查漏补缺04：数列（4考点20题型）（学生版）

查漏补缺：数列考点一：数列的概念与表示知识点1数列的有关概念1、数列的三种表示：列表法、图象法和解析式法．2、数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N*递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数M，使摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对n∈N*，存在正整数常数k，使3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．知识点2数列通项公式的求法1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法（1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出类型二：形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型。6、取倒数法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解7、三项递推构造：适用于形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．8、不动点法（1）定义：方程的根称为函数的不动点．利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列中，已知，且时，（是常数），=1\*GB3①当时，数列为等差数列；=2\*GB3②当时，数列为常数数列；=3\*GB3③当时，数列为等比数列；=4\*GB3④当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．(其中、可利用，求得)【题型1由an与Sn的关系求通项公式】在数列问题中，数列的通项与其前n项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验．已知Sn求an的三个步骤（1）利用a1＝S1求出a1.（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．（24-25高三下·重庆北碚·月考）数列的前项和，则数列的通项公式是.2．（24-25高三下·山西·开学考试）数列的前项和满足，则．3．（24-25高三下·重庆·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则.4．（24-25高三下·山东临沂·一模）设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（

）A．49 B．50 C．99 D．1005．（23-24高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【题型2由递推关系求数列的通项公式】1、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造：2、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造：3、构造法：（1）形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．（2）形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．（3）通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得4、取倒数法：对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．1．（24-25高三下·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（

）A．2 B．6 C．12 D．203．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·河北·模拟预测）已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式；.【题型3数列的周期性及应用】1、周期数列的常见形式（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）若在数列中，，，则（

）A．2 B． C． D．2．（24-25高三下·重庆南岸·月考）已知数列满足，，则（

）A． B． C．3 D．23．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·贵州·月考）已知数列满足，且，则（

）A．3 B． C． D．5．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）数列中，，，且（），则为（

）A．2 B．1 C． D．【题型4用函数研究数列的单调性和最值】求数列最大项或最小项的方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：①若有（或时，），则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为；②若有（或时，），则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为．1．（24-25高三下·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三下·江西·模拟预测）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三下·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（24-25高三下·安徽铜陵·开学考试）已知数列满足，则下列说法正确的是（

）A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列考点二：等差数列及其前n项和知识点1等差数列的概念及公式1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：．（2）前项和公式：．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.知识点2等差数列的性质已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．（5）若项数为，则，；（6）若项数为，则，，，.【题型1等差数列的基本量求解】1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．（24-25高三上·四川绵阳·模拟预测）等差数列的前n项和为，且，，则（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（24-25高三下·福建龙岩·月考）设是等差数列的前项和，若，则（

）A．132 B．88 C．44 D．333．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知为等差数列的前项和，若，，则（

）A．56 B．60 C．64 D．684．（24-25高三下·山东泰安·月考）公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（

）A．8 B．10 C．12 D．135．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知为等差数列的前n项和，若，则=（

）A．39 B．52 C．65 D．78【题型2等差数列的性质及应用】1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.1．（24-25高三下·安徽合肥·月考）为等差数列的前项和，已知，则为（

）A．25 B．30 C．35 D．552．（24-25高三下·广东·模拟预测）在等差数列中，若，则的值为（

）A．18 B．15 C．12 D．93．（24-25高三下·福建厦门·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·海南·月考）（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（

）A． B．当时，取得最大值C． D．使得成立的最大自然数是155．（24-25高三下·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（

）A．4050 B．2025 C．4048 D．2024【题型3等差数列的前n项和性质及应用】1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).1．（24-25高三下·山西·一模）设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25高三下·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（

）A．0 B．3 C．6 D．123．（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·安徽六安·月考）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数C． D．数列中最小项为5．（24-25高三上·山西吕梁·月考）（多选）记为等差数列的前n项和，则（

）A． B．若的公差不为，，则C．，，成等差数列 D．是等差数列【题型4等差数列的单调性及最值】1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．1．（24-25高三上·广西贵港·月考）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第项.2．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是.3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（

）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或154．（24-25高三上·云南昆明·月考）（多选）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．为等差数列 B．不可能为常数列C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．【题型5等差数列的判定与证明】1、定义法：或是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足；3、等差中项法：为等差数列；4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；5、前n项和公式法：为常数为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．1．（24-25高三下·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（24-25高三下·上海·月考）若数列满足：，则的通项公式为．3．（24-25高三下·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足.(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式.4．（24-25高三下·陕西汉中·二模）设数列的前项和为，若，.(1)证明：数列是等差数列；(2)求.【题型6含绝对值等差数列求和】含绝对值等差数列求和步骤：第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．1．（24-25高三上·天津·月考）已知等差数列中，，，设，则（

）A．245 B．263 C．281 D．2902．（24-25高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.3．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.4．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.考点三：等比数列及其前n项和知识点1等比数列的概念及公式1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。数学语言表达式：(，为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.知识点2等比数列的性质已知是等比数列，是数列的前项和．1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.（2）若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）若，则有，推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。2、等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）【题型1等比数列的基本量求解】注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．1．（24-25高三下·河北沧州·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（

）A．72 B． C．144 D．2．（24-25高三下·河南新乡·月考）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，则的值为（

）A．5 B．10 C．9 D．63．（24-25高三上·云南昭通·月考）设为正项递增的等比数列的前项和，且，则（

）A．63 B． C．127 D．或1274．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．1 D．25．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知公比为的等比数列的前和为，，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【题型2等比数列的性质及应用】若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2、应用等比数列性质解题时的2个注意点（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．1．（24-25高三上·云南·月考）已知是公比为2的等比数列，若，则．2．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（

）A．48 B．84 C．90 D．1124．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A． B．8 C．9 D．165．（24-25高三下·河南南阳·模拟预测）（多选）已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（

）A．B．C．数列的最大项为D．数列的最小项为【题型3等比数列的判定与证明】1、定义法：为常数且数列是等比数列．2、等比中项法：数列是等比数列．3、通项公式法：数列是等比数列．4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.1．（24-25高三下·全国·专题练习）（多选）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则，，成等比数列B．若为等差数列，则为等比数列C．若，则数列为等比数列D．若，，，则为等比数列2．（24-25高三下·福建厦门·二模）已知数列的前项和为，满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.3．（24-25高三下·山西·月考）数列满足．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．4．（24-25高三下·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足.(1)求，；(2)证明：数列为等比数列；(3)求数列的通项公式.【题型4等差与等比数列综合】解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系。注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相关转化。1．（24-25高三上·山东·月考）已知等比数列的各项都是正数，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前50项之和.2．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列中，，.(1)证明：数列是等差数列.(2)求的通项公式.(3)若，求数列的前项和.3．（24-25高三下·河南·模拟预测）已知项数为的数列满足：且．(1)若为等比数列，求的值；(2)若是等差数列，求公差的值．4．（24-25高三上·山西·期末）数列的前项和为，，当时，.(1)求证：数列是等差数列，并求的表达式；(2)设，求数列的最大项的值.考点四：数列求和及其综合应用知识点1几种数列求和的常用方法1、公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．2、分组转化法求和：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.【题型1分组转化法求数列的前n项和】分组转化法求和的常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.1．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知正项数列的前n项和为，且满足．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．3．（24-25高三上·云南昭通·月考）设数列的前项和为，已知，且为等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前项和.4．（24-25高三下·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)证明：当时，．【题型2裂项相消法求数列的前n项和】1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，点在曲线上，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，记，求．2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足，求数列的前2025项和3．（24-25高三下·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和.4．（24-25高三上·天津河东·月考）已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，，的前项和，求．【题型3错位相减法求数列的前n项和】1、错位相减法解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．1．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知数列的前n项和，数列的前n项和．(1)求，的通项公式；(2)若，求的前n项和．2．（24-25高三下·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．3．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足(1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式；(2)设，求数列的前n项和4．（24-25高三上·安徽芜湖·月考）已知数列的首项为且.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和．【题型4数列与不等式证明问题】数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。1．（24-25高三下·甘肃·一模）数列满足，数列满足.(1)求证：数列是等比数列，并求其通项公式；(2)若数列满足是数列的前项和，对恒成立，求实数的取值范围.2．（24-25高三下·四川德阳·二模）已知数列前项和为，满足，且(1)求数列的通项公式；(2)令，讨论与的大小关系；(3)对任意正整数恒成立，求正整数的最小值．3．（24-25高三下·重庆·一模）已知等差数列满足：，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.【题型5数列中的探究问题】数列中的探究性问题实