第二章 §2.8　对数函数（教师版）

第二章函数§2.8对数函数【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势对数函数及其应用2024·全国甲卷2024·天津2024·新课标Ⅱ卷2024·北京卷2024·全国新Ⅰ卷2023·北京2022·天津2022·浙江2022·全国乙卷2022·全国甲卷2022·新高考全国Ⅰ卷掌握对数幂函数的图象与性质，会指数对数的相关运算，会指对幂函数值的大小比较，都是高考命题的方向。【知识梳理】1.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.【名师点拨】1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(2)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.()(4)函数y＝log2x与y＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,x)的图象重合.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√【解析】(1)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误.(3)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(3)错误.2.函数f(x)＝ln(4−xA.(－∞,4) B.(3,4)C.(－∞,3)∪(3,4) D.(－∞,3)∪(3,＋∞)【答案】C【解析】因为f(x)＝ln(4−所以要使函数有意义,则4−x>0,x−3≠0,解得所以f(x)的定义域为(－∞,3)∪(3,4).3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为()【答案】A【解析】f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0},因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x),所以f(x)是偶函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增.结合选项可知选A.4.若对数函数f(x)经过点(2,1),则它的反函数g(x)的解析式为.

【答案】g(x)＝2x【解析】设f(x)＝logax(a>0且a≠1),函数过点(2,1),即f(2)＝loga2＝1,即a＝2,f(x)＝log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x.【名师点拨】1.掌握三个对数函数图象的特点(1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.(2)不论a>1还是0<a<1,对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点1a(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b.2.谨防两个失误点(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分0<a<1和a>1两种情况讨论.【必练核心题型】题型一对数函数的概念与图象例1.(多选)下列选项正确的是()A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数,则a＝3或a＝2B.函数f(x)＝1x＋ln(3＋x)的定义域为(－3,0)∪C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0)D.f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1,＋∞)【答案】BC【解析】对于A,解得a＝3,A错误；对于B,x≠0,3＋x>0,对于C,令4x－3＝1,解得x＝1,则f(1)＝loga1＝0,C正确；对于D,x2－2x>0⇒x∈(－∞,0)∪(2,＋∞),可知当x>2时,y＝x2－2x单调递增,结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,＋∞),D错误.例2.(多选)已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝lgx,若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立的为()A.m＝n B.n<m<1C.m<1<n D.1<m<n【答案】ABD【解析】根据题意,在同一直角坐标系中画出f(x)＝lnx与g(x)＝lgx的图象,如图所示,当x＝1时,此时f(x)＝g(x),即f(m)＝g(n),故m＝n＝1,故A正确；当0<x<1时,若f(m)＝g(n),则n<m<1,故B正确；当x>1时,若f(m)＝g(n),则1<m<n,故D正确.【解题技巧】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【变式训练】变式1.(多选)函数f(x)＝logax(a>0且a≠1),下列说法正确的是()A.当0<a<1时,函数在其定义域上是减函数B.f(x)的反函数为g(x)＝axC.当0<a<1且x>1时,f(x)>0D.若点(2,1)在f(x)的图象上,则f

1【答案】ABD【解析】对于A,当0<a<1时,f(x)＝logax在其定义域上是减函数,故A正确；易知B正确；对于C,当0<a<1时,f(x)＝logax在其定义域上是减函数,所以当x>1时,f(x)＝logax<loga1＝0,故C错误；对于D,因为点(2,1)在f(x)的图象上,所以loga2＝1,则a＝2,所以f(x)＝log2x,则f

14＝log214＝log2变式2.若函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点12,13,则函数y【答案】B【解析】由于函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点1故13＝a1则y＝loga|x|＝log19|x该函数为偶函数,图象关于y轴对称,且在(0,＋∞)上单调递减,在(－∞,0)上单调递增,只有B中图象符合该函数图象特点.题型二对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例1.(2024·延庆模拟)设a＝log32,b＝log96,c＝12A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c【答案】D【解析】因为b＝log96＝log32(6)2＝log36,又3<2<6,函数y＝log3x则log33<log32<log36,所以c<a<b例2.(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知2a＝3b＝6,则a,b满足()A.a＝log26 B.a<bC.1a＋1b<1 D.【答案】AD【解析】A选项,由2a＝6,得a＝log26,故A正确；B选项,由3b＝6,得b＝log36,∵a＝log26>2,b＝log36<2,∴a>b,故B错误；C选项,∵1a＋1b＝D选项,∵a≠b且a>0,b>0,∴由基本不等式得a＋b＝(a＋b)1a＋1命题点2解简单的对数方程或不等式例1.已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是()A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞)【答案】D【解析】f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0,＋∞),f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0,由f(x)<0可得log2x<x－1,即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方,画出y＝log2x,y＝x－1的图象,如图,由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞).例2.(2025·中山模拟)设实数a>0,则“2a>2”是“logaa＋A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2a>2,可得a>1.由logaa＋可得logaa＋12∴a>1,a解得a>1或0<a<12因此“2a>2”是“logaa＋命题点3对数函数性质的综合应用例1.(多选)(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列说法中正确的是()A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(－4,0)B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(－∞,－4]∪[0,＋∞)C.若a＝2,则f(x)的单调递减区间为(－∞,－1)D.若f(x)在(－2,－1)上单调递减,则a的取值范围是−∞,【答案】ABD【解析】选项A,x2＋ax－a>0对任意x∈R恒成立,即Δ＝a2＋4a<0,解得－4<a<0,A正确；选项B,x2＋ax－a≤0有解,因此Δ＝a2＋4a≥0,解得a≤－4或a≥0,B正确；选项C,当a＝2时,f(x)＝lg(x2＋2x－2),由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3>0得x<－1－3或x>－1＋3,根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(－∞,－1－3选项D,f(x)在(－2,－1)上单调递减,则−a2≥−1,1−a例2.(多选)(2025·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,2)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x＝2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称【答案】BC【解析】函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4),当x＝2时,4x－x2取到最大值4,故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成,而y＝log2u是定义域上的增函数,u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,B正确；因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确；因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误.【解题技巧】求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.【变式训练】变式1.已知a＝0.50.9,b＝ln3,c＝log312A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b【答案】B【解析】因为a＝0.50.9∈(0,1),b＝ln3>lne＝1,c＝log312<log31＝0,所以b>a