1-1 映射与函数（高数预备知识）

《高等数学》的特点《高等数学》的学习要求内容多，难度高预读课本----认真听课----细写笔记----刻苦练习细写笔记：课堂笔记，课后笔记学会自学1.1映射与函数一、集合(1)定义组成这个集合的事物称为该集合的元素.(3)符号(4)表示

列举法

描述法(5)常用集合具有某种特定性质的事物的总体称为集合.1.集合概念(2)有限集和无限集不含任何元素的集合称为空集,规定空集为任何集合的子集.(6)关系子集(包含),相等,(6)空集A∪B={x|x

A或x

B}2.集合的运算

并,

交,(1)基本运算A∩B={x|x

A且x

B}

补,差,

ABIA\B={x|x

A且x

B}A\BIAB3.区间开区间

(a,b):(1)有限区间闭区间

[a,b]:半开区间

[a,b):半开区间

(a,b]:(2)无限区间(3)邻域点a的邻域U(a):以点a为中心的任何开区间.点a的δ邻域U(a,δ):U(a,δ)的实质:U(a,δ)=(a–δ,a+δ

).点a的左δ

邻域:(a–δ,a

).点a的右δ

邻域:(a,a+

δ).(P26)

1.映射的概念定义

设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X

到Y

的映射,记作二、映射元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.射f

的定义域

;Y

的子集称为f

的值域

.集合X

称为映记作Df

,即Df=X

，乘以2RR12:x24:yfyx……14-112-2R开方

yx……14-112-2R平方

1.映射的概念定义

设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X

到Y

的映射,记作二、映射对每个，元素y的原像不一定是唯一的；③对应法则f①集合X:定义域注意：构成一个映射必须具备以下三个要素一个条件：对每个，元素x的像y是唯一的；②集合Y:值域的范围xyf(x)=x2-224原像原像像O例1

设f:RR，对每个xR，f(x)=x2.

f是一个映射，显然，值域Rf={y|y

0}，值域Rf

是R的一个真子集．对于Rf

中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的．y=4的原像就有x=2,x=-2两个．f的定义域Df=R，例2

设X={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|1},与之对应．f:X

Y，显然f是一个映射，定义域Df=X

，值域Rf=Y

．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆上的点投影到x

轴上的区间[-1,1]上．11(x,y)x(x,-y)xy-1-1O则对每个(x,y)

X，有唯一确定的(x,0)

Y例3

设f(x)=sinx

．则f是一个映射，定义域值域Rf=[-1,1]．对每个xyf(x)=sinx-11O

若映射f

既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).若对X

中任意两个不同元元素x1≠x2，它们的像f(x1)≠f(x2)

，则称f为X到Y

的单射；例1设f:R→R,对每个x∈R,f(x)=

x2

例2

f:X→Y，X={(x,y)|x2+y2=1}，Y={(x,0)||x|≤

1}，

2.映射的分类非单射，非满射非单射，满射双射X(数集或点集

)说明在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)f称为X

上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的函数映射又称为算子.名称.例如,3.逆映射定义

设f是X

到Y

的单射，则由定义，对每个y有唯一确定的适合f(x)=y.于是，我们可定义一个从Rf

到X

的新映射g，即对每个y

Rf,规定g(y)=x,其中x

满足

f(x)=y.

则称映射g

为f的逆映射，记作f-1,其定义域值域求底数为2的幂12:x24:y24:y12:x求以2为底的对数RR3.逆映射定义

设f是X

到Y

的单射，则由定义，对每个y有唯一确定的适合f(x)=y.于是，我们可定义一个从Rf

到X

的新映射g，即对每个y

Rf,规定g(y)=x,其中x

满足

f(x)=y.

则称映射g

为f的逆映射，记作f-1,其定义域值域

y=f(x)=sinx

定义

设有两个映射其中Y1

Y2,则由映射g

和f

可以定义一个从X

到Z的对应法则，它将每个x

X

映成f[g(x)]Z.这个法则确定了一个从X

到Z的映射，称之为映射g

和f

构成的复合映射，即记作注意(1)

映射g

和f能构成复合映射的条件是：Rg

Df.(2)

映射g

和f构成复合映射是有顺序的，有意义时，可能没意义，即使它们同时都有意义，但不一定表示同一映射．4.复合映射XY1Y2Z定义

设有两个映射其中Y1

Y2,则由映射g

和f

可以定义一个从X

到Z的对应法则，它将每个x

X

映成f[g(x)]Z.这个法则确定了一个从X

到Z的映射，称之为映射g

和f

构成的复合映射，即记作

4.复合映射1.函数的概念三、函数定义

设数集合D

R，则称映射f:DR为定义在D

上的函数，通常简记为y=f(x),x

D,其中x

称为自变量，y

称为因变量，D

称为定义域，记作Df

，即Df

＝D．函数值f(x)的全体所构成的集合称函数f

的值域，记作Rf=f(D)={y|y=f(x),x

D

}．注：构成函数的要素：定义域D及对应法则f．说明(1)定义域对于抽象函数（即无具体实际背景），其定义域是指使表达式有意义的全体实数的集合，称为自然定义域.自然定义域可以省略．对于有实际背景的函数，在写书时必须写出定义域．例如，对于函数f(x)=x2

，它的自然定义域为(-,+)，如果它表示正方形的面积则其定义域为(0,+)．(2)函数的表示法函数的表示法有三种：表格法、图形法和解析法．用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集C={P(x,y)

|y=f(x),x

D

}称为函数y=f(x),x

D

的图形．Oxy(x,y)RfDy=f(x)xy做函数图形的基本方法？描点法例５函数

y=2yxo1y=2定义域值域常数函数y=C2例6

绝对值函数yxo1-11y=|x|定义域值域例７符号函数yxo1－1定义域值域y=[x]其中[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1

4321

-1-3xyo阶梯曲线例8

取整函数定义域值域例9

xyo21y=f(x)分段函数定义域值域有时一个函数要用几个式子表示．对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数．注：用几个式子来表示一个函数，不是几个函数这种在自变量的不同变化范围中，2.函数的几种特性(1)有界性定义

说明

有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念．结论：

函数

(x)在X上有界的充分必要条件是

常用的有界函数

它在X上既有上界又有下界。

比如，y=1/x

在(1,+

)有界，在(0,1)内无界(无上界,但有下界).

(2)函数的单调性xyo定义

单调增加xyo注意函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对性概念．

(x1)<

(x2)(或

(x1)>

(x2))(或单调减少).

(3)函数的奇偶性偶函数yxox-x定义

则称f(x)

为偶函数

奇函数yxox-x

f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))(或奇函数).

(4)函数的周期性通常说周期函数的周期是指其最小正周期;设函数f(x)的定义域为D，若存在一个正数l，定义

恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期．xyoxf(x)x+lf(x+l)说明

并非每个周期函数都有最小正周期．如狄利克雷(Dirichlet)函数。

例10

狄利克雷(Dirichlet)函数容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r

都是它的周期．因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期．《高等数学》预备知识反函数函数的定义两个变量构成函数关系的本质：定义

设数集合D

R，则称映射f:DR为定义在D

上的函数，通常简记为y=f(x),x

D,DR第一个变量成为自变量，第二个变量称为因变量（函数）。第一个变量的任一个值按照对应法则对应于第二个变量的唯一值。本义反函数的自变量是y,因变量是x乘以2RR12:x24:yy=2x24:y12:xRR除以2新函数：(本义反函数)反函数：改写为：(矫正反函数)

(矫正)反函数：直接函数：xyyx原函数:原函数也称为直接函数自变量是y,因变量是xfy=2x

(本义反函数)反函数本义反函数的自变量是y,因变量是x(矫正)反函数：直接函数：xyyx

反函数的定义：14y-112-2xy=x2函数y=x2（x∈R）在定义域内没有反函数……xy……14-112-2RR注：并非所有的函数都有反函数！什么样的函数有反函数：构成函数的映射必须是双射(一一映射)f:D→f(D)是单射，函数则它存在逆映射f-1:f(D)

→D

，称此逆映射f-1为函数f的反函数，x=f-1(y)如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y)就表示x是自变量y的函数。习惯上,一般用x表示自变量,用y表示函数,为此，常常改写x=f-1(y)中的字母x,y，(矫正)反函数：直接函数：xyyxy=f(x)x=f-1(y)

y=f

-1(x)(矫正)反函数的定义域就是直接函数的值域

反函数的定义：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C.从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).这样的函数x=φ(y)叫做函数y=f(x)的反函数(本义反函数)，记作x=f-1(y),即：

x=φ(y)=f-1(y)在函数式x=f-1(y)中，y表示自变量，x表示函数。得到：y=f-1(x).

矫正反函数

(矫正)反函数的值域就是直接函数的定义域直接函数本意反函数矫正反函数如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y)就表示x是自变量y的函数。但在习惯上，一般用x表示自变量，用y表示函数，为此，常常改写x=f-1(y)中的字母x,y，y=f(x)x=f-1(y)

y=f

-1(x)反函数的定义：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C.从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).这样的函数x=φ(y)叫做函数y=f(x)的反函数(本义反函数)，记作x=f-1(y),即：

x=φ(y)=f-1(y)在函数式x=f-1(y)中，y表示自变量，x表示函数。得到：y=f-1(x).

矫正反函数反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程注：反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程y=f(x)(x∈A)x=(y∈C)反解用y

把x

表示出来如果…那么…判断x=

(y∈C)改写字母x

，y

矫正y=

(x∈C)1、反解：y=f(x)4、写定义域：写出反函数的定义域.3、矫正：x、y改写，

得y=f-1(x)求反函数的步骤：2、判断：

(a,b)求函数y=x3(x∈R)的反函数,画出原函数和它的反函数的图象.解：xy111、反解：3、矫正：2、判断：

反函数：原函数：xyyx(b,a)直接函数和其（矫正）反函数的图形关于直线y=x对称，反函数：直接函数：xyyx若两个函数的图形关于直线y=x对称，则它们互为反函数.结论：

直接函数y=f(x)三角函数的拓展《高等数学》预备知识()

定义

设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P

(x，y)，它与原点的距离是r有关角的余切、正割、余割的问题转化为这个角的正切，余弦，正弦同角三角函数基本关系式平方关系商数关系倒数关系

()

定义

设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P

(x，y)，它与原点的距离是r角α的每一个值确定惟一的比值正弦、余弦，正切、余切，正割、余割，可以看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，统称三角函数．结论正弦函数:余弦函数:正切函数:余割函数:正割函数:余切函数:实数

三角函数的图像y=sinxy=cscx

π2π三角函数的图像y=sinxy=cscx

（-∞，-1]∪[1，+∞）y=cosxy=secx

三角函数的图像

（-∞，-1]∪[1，+∞）y=tanx三角函数的图像

y=tanx三角函数的图像y=cotx

y=cotx三角函数的图像

反三角函数《高等数学》预备知识-1xyo-2

-

234······

正弦函数一个正弦函数值会对应许多角,

正弦函数任意一个正弦函数值对应唯一的一个角，1正弦函数在定义域内没有反函数。

arcsiny表示一、反正弦函数定义：正弦函数的反函数称为反正弦函数，记作

习惯记作

(矫正反函数)

(本义反函数)

反正弦的特殊值

21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-1反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-1反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：(1)定义域:[-1，1]。(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数，(4)单调性:是增函数。有界性：有界函数xyo-2

-

234······1-1一个余弦函数值会对应许多角，

余弦函数

余弦函数一个余弦函数值对应唯一的一个角，余弦函数在定义域内没有反函数。在区间[0,π]上余弦函数有反函数

习惯记作(矫正反函数)二、反余弦函数定义：余弦函数的反函数称为反余弦函数，记作(本义反函数)

arccosy表示

反余弦的特殊值

54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234πy=cosx,x∈[0，π]y∈[-1，1]y=arccosx,x∈[-1，1]y∈[0，π]-11反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图象与性质(1)定义域：[-1，1]。(2)值域:[0，π]。(3)奇偶性:非奇非偶函数(4)单调性:是减函数。有界性：有界函数

正切函数一个正切函数值对应唯一的一个角，有反函数。

正切函数一个正切函数值会对应许多角,没有反函数

习惯记作(矫正反函数)

三、反正切函数

反正切函数，记作

(本义反函数)

反正切的特殊值y=arctanx,x∈R反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质(1)定义域R(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数(4)单调性:是增函数

有界性：有界函数

余切函数，一个余切函数值会对应许多角，没有反函数y=cotx

π

余切函数,一个余切函数值对应唯一的一个角，有反函数y=cotx

四、反余切函数定义：余切函数的反函数称为

反余切的特殊值

反余切函数y=arccotx,x∈R的图象与性质(1)定义域R(2)值域:(3)奇偶性:有界性：有界函数

非奇非偶函数是减函数。

(4)单调性:常数函数幂函数对数函数指数函数三角函数反三角函数

基本初等函数函数的四则运算

设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1，D2

D=D1∩D2≠∅

，可以定义这两个函数的下列运算：

基本初等函数经过加减乘除四则运算而得到的函数称为简单函数

内层函数外层函数函数的复合

复合函数注意:

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;

定义：

复合函数

复合函数定义：定义：复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.复合分解

分解复合函数的分解：由外到内，逐层分解

分解

复合函数的生成：由内外内，逐层代入指出下列函数的复合过程.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)复合函数的分解：由外到内，逐层分解常数函数幂函数对数函数指数函数三角函数反三角函数

基本初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称