第二章 §2.1　函数的概念及其表示（学生版）

第二章函数§2.1函数的概念及其表示【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势考点1直接求函数值2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·北京卷2021·全国甲卷、2021·浙江卷会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法，理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值考点2函数的定义域与值域2022·北京卷【知识梳理】1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.【名师点拨】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几种特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)是一个函数.()(2)函数就是定义域到值域的对应关系.()(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()2.以下图形中,不是函数图象的是()3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是()A.y＝x＋33−x与B.y＝x2与y＝(x－1)2C.y＝x2与y＝D.y＝1与y＝x04.已知函数f(x)＝x2,x≤1,log4x【易错提醒】防范四个易错点(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化.(2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.(4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错.【必练核心题型】题型一函数的概念例1.(多选)下列选项中正确的是()A.函数f(x)＝1xB.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点C.函数y＝x2−1x＋1与函数D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同【解题技巧】函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.【变式训练】变式1.函数f(x)＝1x−2＋ln(x－1)的定义域为A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞)C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞)变式2.(多选)下列命题中是假命题的是()A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线B.f(x)＝x−3C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3)D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1题型二函数的解析式例2.已知f(1－sinx)＝cos2x,求f(x)的解析式；(2)已知f

x2＋1x2＝x4＋(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式；(4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式.【变式训练】变式1.(多选)下列命题中正确的有()A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞)C.若f

x−1x＝x3－1x3,则函数f(x)的解析式为fD.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f

1x＝3x,则f(x)＝2x题型三分段函数例1.(多选)已知函数f(x)＝x2,−2≤x<1,−A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(－∞,4]C.若f(x)＝2,则x的值是－2D.f(x)<1的解集为(－1,1)例2.定义max{a,b}＝a,a≥b,b,b>a,设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数FA.1 B.32 C.74【变式训练】变式1.已知函数f(x)＝2则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式2.(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)＝