5-1 定积分概念与性质

5.1定积分的概念及性质矩形面积梯形面积由连续曲线

所围成的图形称为曲边梯形.

1.曲边梯形的面积一、定积分问题举例

底×高观察与思考

在曲边梯形内摆满小的矩形,

怎样求曲边梯形的面积？当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?1)分割在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点

将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;在第i

个窄曲边梯形上任取

解决过程：2)近似替代3)求和4)取极限令则曲边梯形面积

…大化小常代变近似和取极限

2变速直线运动的距离.匀速直线运动的路程:速度是时间t的连续函数分析:变速直线运动：..内运动的路程s在时间间隔?则得第i

个小区间上物体经过的路程为1)分割：2)近似替代：3)求和.4)取极限.解决过程：

…

大化小常代变近似和取极限上述两个问题的共性:

解决问题的思想方法步骤相同:“分割，近似替代，求和,取极限.”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限曲边梯形的面积变速直线运动的距离分，匀，和，精大化小，常代变，近似和，取极限分匀和精1.定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点.把[a,b]分成n

个小区间.在每个小区间[xi-1,xi]上任意取一点

i

，作乘积并作和二、定积分的定义记如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间[xi-1,xi]上点

i

怎样选取，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I

为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，只要当

0时，I=分割求和

取极限积分上限积分下限积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,积分变量可以任意更改定积分是一个极限值,注：

函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积

被积函数被积表达式积分变量两个任意性：①分割区间[a,b]的任意性.对积分区间可以进行特殊划分

可以取小区间上的特殊点.==2.可积的条件设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积.简单地说就是：连续一定可积.定理1中的连续这一条件可以减弱，这就是下面的定理。设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积.定理1

定理2

速度是时间t的连续函数,变速直线运动：内运动的路程在时间间隔

由连续曲线

所围成的曲边梯形的面积

速度的定积分是路程定积分的物理意义3.定积分的几何意义定积分表示定积分表示曲边梯形面积的负值等于x

轴上方部分的曲边梯形面积减去x

轴下方部分的曲边梯形面积.曲边梯形的面积x=a,x=b,y=0,y=f(x)围成的3.定积分的几何意义例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取则四、定积分的性质补充规定：(1)

当a=b

时，(2)

当a>b

时，三、定积分的近似计算（选学）定积分加负号等价于积分区间倒置性质1（线性性质）证明性质1推论1：函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。（线性性质）推论2：被积函数的常数因子可以提到积分符号外。证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是(定积分的区间可加性)性质2当a,b,c

的相对位置任意时,例如性质3证因f(x)≡1，所以(区间长度的可度量性)

推论

所以(保号性)性质4若在区间[a，b]上f(x)≥0，则∵∴又∵∴证性质4若在区间[a，b]上f(x)≥0，则推论1如果在区间[a，b]上，则证

由性质1，有(保序性)

(单调性)(保号性)性质4若在区间[a，b]上f(x)≥0，则推论1如果在区间[a，b]上，则(保序性)

(单调性)(保号性)证:即推论2.绝对值不等式的积分形式证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质5(估值定理)证由闭区间上连续函数的介值定理知性质6积分中值公式使即(定积分中值定理)性质6积分中值公式(定积分中值定理)曲边梯形的面积=某矩形的面积

积分中值公式的几何解释：性质6积分中值公式(定积分中值定理)

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因说明:内容小结1.定积分的