7-7 常系数齐次线性微分方程_第1页
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常系数第七节齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程二阶变系数齐次线性微分方程标准形式将y

erx代入方程y

py

qy

0得

分析

考虑到当y

,y

,y为同类函数时

有可能使y

py

qy

恒等于零

通解的求法由此可见

只要r满足代数方程r2

pr

q

0

函数y

erx

就是微分方程的解

特征方程特征根而函数erx具有这种性质

所以猜想erx是方程的解

二、二阶常系数齐次线性微分方程(r2

pr

q)erx

0

导数的阶数做r的指数特征方程的根(ⅰ)当方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(ⅱ)当特征方程有两相等实根则微分方程有一个特解r2

pr

q

0特征方程时,时,另一特解为（常数变异法）,(u(x)待定).是特征方程的重根取u=x,得因此原方程的通解为代入原微分方程方程有一个特解(ⅱ)当时,利用解的叠加原理,因此原方程的通解为方程有解：欧拉公式得原方程线性无关特解:(1)解特征方程r2+pr+q=0

求y

+py

+qy=0的通解的步骤:(2)由特征根写出通解.因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3

求微分方程解：所给方程的特征方程为其根为,故所求通解为的通解.三、n阶常系数齐次线性微分方程标准形式：y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pn

y

0,其中p1

p2

pn

1

pn都是常数

如果r是多项式的根

则y

erx是微分方程的解

分析

令y

erx

(rn

p1rn

1

p2rn

2

pn

1r

pn)erx=0rn

p1rn

1

p2rn

2

pn

1r

pn=0特征方程特征根代入原方程特征方程的根特征根微分方程通解中的对应项单重实根r例.解:

特征方程:特征根:原方程通解:解:特征方程特征根:因此原方程通解为

则方程通解:p361=0=0P361例7.解:特征方程:即其根为方程通解:内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为

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