第二章 §2.7　指数函数（教师版）

第二章函数§2.7指数函数【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势指数函数及其应用2024·北京2024·天津2024·广东2023·北京2023·全国甲卷2023·全国乙卷2023·全国新Ⅰ卷2022·北京卷掌握指数幂函数的图象与性质，会指数对数的相关运算，会指对幂函数值的大小比较，都是高考命题的方向。【知识梳理】1.指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2.指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图象关于y轴对称【名师点拨】1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x－1是指数函数.()(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()(3)2－3＞2－4.()(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×【解析】(1)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(1)错误.(2)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(2)错误.(4)m与n的大小关系与a的取值有关.2.给出下列函数,其中为指数函数的是()A.y＝x4 B.y＝xxC.y＝πx D.y＝－4x【答案】C【解析】因为指数函数的形式为y＝ax(a>0且a≠1),所以y＝πx是指数函数,即C正确；而A,B,D中的函数都不满足要求,故A,B,D错误.3.若函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)满足f(2)＝81,则f

−A.±13 B.±3 C.13【答案】C【解析】因为f(2)＝a2＝81,又a>0,所以a＝9,从而f(x)＝9x,f

−4.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)＝1,f(1)f(0)＝2,f(2)f(1)＝2,f(3)f(2)＝2【答案】f(x)＝2x(答案不唯一)【解析】例如f(x)＝2x,则f(0)＝1,且f(x)f(x−1)【名师点拨】1.掌握指数函数图象的三个特点(1)指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),−1,(2)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b.2.谨防一个失误点讨论指数函数的单调性及值域问题时,当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.【必练核心题型】题型一指数函数的概念与图象例1.(多选)下列选项正确的是()A.函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数,则a＝1B.指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,＋∞)C.函数y＝ax＋1(a>0,且a≠1)的图象可以由f(x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到D.函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点−【答案】ABD【解析】对于A,2a2－3a＋2＝1且a>0,a≠1,则a＝12对于B,不论0<a<1,还是a>1,值域都为(0,＋∞),B正确；对于C,f(x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax＋1的图象,C错误；对于D,令2x＋3＝0,则x＝－32,y＝0,所以函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点例2.(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则()A.0<a<1 B.a>1C.－1<b<0 D.b<－1【答案】BD【解析】函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0＋b<0,即a>1,b<－1.【解题技巧】对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.【变式训练】变式1.(多选)已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为()A.a＝b B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b【答案】ABC【解析】由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示,由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故选项A正确；作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k,则0<b<a,故选项B正确；作出直线y＝m,当0<m<1时,若3a＝6b＝m,则a<b<0,故选项C正确；当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b＝6b,故选项D错误.变式2.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是.

【答案】(0,2)【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示.∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴实数b的取值范围是(0,2).题型二指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例1.已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【答案】B【解析】依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b.例2.若a＝1223,b＝2312,c＝loA.a>c>b B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a【答案】D【解析】由题意得,0<a＝12230<b＝2312c＝log231∵1223<∴a<b,∴c>b>a.命题点2解简单的指数方程或不等式例1.已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵ax<1,当a>1时,y＝ax是增函数,∴p：{x|x<0}.对于不等式2x＋1<x＋2,作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象,如图所示.由图象可知,不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0},∴q：{x|－1<x<0}.又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0},∴p是q的必要不充分条件.例2.已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为.

【答案】−5,−【解析】由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R,且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x),所以f(x)＝2|x|为偶函数,当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x,可得f(x)＝2|x|在[0,＋∞)上单调递增,根据偶函数的性质,不等式f(2－x)>f(2x＋3),即为f(|2－x|)>f(|2x＋3|),可得|2－x|>|2x＋3|,整理得3x2＋16x＋5<0,解得－5<x<－1所以f(2－x)>f(2x＋3)的解集为−5,−1命题点3指数函数性质的综合应用例1.已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数.(1)求a的值,并证明函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增；(2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x),x∈[0,1]的值域.【解析】(1)因为函数f(x)在R上为偶函数,所以f(x)＝f(－x),得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x,(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立,即a＝1.所以f(x)＝2x＋2－x,对任意的0≤x1<x2,f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2因为0≤x1<x2,2x1<2所以f(x1)<f(x2),f(x)在区间[0,＋∞)上单调递增.(2)函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋22x＋2－2x＝(2x＋2−x令t＝2x＋2－x＝2x＋1因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],所以t∈2,令φ(t)＝t2＋t－2,故函数φ(t)在2,5当t＝2时,h(x)min＝φ(2)＝4；当t＝52时,h(x)max＝φ5则函数h(x)的值域为4,27【解题技巧】(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.【变式训练】变式1.a＝123,b＝20.5,c＝logA.a<b<c B.c<b<aC.a<c<b D.c<a<b【答案】D【解析】0<123＝2－3<20.5,即0<a<b,c＝log312<log31＝0,所以c<a变式2.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是()A.(－∞,－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2,＋∞)【答案】D【解析】函数y＝2x在R上是增函数,而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则函数y＝x(x－a)＝x−a22－所以a的取值范围是[2,＋∞).变式3.(多选)(2024·临沂模拟)已知函数f(x)＝22x−1＋a(a∈RA.f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)B.f(x)的值域为RC.当a＝1时,f(x)为奇函数D.当a＝2时,f(－x)＋f(x)＝2【答案】ACD【解析】对于函数f(x)＝22x−1＋a(a令2x－1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),故A正确；因为2x>0,则2x－1>－1,当2x－1>0时,2所以22x−1＋a当－1<2x－1<0时,2所以22x−1＋a综上可得f(x)的值域为(－∞,－2＋a)∪(a,＋∞),故B错误；当a＝1时,f(x)＝22x则f(－x)＝2−x＋12−x−1所以f(x)＝22当a＝2时,f(x)＝22x−1则f(x)＋f(－x)＝2x＋12故D正确.【拓展训练】抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性.(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…,判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…,判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0),对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；②幂函数f(x)＝xa,对应f(xy)＝f(x)f(y)或f

x③指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1),对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝f(④对数函数f(x)＝logax(a>0,且a≠1),对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f

xy＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(⑤正弦函数f(x)＝sinx,对应f(x＋y)f(x－y)＝[f(x)]2－[f(y)]2,来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；⑥余弦函数f(x)＝cosx,对应f(x)＋f(y)＝2f

x＋y2f

x−y2,来源于cosα＋cos⑦正切函数f(x)＝tanx,对应f(x±y)＝f(x)±f(y)1∓f(典例.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞)D.f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(0)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝2024【答案】AB【解析】对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f