2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编-排列与组合（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——排列与组合（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．现有3张相同的电影票要分给11位学生，每位学生至多分得1张，则不同的分法种数为（）A．120 B．135 C．165 D．1802．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（）A．36种 B．48种 C．72种 D．108种3．设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“x1+x2+x3+x4+x5＝1”的元素个数为（）A．15 B．35 C．40 D．454．某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（）A．20种 B．36种 C．24种 D．18种5．某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（）A．150种 B．240种 C．180种 D．120种6．学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种7．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿．全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营．小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（）A．19 B．20 C．90 D．2008．设（a1，a2，a3，a4，a5）是3，4，5，6，7的一个排列．若（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0对一切i∈{1，2，3}恒成立，则称该排列为“起伏排列”．则该起伏排列个数有（）A．32 B．24 C．20 D．36二．多选题（共4小题）（多选）9．下列结论正确的是（）A．Anm=nAn-1m-1(m，B．满足方程C16x2-x=C165x-5的x值可能为C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种（多选）10．下列等式正确的是（）A．AmB．n!n(n-1)C．(n+1)AD．1（多选）11．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有540种分法 B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法 C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法 D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法（多选）12．下列是组合问题的是（）A．10人相互通一次电话，共通多少次电话？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？三．填空题（共4小题）13．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程．要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有种．14．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有种．15．一天课程表中，8节课要安排4门不同的理科课程，4门不同的文科课程，要使文、理科课程间隔排列，不同的排课方法有种．16．从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作a，b，c，d，若a+b和c+d的奇偶性相同，则a，b，c，d的取法共有种（用数字作答）．四．解答题（共4小题）17．将1，2，3，4，⋯，10这十个数字按着某一顺序排成一行，使得每相邻三个数的和都不超过n．问：（1）当n＝10时，能否排成？请说明理由；（2）当能够排成时，n的最小值为多少？18．（1）计算：A（2）求导：f（x）＝2x﹣sinx+log3x+2cosx+2x（3）求导：f(x)=xln2x+19．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．（1）从中选出1名男生和3名女生排成一列；（2）全体站成一排，男生必须站一起；（3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．20．赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电，（1）求有多少种不同的充电方案；（2）若要求A、B两车不能同时在上午充电，而C车只能在下午充电，且F车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．（用数字作答）

2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCDCABAA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDBCDBDABC一．选择题（共8小题）1．现有3张相同的电影票要分给11位学生，每位学生至多分得1张，则不同的分法种数为（）A．120 B．135 C．165 D．180【考点】简单组合问题．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】从11个人中选出3人得到电影票，由组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从11个人中选出3人得到电影票，不同的分法种数为C11故选：C．【点评】本题考查组合数公式的应用，注意组合和排列的不同，属于基础题．2．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（）A．36种 B．48种 C．72种 D．108种【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】依题意可分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，进而结合排列数公式即可求解．【解答】解：将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，又每行中任意两个相邻数字之和为偶数，即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数，因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，所以共有A3故选：C．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．3．设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“x1+x2+x3+x4+x5＝1”的元素个数为（）A．15 B．35 C．40 D．45【考点】排列组合的综合应用；判断元素与集合的属于关系．【专题】集合思想；综合法；集合；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】根据5个数中1的个数分类讨论，再结合排列组合知识求解．【解答】解：设5个数中有m个1，n个﹣1，（5﹣m﹣n）个0，因为x1+x2+x3+x4+x5＝1，所以当m＝1时，n＝0，此时元素个数为C51当m＝2时，n＝1，此时元素个数为C52当m＝3时，n＝2，此时元素个数为C53综上所述，集合A中满足条件“x1+x2+x3+x4+x5＝1”的元素个数为5+30+10＝45．故选：D．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了排列组合知识，属于基础题．4．某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（）A．20种 B．36种 C．24种 D．18种【考点】排列组合的综合应用；分步乘法计数原理．【专题】计算题；分类讨论；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】分甲值班两天和甲值班一天两种情况，结合排列组合知识求解，再由分类加法计数原理求解即可．【解答】解：结合题意可知有1人需值班两天．若甲值班两天，因甲不在第一天值班，则有C32种安排方法，剩下的有A22若甲值班一天，因甲不在第一天值班，则有C31种安排方法，剩下的两人有C则此时的安排方法共有C3综上，满足题意的安排方法共有6+18＝24种．故选：C．【点评】本题主要考查排列组合及分类加法计数原理的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．5．某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（）A．150种 B．240种 C．180种 D．120种【考点】排列组合的综合应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】A【分析】由题意人数分配只能是“2，2，1”与“3，1，1”两种组合，分类求解即可．【解答】解：5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是“2，2，1”或“3，1，1”两种组合，若人数分配为“3，1，1”，则有C5若人数分配为“2，2，1”，则有C5综上，共有150种不同选择情况．故选：A．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．6．学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】B【分析】先将4名学生分成3组，然后再分配3个项目．【解答】解：先从4名学生中选出两名作为一组，其余每人为一组，有C42然后将3组志愿者分配到3个不同项目，有A3所以总的分配方案为6×6＝36种．故选：B．【点评】本题考查了排列组合的综合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．7．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿．全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营．小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（）A．19 B．20 C．90 D．200【考点】排列组合的综合应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】A【分析】根据题意用分类加法计数原理相加即可．【解答】解：已知小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4+10+5＝19．故选：A．【点评】本题考查分类加法计数原理相关知识，属于基础题．8．设（a1，a2，a3，a4，a5）是3，4，5，6，7的一个排列．若（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0对一切i∈{1，2，3}恒成立，则称该排列为“起伏排列”．则该起伏排列个数有（）A．32 B．24 C．20 D．36【考点】简单排列问题．【专题】分类讨论；综合法；排列组合；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0，得到a2＞a1，a2＞a3，a4＞a3，a4＞a5或a2＜a1，a2＜a3，a4＜a3，a4＜a5，分别求出两种情况下的排列个数，相加即可．【解答】解：因为（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0对一切i∈{1，2，3}恒成立，可得a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4.a4＞a5或a2＜a1，a2＜a3，a4＜a3，a4＜a5，因为（a1，a2，a3，a4，a5）是3，4，5，6，7的一个排列，对于第一类：3必须居下面，7必须居上面，当a2，a4在6，7中取时，a1，a3，a5在3，4，5中取，有A2当a2，a4在5，7中取时，若a2＝7，a4＝5时，则a1＝6，此时a3，a5与3，4可全排列，即A22若a4＝7，则a5＝6，此时a1，a3与3，4可全排列，即A22综上所述：满足第一类的有12+2+2＝16种排列方法，同理第二类有16种排列方法，所以共有32种起伏排列．故选：A．【点评】本题考查分类讨论求排列的个数，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列结论正确的是（）A．Anm=nAn-1m-1(m，B．满足方程C16x2-x=C165x-5的x值可能为C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种【考点】其他组合形式及计算；排列数的化简计算及证明；部分元素不相邻的排列问题；组合数的化简计算及证明．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】ABD【分析】利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D．【解答】解：对于A，Anm=n×(n-1)×⋯×(n-m+1)=n对于B，由C16x2-x=C165x-5，得x2-x+5x-5=165x-5≥0x2-x≥0或16≥x2﹣x＝5x﹣对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有A33A对于D，由隔板法得共有C52=10故选：ABD．【点评】本题主要考查了排列及组合数公式的应用，简单的排列组合问题的应用，属于基础题．（多选）10．下列等式正确的是（）A．AmB．n!n(n-1)C．(n+1)AD．1【考点】排列数的化简计算及证明．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】BCD【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【解答】解：对于选项A，Amm=m!，A对于选项B，n!n(n-1)=(n-1)(n-2)×⋯×3×2×1对于选项C，(n+1)Anm对于选项D，1n-mAn故选：BCD．【点评】本题考查了排列数组合数公式，是中档题．（多选）11．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有540种分法 B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法 C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法 D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法【考点】简单排列问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】BD【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案．选项B，先分堆再分配．先把6本书分成3堆：4本、1本、1本；再分给甲、乙、丙三人．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案．选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案．选项D，先分堆再分配．先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人．根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案．【解答】解：对于选项A，若分给甲、乙、丙三人，每人各2本，先从6本书中分给甲2本，有C62种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有C42种方法；最后的所以不同的分配方法有C62C对于选项B，若分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有C6所以不同的分配方法有C64A对于选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有C62C42所以不同的分配方法有C62C对于选项D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有C6再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有C62C故选：BD．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．（多选）12．下列是组合问题的是（）A．10人相互通一次电话，共通多少次电话？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【考点】排列组合的综合应用；组合及组合数公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑思维．【答案】ABC【分析】利用组合的定义，判断选项的正误即可．【解答】解：组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．10人相互通一次电话，共通多少次电话．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法．都是与顺序无关的问题，是组合问题．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法，是排列问题．故选：ABC．【点评】本题考查排列组合的应用，是基础题．三．填空题（共4小题）13．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程．要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有78种．【考点】排列组合的综合应用．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】78．【分析】由排列组合及简单计数原理，结合分类加法及分步乘法计数原理求解即可．【解答】解：已知数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完，当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有C42当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有C43当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有C31则每位同学的不同选修方式共有36+24+18＝78种．故答案为：78．【点评】本题考查了排列组合及简单计数原理，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属基础题．14．甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有420种．【考点】简单组合问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】420．【分析】根据组合数计算求解．【解答】解：甲乙各选两部电影的不同选法有C72其中选的两个均相同的选法有C72则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有441﹣21＝420种．故答案为：420．【点评】本题考查组合数的应用，属于基础题．15．一天课程表中，8节课要安排4门不同的理科课程，4门不同的文科课程，要使文、理科课程间隔排列，不同的排课方法有1152种．【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】1152．【分析】由分步乘法计数原理，结合插空法求解即可．【解答】解：先安排4门不同的理科课程，有A44再安排4门不同的文科课程，有2A44则要使文、理科课程间隔排列，不同的排课方法有24×48＝1152种．故答案为：1152．【点评】本题考查了分步乘法计数原理，重点考查了插空法，属基础题．16．从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作a，b，c，d，若a+b和c+d的奇偶性相同，则a，b，c，d的取法共有912种（用数字作答）．【考点】简单组合问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】分a+b，c+d都是偶数和都是奇数两种情况，结合排列组合知识求解即可．【解答】解：偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，1，2，3，4，5，6，7，8中有4个奇数和4个偶数，当a+b和c+d都是偶数时，共有A44当a+b和c+d都是奇数时，共有C41所以a，b，c，d的取法共有336+576＝912种．故答案为：912．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．将1，2，3，4，⋯，10这十个数字按着某一顺序排成一行，使得每相邻三个数的和都不超过n．问：（1）当n＝10时，能否排成？请说明理由；（2）当能够排成时，n的最小值为多少？【考点】排列及排列数公式．【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）假设n＝10，由于这10个数的和为1+2+3+⋯+10＝55，将这个10个数排成一行，设这一行数字依次为a1，a2，a3，⋯，a10，则相邻三个数的和有a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，a4+a5+a6，a5+a6+a7，a6+a7+a8，a7+a8+a9，a8+a9+a10，共8组，所以a1+a2+a3、a4+a5+a6、a7+a8+a9都不超过10，那么a10≥25＞10，显然矛盾，故不能排成．（2）16．【分析】（1）由于10个数的总和为55，将这个10个数排成一行，设这一行数字依次为a1，a2，a3，⋯，a10，根据已知有a1+a2+a3、a4+a5+a6、a7+a8+a9都不超过10，得a10≥25，即可得结论；（2）同（1）分析排除n＝11，12，13，14，15，并列出一个n＝16且满足要求的情况，即可得．【解答】解：（1）假设n＝10，可得这10个数的和为1+2+3+⋯+10＝55，将这个10个数排成一行，设这一行数字依次为a1，a2，a3，⋯，a10，则相邻三个数的和有a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，a4+a5+a6，a5+a6+a7，a6+a7+a8，a7+a8+a9，a8+a9+a10，共8组，所以a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9都不超过10，那么a10≥25＞10，显然矛盾，故不能排成．（2）当n＝11，12，13，14时，同（1）分析可知都有a10＞10，故不能排成；当n＝15时，有a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9都不超过15，则a10＝10，同时a2+a3+a4，a5+a6+a7，a8+a9+a10都不超过15，则a1＝10，显然不可能有a1＝a10＝10，故不能排成，当n＝16时，排出如下10，5，1，7，6，2，8，3，4，9或9，4，3，7，2，6，8，1，5，10，所以n的最小值是16．【点评】本题考查排列的应用，属于基础题．18．（1）计算：A（2）求导：f（x）＝2x﹣sinx+log3x+2cosx+2x（3）求导：f(x)=xln2x+【考点】排列及排列数公式；基本初等函数的导数．【专题】整体思想；定义法；导数的概念及应用；排列组合；运算求解．【答案】（1）90．（2）f'（3）f′（x）=ln2x+1+(x-1)【分析】（1）由排列数和组合数计算公式直接计算即可．（2）根据求导公式表直接求导可得结果．（3）利用复合函数求导以及导数乘除运算法则可得结果．【解答】解：（1）由排列数和组合数公式可知A6（2）f（x）＝2x﹣sinx+log3x+2cosx+2x，由导数公式可得，f'（3）因为f(x)=xln2x+ef'=ln2x+1+(x-1)【点评】本题考查导数的四则运算和复合函数的导数公式以及排列组合公式的应用，属于基础题．19．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．（1）从中选出1名男生和3名女生排成一列；（2）全体站成一排，男生必须站一起；（3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．【考点】部分元素相邻的排列问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】（1）288；（2）720；（3）600．【分析】（1）从男生中任选1名有C31种选法，从女生中任选3名有C43（2）利用捆绑法即可求解（3）先安排甲，再全排列即可求解，【解答】解：（1）若从中选出1名男生和3名女生排成一列，从3名男生中任选1名有C31种选法，从4名女生中任选3名有C再将选取的4人全排列有A44种排法，由分步乘法计数原理可得共有（2）若全体站成一排，男生必须站一起，将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有A5再将3个男生全排列有A33种，由分步乘法计数原理可得共有（3）若全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾，乙站在排尾，对于甲有A51种排法，其他人有由分步乘法计数原理可得共有A5【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．20．赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电，（1）求有多少种不同的充电方案；（2）若要求A、B两车不能同时在上午充电，而C车只能在下午充电，且F车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．（用数字作答）【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】（1）720；（2）168．【分析】（1）先选出三辆车安排在上午充电，余下的三辆车安排在下午充电，结合分步乘法计数原理即可计算求解；（2）根据“先排F车，接着排C，再排A、B”的顺序分析结合分步和分类计数原理即可计算求解．【解答】解：（1）已知现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电先从A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴车中选出三辆车安排在上午充电，有C6余下的三辆车安排在下午充电，A3则共有120×6＝720种方案．（2）先排F车，第一种方案，F车在上午充电，有C2此时再排C，C车在下午充电，有C3再排A、B，又分A、B同在下午和一个上午一个下午两种情况，有A2第二种方案，F车在下午充电，有C2此时再排C，C车在下午充电，有C2再排A、B，只能一个上午一个下午，有C2最后再排剩下的两辆车，有A2最后共有：[C【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．

考点卡片1．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．2．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g(x)]′=3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2x对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．3．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A.432B.288C.216D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21∴所求奇数的个数共有18×12＝216种．故选C．点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．4．排列及排列数公式【知识点的认识】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：Anm=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)=n!(n-m)!．m，n∈N+（2）全排列公式：Ann=n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝5．排列数的化简计算及证明【知识点的认识】﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为An﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．【解题方法点拨】﹣熟练掌握排列数公式的推导和应用．对于排列数的化简，可以通过分解阶乘来简化计算．﹣在复杂问题中，可能需要将排列问题转化为递推公式进行求解或证明，或者利用对称性来简化表达式．﹣证明排列数的恒等式时，可以通过将排列数公式展开并进行比较，或者使用数学归纳法．【命题方向】﹣常见命题包括要求考生化简复杂的排列数表达式、证明涉及排列数的恒等式，以及应用排列数公式解决实际问题．﹣可能涉及排列数的递推公式推导、排列数的对称性证明，或复杂排列问题的组合应用．6．简单排列问题【知识点的认识】﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为An﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．【解题方法点拨】﹣直接应用排列公式进行计算．对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数．﹣在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义．﹣对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算．【命题方向】﹣基本排列问题的命题常见于简单元素排列的计算，如全排列数的求解、特定位置的排列数计算．﹣可能涉及对排列数公式的直接应用，以及对排列问题的基础性理解与操作．7．部分位置的元素有限制的排列问题【知识点的认识】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．【解题方法点拨】﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．【命题方向】﹣常考察在特定位置或区域内元素的排列，如规定某些元素必须在前几位，或必须固定在某些位置的排列问题．﹣命题可能涉及多重限制条件的综合分析，要