$h'(x)=$

10.若函数$y=f(x)$的图像关于点$(2,3)$对称，则$f(1)=$

11.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n1$，则该数列的前10项和为$

12.在三角形$ABC$中，$BC=6$，$AC=8$，$AB=10$，则$\cosA=$

13.设$f(x)=x^33x^2+4$，若$f(x)$在$x=2$处取得极值，则该极值为

14.若函数$y=2x^33x^2+x+1$的图像在$x=1$处的切线方程为$

三、解答题（共30分）

15.（10分）已知函数$f(x)=x^2+2ax+a^22$，求实数$a$的取值范围，使得$f(x)$在区间$(\infty,1)$上单调递减。

16.（10分）在直角坐标系$xOy$中，已知点$A(2,1)$，$B(4,1)$，$C$为直线$y=2x5$上的动点，求$\triangleABC$面积的最大值。

17.（10分）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+n$，求证：数列$\{a_n\}$是等差数列，并求出其通项公式。

参考答案：

1.B

2.C

3.B

4.A

5.A

6.C

7.A

8.D

9.$\frac{1}{x1}$

10.2

11.90

12.$\frac{4}{5}$

13.3

14.$y=5$

15.解：由题意，$f(x)$在区间$(\infty,1)$上单调递减，即$f'(x)\leq0$。求导得$f'(x)=2x+2a$，要使$f'(x)\leq0$，则有$2x+2a\leq0$，即$x\leqa$。由于$x\in(\infty,1)$，所以$a\geq1$，即$a\leq1$。因此，实数$a$的取值范围为$a\leq1$。

16.解：设直线$BC$的方程为$y=kx+b$，则点$C$的坐标为$(\frac{b+5}{2k},b+5)$。由于$C$在直线$y=2x5$上，所以$b+5=2(\frac{b+5}{2k})5$，解得$k=2$，$b=1$。因此，直线$BC$的方程为$y=2x1$。点$A$到直线$BC$的距离为$d=\frac{|22111|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。$\triangleABC$的面积$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}BCd$。当$BC$最短时，$S_{\triangleABC}$取得最大值。由于$B$，$C$都在直线$y=2x5$上，$BC$最短时，$B$，$C$分别在直线$y=2x5$的两侧，即$BC$垂直于直线$y=2x5$。此时，$BC$的长度为$\sqrt{(42)^2+(1+1)^2}=2$。因此，$S_{\triangleABC}$的最大值为$\frac{1}{2}2\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。

17.证明：