1-5-极限的运算法则

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则1.5极限运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.两个无穷小的和证:设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.有限个无穷小的和(差)仍为无穷小.

是无穷小.(差)是无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.例8.求解:利用定理2可知定理3

如果lim

f(x)

A

lim

g(x)B

那么(1)lim[f(x)

g(x)](2)lim[f(x)

g(x)]二、极限的四则运算法则两个函数和差积商的极限等于极限的和差积商。

注：前提条件：两个函数极限都存在，（分母的极限不能为0）

limf(x)limg(x)A

B

limf(x)limg(x)A

B

证：因此有界设无穷小由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,

所以

推论2

如果lim

f(x)存在

而n是正整数

则

lim[f(x)]n定理3

如果lim

f(x)

A

lim

g(x)B

那么(1)lim[f(x)

g(x)]

lim

f(x)lim

g(x)A

B

(2)lim[f(x)

g(x)]

lim

f(x)

lim

g(x)A

B

二、极限的四则运算法则有限个函数和差积的极限等于极限的和差积推论1

如果lim

f(x)存在

而c为常数

则常数因子可以提到极限符号外面函数n次幂的极限等于极限的n次幂

lim[c

f(x)]

[limf(x)]n

climf(x)例2

求解

例1

求解

极限求法：原式代入法小结:极限求法：代入法，分母极限不为0的分式求极限,多项式求极限,适用于：2.求例3

求解

1-5:1极限求法：

极限类型=约去零因子(x-3)称为零因子例4

求根据无穷大与无穷小的关系得

1-5:2∵∴极限求法：分母极限为0分子极限为常数C≠0

取倒数解:

x=1时分母=0,分子≠0,归纳

有理分式函数的极限当时

当且时

当Q(x0)

P(x0)0时极限求法：极限求法：极限求法：将分子分母的公因式(x

x0)约去

代入法取倒数约去零因子设：解

先用x3去除分子及分母

然后取极限例6.求例7

求解

因为

所以求解过程：x→∞时分子分母同除以变量的最高次方极限求法：

极限类型原式抓大头求解过程：

例5.求×

一般有如下结果：为非负常数)讨论

有理分式函数的极限极限求法：抓大头

对于数列有下面类似的极限运算法则：数列是一种特殊的函数,由定理3.定理4（函数极限的保序性）定理5ABAB定理6

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0

的某去心邻域内有定义，

若三、复合函数的极限运算法则且存在

0>0，当时，有g(x)

u0,则内层，外层函数都有极限，换元同时换变量趋向换元法求极限g(x)

u0

定理6

设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0

的某去心邻域内有义，

若三、复合函数的极限运算法则且存在

0>0，当时，有g(x)

u0,则注：例

求解是由与复合而成的因为所以，例.求解:则令∴原式四、内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th6五、课后练习习题1—51--3课后作业习题1—51（7），（8），（9）2.（1），（2）3.（1），（2）要求：写在一张A4纸上第一行写上姓名.班级.学号思考及练习1.是否存在?为什么?答:

不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问2.无限个无穷小之和是否是无穷小例

.

求解