第15讲：任意角和弧度制及任意角的三角函数（知识梳理+解题总结）（教师版）

【第15讲：任意角和弧度制及任意角的三角函数】【新高考课程标准要求】1.了解任意角的概念：明确角是平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，理解正角、负角和零角的定义。掌握终边相同的角的集合表示，即所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合。同时，能判断象限角和轴线角。2.了解弧度制概念并能进行弧度与角度的互化：理解1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，掌握弧度制的定义。熟练运用角度与弧度的换算公式，如rad，rad，rad，体会引入弧度制对于简化运算和解决相关几何问题的必要性。3.借助单位圆理解任意角三角函数的定义：若任意角的终边与单位圆交于点，则，，。能运用此定义求任意角的三角函数值，判断三角函数值在各象限内的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，并能解决与三角函数定义相关的综合问题。总览总览题型梳理【知识梳理】1.角的推广（任意角）1.定义（动态视角） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 旋转开始的射线叫做始边，旋转结束的射线叫做终边，端点仍为顶点。2.正角、负角与零角 正角：按逆时针方向旋转形成的角（如30°、400°）。 负角：按顺时针方向旋转形成的角（如-30°、-390°）。 零角：射线未作旋转（始边与终边重合），度数为0°。3.终边相同的角 定义：具有相同始边和终边的角（旋转方向或圈数不同，但终边位置一致）。 表示：与角α终边相同的角的集合为（k为整数）。 示例：30°、390°（30°+360°）、-330°（30°-360°）终边相同。4.象限角 背景：将角的顶点与平面直角坐标系原点重合，始边与x轴正半轴重合。 定义：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角；若终边落在坐标轴上，则不属于任何象限（称为“轴线角”）。 范围（k∈Z）： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角：二.弧度制一、弧度制的定义1.基本概念在单位圆（半径为1的圆）中，弧长等于半径的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，用符号“rad”表示（通常可省略）。 示例：单位圆中，弧长为1的弧对应的圆心角是1rad；弧长为2的弧对应的圆心角是2rad。二、弧度与角度的换算1.核心关系 整个圆周的弧长为（r为半径），对应圆心角为360°。 在单位圆（r=1）中，圆周角对应的弧长为，因此： 2.换算公式 角度转弧度： 弧度转角度：3.常用换算表|角度|30°|45°|60°|90°|180°|270°|360°||------|-----|-----|-----|-----|------|------|------||弧度||||||||三、弧度制下的弧长与扇形面积公式1.弧长公式设圆的半径为r，圆心角为（弧度制），则该角所对的弧长为：（推导：单位圆中对应的弧长为，半径为r时按比例放大为）2.扇形面积公式设扇形的半径为r，圆心角为（弧度制），则扇形面积为：（推导：扇形面积是圆面积的倍，即）3.任意角的三角函数1.坐标定义（重点）设角终边上一点，到原点距离为，则： （）2.单位圆定义（简化与图像关联）当（单位圆上点）时： ，，（）二、定义域与值域（高频考点）|函数|定义域（弧度制）|值域||------------|---------------------------------|----------------------|||||||||||||三、符号规律（解题关键）由角终边所在象限决定（，符号由、正负确定）：|象限|（）|（）|（）||------|-----------------------|-----------------------|-----------------------||一|+|+|+||二|+|-|-||三|-|-|+||四|-|+|-|记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。题型题型分类知识讲解与常考题型【课前自测】1．已知，，则的终边一定不在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】C【分析】先由题设条件得到为第三象限角，并用代数式表示角，进而用代数式表示出即可判断.【详解】因为，，则为第三象限角，即，，故，，即的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限.故选：C.2．角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（

）A．，第一象限 B．，第一象限C．，第二象限 D．，第二象限【答案】D【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可.【详解】因为，且，因为为第二象限角，故为第二象限角，故选：D.3．已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（

）A．3 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根据弧长公式及扇形公式计算求解.【详解】设扇形的半径为，，所以，所以，所以该扇形的面积．故选：B．4．已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，则角=．【答案】或【分析】先根据任意角的定义写出满足的条件，然后结合的范围求角即可．【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为，由题意，，则，注意到，则只有符合题意，故或．故答案为：或．5．已知角终边经过点，求角的六个三角函数值．【答案】，【分析】由代入计算即可.【详解】因为，所以，所以，，．【课堂突破*关键能力】【考点一：角及其表示】一、单选题1．角的终边与的终边关于轴对称，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可.【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称，所以.故选：D.2．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可.【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为，阴影部分终边在第四象限角的集合为，故终边在阴影部分的角的集合为，故选：B.3．下列命题：①第四象限的角可表示为；②第二象限角大于第一象限角；③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为；④若是第二象限角，则的终边在第一象限．其中真命题的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据象限角的定义可判断①，举反例可判断②④，根据任意角的定义可判断③.【详解】对于①，第四象限的角可表示为，故①错误，对于②，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，故②错误，对于③，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为，故③正确，对于④，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；故④错误，所以真命题的个数为1，故选：B.4．下列说法正确的是（）A．两个角的终边相同，则它们的大小相等B．若角为第二象限角，则是第四象限角C．第一象限角都是锐角D．终边在直线上的角的集合是【答案】D【分析】通过举反例即可判断选项A，C；根据角与角终边的对称性即可判断选项B；写出终边在直线上的角的集合即可判断选项D.【详解】角与角的终边相同，但它们的大小不相等，故选项A不正确；因为角与角的终边关于轴对称，所以当角为第二象限角时，角是第三象限角，故选项B不正确；第一象限角不都是锐角，比如角为第一象限角，但它不是锐角，故选项C不正确；若终边在直线上的角在第二象限，则集合是；若终边在直线上的角在第四象限，则集合是，综上，终边在直线上的角的集合是，故选项D正确.故选：D.5．若为第四象限角，且，则为第象限角.【答案】四【分析】由为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限.【详解】为第四象限角，，，则，.所以为第二、四象限角又，则为第四象限角.故答案为：四【解题感悟】一、象限角的判定方法1.范围法 将角化为（）或（），根据的范围（如第一象限等）判断。2.符号法 利用三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦。根据的正负反推象限。二、确定角终边位置的方法1.终边相同角的集合 角度制： 弧度制：，通过基准角（或）确定位置。2.特殊角直接记 轴线角（如终边在轴正半轴：）和常见特殊角的终边位置直接记忆。【考点二：弧度制及其应用】【例题精选】1.已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R．(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；(3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【答案】(1)；(2)；(3),.【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可；（2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可；（3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可.【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为，则该扇形的面积为；（2）设扇形圆心角的弧度为，则该扇形的弧长为，所以有，解方程得（舍去）或，所以扇形圆心角的弧度数为；（3）设扇形圆心角的弧度为，则，则扇形的周长为，当且仅当时，周长可取得最小值，此时，故此时扇形的圆心角.【解题策略】一、用弧度制解决扇形弧长与面积的方法1.核心公式（圆心角为弧度，半径为） 弧长公式：（取绝对值，因长度非负） 扇形面积公式： 直接用圆心角： 结合弧长：（与三角形面积公式类似，可类比记忆）2.步骤 确定已知量（如半径、圆心角或弧长），统一单位为弧度（若给出角度，先换算：）代入对应公式计算（优先选含已知量的公式，减少换算）。二、注意事项1.单位一致性：公式仅适用于圆心角为弧度制的情况，若用角度需先换算，否则结果错误（如误将角度代入）。2.圆心角的取值范围：扇形中圆心角需满足（超出时需取等效的小角，如等效于，但弧长和面积需按实际旋转角度计算）。3.绝对值的必要性：圆心角可正可负（表示旋转方向），但弧长和面积为非负数，需加绝对值。4.公式选择技巧：已知半径和圆心角用、；已知半径和弧长用更简便。【针对训练】1．已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（

）A．3 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根据弧长公式及扇形公式计算求解.【详解】设扇形的半径为，，所以，所以，所以该扇形的面积．故选：B．2.在北纬纬线上有甲、乙两地，它们在纬线上的弧长为是地球半径，求甲、乙两地的球面距离．【答案】【分析】设甲、乙两地分别对应点、，地球的中心为，先求出北纬60°圈所在圆的半径，再求、两地在北纬60°圈上对应的圆心角，得到线段的长，求得，利用弧长公式求这两地的球面距离.【详解】设甲、乙两地分别对应点、，设是、两地在北纬60°圈上对应的圆心角，则，北纬60°圈的半径为：，依题意，，得，所以是北纬60°圈的一条直径，可得，设地球的中心为，易得，因此，甲、乙两地的球面距离是.3.扇形的圆心角为，弦长为，试求弧长.【答案】【分析】由已知扇形的圆心角，弦长，可得半径，利用弧长公式即可得出【详解】画出图形，如图所示.，设半径为.则由，，.故答案为：.3.如图，已知扇形的周长为，当扇形的圆心角为多大时，它的面积达到最大值？【答案】2【分析】设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，再结合基本不等式从而可求出面积的最大值．【详解】由题意知，，，当且仅当，即，时，达最大值，此时．当扇形的圆心角时，它的面积达到最大值.【考点三:三角函数的定义】【角度1：三角函数定义及其应用】【例题1】（1）已知第二象限角的终边上的点横坐标与纵坐标之比是.求的值；（2）已知第四象限角的终边上的点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值；（3）已知，求使其成立的的集合.【答案】；；【分析】（1）由题意有，利用同角三角函数的基本关系即可求解；（2）由已知有，利用同角三角函数的基本关系即可求解；（3）利用余弦线即可求解.【详解】（1）设，则有，即，所以，又为第二象限角，所以，，所以，（2）设，则有，由为第四象限角，所以，即，所以，所以；（3）由，得或，由得，所以原不等式的解集为

【针对训练】1.角的终边落在射线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的定义即可求解.【详解】由题意在角终边上取一点，则，，故选：A.2.已知点是角终边上的一点，且，则的值为（

）A．2 B． C．或2 D．或【答案】D【分析】由三角函数的定义计算可得；【详解】由三角函数定义可得，解得，所以的值为或.故选：D.3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则.【答案】【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.【详解】因为是角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得.故答案为：.【解题策略】利用三角函数的定义求三角函数值，核心是基于角终边上任意一点（非原点），结合该点到原点的距离，通过定义式、、（）计算，具体两种方法如下：1.已知终边上一点坐标（）直接计算 步骤： 1.由点求出； 2.代入定义式：、、（）。 示例：若角终边过点，则，故，，。2.已知终边所在直线（或象限），取特殊点计算 适用场景：仅知角的终边在某条直线（如）或某个象限，未给出具体点。 步骤： 1.在终边上任取一特殊点（如含整数坐标的点，简化计算），确定的符号（根据象限判断）； 2.计算，再代入定义式求解。 示例：角终边在直线且在第二象限，取点，则，故，，。两种方法的本质均是通过终边上点的坐标与距离的比值计算，核心是确定的数值及符号。【角度2：三角函数值的符号判定】【例题1】点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据2弧度和4弧度角所在的象限，判断点的坐标的正负，即可判断选项.【详解】2弧度的角在第二象限，所以，4弧度的角在第三象限，所以，所以点在第三象限.故选：C【针对训练】1.已知是第四象限的角，则点在第象限．【答案】二【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可.【详解】因为是第四象限的角，所以，故点在第二象限.故答案为：二2.已知，则可能为（

）A．第一或二象限角 B．第二或三象限角C．第一或三象限角 D．第三或四象限角【答案】A【分析】根据题意得与的符号，利用三角函数的概念即可判断角所在的象限.【详解】因为，所以或，所以可能为第一象限角或第二象限角．故选：A．3.若，则的终边在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上【答案】B【分析】由已知得出的终边在第四象限，再求出的范围得出结果.【详解】因为，所以的终边在第四象限，即，则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限；故选：B【解题策略】三角函数值的符号判定可通过象限规律和坐标轴位置快速确定，核心是依据三角函数定义（，，，其中），由终边上点的坐标符号推导：一、按象限判定（“一全正，二正弦，三正切，四余弦”） 第一象限（）：，，（全正）。 第二象限（）：（仅正弦正），，。 第三象限（）：（仅正切正），，。 第四象限（）：（仅余弦正），，。二、按终边在坐标轴上判定（轴线角） 终边在轴正半轴：，，。 终边在轴负半轴：，，。 终边在轴正半轴：，，不存在。 终边在轴负半轴：，，不存在。总结：先确定角的终边所在象限或坐标轴，再根据对应象限的符号（或坐标轴上的值），结合三角函数定义判断符号。课后针对训练课后针对训练一、单选题1．点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A．-6 B． C． D．3．下列各角中，与角终边相同的角为（

）A． B． C． D．4．下列命题中，真命题为（

）A．若点为角终边上一点，则B．同时满足的角有且只有一个C．的解集为D．如果角满足那么角是第二象限的角5．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．6．下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角7．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知集合，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．终边在直线上角的集合是B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为10．下列说法正确的是（

）A．的值是．B．若角的终边上一点的坐标为，则．C．经过4小时时针转了．D．若角与终边关于轴对称，则，．三、填空题11．若，则的大小关系为．12．设角终边上一点，，则的值为.13．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为．14．已知扇形的弧长是，面积是，则该扇形的圆心角（弧度制）大小=.四、解答题15．已知扇形的面积为，当扇形的圆心角为多大时，它的周长达到最小值？参考答案题号12345678910答案CDBCABDBACDAB1．C【分析】根据弧度制与象限角的知识，判断与的正负，进而确定点所在的象限.【详解】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角.根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以.根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以.在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限，因为点中，，所以点在第三象限.即点在平面直角坐标系中位于第三象限.故选：.2．D【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案.【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则，所以.故选：D.3．B【分析】判断两角是否相差整数倍即可.【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误；对于B，，所以与角终边相同，故B正确；对于C，，所以与角终边不相同，故C错误；对于D，，所以与角终边不相同，故D错误.故选：B.4．C【分析】由正弦函数的定义及的正负即可判断A；由已知得出即可判断B；由正切值求得角即可判断C；根据象限角的定义即可判断D．【详解】对于A，点为角终边上一点，若，则，若，，故A错误；对于B，同时满足的角为，故B错误；对于C，的解集为，故C正确；对于D，如果角满足，那么角是第三象限的角，故D错误；故选：C．5．A【分析】利用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解母线长，最后利用侧面积公式即可得到答案.【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，则，因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，所以，即，所以.则该圆锥的侧面积为故选：A.6．B【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断.【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误；对于选项B：若是钝角，则，可得，所以是第一象限角，故B正确；对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误；对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误；故选：B.7．D【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解.【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对