2-2 函数的求导法则

第二节

函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理1如果u=u(x)及v=v(x)都在点x

处可导，(1)

[u(x)

v(x)]=u(x)v(x)；则它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点x

处可导，且(2)

[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)

v(x)；(3)两个函数和差的导数等于他们导数的和差两个函数积的导数：两个函数商的导数：积中因子逐个求导，依次相加这些法则可简记为(u

v)=u

v

推广(u

+v-w)=u+v-w

(u

v)=u

v+uv

v=C(Cu)=Cu(C

为常数)(u

v)=u

v+uv

推广(uvw)=u

vw

+uv

w

+uvw

u=1例1

y=2x3

–5x2

+3x–7

,求y

.例3

y=ex

(sinx+

cosx),求y

.解

y

=(ex)

(sinx

+cosx)+ex(sinx

+cosx)

=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.例4解同理可得公式例5解同理可得

公式即：y是x的函数，求y关于x的导数x是y的函数，求x关于y的导数u是t的函数，求u关于t的导数y=3x=3u=t3=3t2反解：y=f(x)求反函数的过程：直接函数(本义)反函数x=f(y)y=f-1(x)

二、反函数的求导法则定理2

如果函数x=f(y)在区间Iy

单调、可导且f

(y)0，则它的反函数y=f

-1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y

Iy}内也可导，且或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6.求函数解:则类似可得的导数.

即公式

为函数类似可得解：的反函数。例7.求函数的导数。即公式解：则特别当时,例8.

求函数的导数。即：公式引例

设

解

思考y

=

(1–x2)1000

求导数,还能展开再求导数吗？三、复合函数的求导法则如果函数u=g(x)在点x

可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x

可导且其导数为或定理3

复合函数求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导链式法则，链导公式yux由外到内，逐层求导引例

例9解函数看成复合而成，因此

函数

解

例10例11解复合函数求导，可以不必写出中间变量.

由外到内，逐层求导例12复合函数求导，可以不必写出中间变量

三、复合函数的求导法则如果函数u=g(x)在点x

可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x

可导且其导数为或定理3

复合函数求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导链式法则，链导公式yux由外到内，逐层求导

设y=f(u),u=

(v),v=

(x)，则复合函数y=f{

[

(x)]}的链导公式为yuvx推广

例13解

所给函数可分解为由链式法则

复合函数求导，可以不必写出中间变量

例14

解

四、基本求导法则与导数公式

1.基本初等函数的导数公式(1)(C)

0

(2)(xm)

m

xm

1

(3)(sinx)

cosx

(4)(cosx)

sinx

(5)(tanx)

sec2x

(6)(cotx)

csc2x

(7)(secx)

secx

tan

x

(8)(csc

x)

csc

x

cot

x

(9)(a

x)

a

xlna

(10)(e

x)

ex

2.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)均可导,则(1)(u

v)

=u

v

;(2)(uv)

=u

v

+uv

;(3)(C

u)

=Cu

;

3.反函数的导数定理2即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.4.复合函数的求导法则设y=f(u),u=g(x),且f(u),g(x)均可导,则复合函数y=f(g(x))的导数为链式法则，链导公式由外到内，逐层求导

例15

y

sin

nx

sinn

x(n为常数)

求y

nsinn

1x

ncosnx

sinnx+nsinn

1x

cosx

(sinx)

n

sinn

1x+sinnx

sinnx

ncosnx+sinnx

(sinn

x)

(sinnx)

sinn

x解

y

sinnxsin(n+1)x

例16