第二章 §2.12　函数与方程的综合应用（教师版）

第二章函数§2.12函数与方程的综合应用【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势函数与方程的综合应用2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2024·天津卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·天津卷、2022·北京卷2021·北京卷、2021·天津卷函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，考查函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等。【名师点拨】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置。题型一由零点分布求值(范围)命题点1二次函数的零点分布例1.(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是()A.当x1>0且x2>0时，0<m<1B.当x1<1且x2>1时，m<1C.当－2<x1<0且0<x2<4时，m<－4D.当x1<2且x2>4时，m<－4【答案】ABD【解析】对于A，由题意得x1＋x2＝3−m>0,对于B，f(1)＝2m－2<0，解得m<1，B正确；对于C,f(−2)＝10−m>0,f(0)＝m<0,f对于D,f(2)＝3m−2<0,f(4)＝5m命题点2其他函数的零点分布例2.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sinπx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是()A.[3.5，4) B.(3.5，4]C.(5，5.5] D.[5，5.5)【答案】A【解析】由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数，当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x，因此f

12＝－log212＝1，f(1所以f(0)＝0，f

−12＝－1，f(－1且g(x)＝sinπx的周期为T＝2ππ＝2且g(－1)＝0，g−12＝－1，g(0)＝0，g12＝1，g(1求F(x)＝f(x)－sinπx的零点个数，即求f(x)与g(x)图象的交点个数，如图为f(x)与g(x)在区间[－1，1]的图象，因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，若在区间[－1，m]上有10个零点，即两函数图象在[－1，m]上有10个交点，则第10个交点坐标为(3.5，－1)，第11个交点坐标为(4，0)，因此3.5≤m<4.【解题技巧】对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手(1)开口方向；(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值.【变式训练】变式1.设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为()A.−B.−∞,−13C.(－∞，－1)∪0,D.−1,【答案】C【解析】设f(x)＝x2－2ax－a，则其图象的对称轴方程为x＝a，由x1<x2<1可得a解得a<－1或0<a<13变式2.已知函数f(x)＝4x＋6,x≤0,|lnx|,x>0,若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1，x2，A.−32,0C.(－∞，0] D.(－∞，0)【答案】B【解析】不妨设x1<x2<x3，由图可知，当0<m≤6时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点，且有－32<x1≤0，0<x2<1<x3由f(x2)＝f(x3)，即|lnx2|＝|lnx3|，得lnx3＝－lnx2，所以lnx2＋lnx3＝ln(x2x3)＝0，即x2x3＝1，故x1x2x3＝x1∈−3题型二复合函数的零点命题点1复合函数的零点个数判定例1.(多选)已知函数f(x)＝x2−kx＋1,x≤0,log2xA.当k>1时，有1个零点B.当k>1时，有3个零点C.当k<0时，有9个零点D.当k＝－4时，有7个零点【答案】AD【解析】由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数，设t＝f(x)，则f(t)＝－1，二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点(0，1)，对称轴为直线x＝k当k>1时，y＝x2－kx＋1在(－∞，0]上单调递减，且y≥1，如图，由f(t)＝－1，得log2t＝－1，解得t＝1由f(x)＝t，得log2x＝12,解得x因此当k>1时，函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1，A正确，B错误；当k＝－4时，f(x)＝x作出函数f(x)的图象，如图，由图象知函数f(x)的值域为R，令t＝f(x)，则f(t)＝－1有3个根，当t>0时，log2t＝－1，解得t＝12当t≤0时，t2＋4t＋1＝－1，解得t＝－2±2当t＝12,即f(x)＝1若x>0，则log2x＝12,解得x若x≤0，则x2＋4x＋1＝12,解得x＝－2±142当t＝－2＋2,即f(x)＝－2＋2时，若x>0，则log2x＝－2＋2有1个解若x≤0，则x2＋4x＋1＝－2＋2,即(x＋2)2＝1＋2有2个解，此时共有3当t＝－2－2,即f(x)＝－2－2时，若x>0，则log2x＝－2－2有1个解若x≤0，则x2＋4x＋1＝－2－2,即(x＋2)2＝1－2<0无解，此时共有1个解因此当k＝－4时，函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是7，D正确，C错误.命题点2根据复合函数零点求参数例2.(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝−x2−4x−2,x≤0,|lnx|,x>0,若函数g(x)＝3[f(x)]A.－5 B.－6 C.－7 D.－8【答案】CD【解析】令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0，即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝m如图，画出函数f(x)的图象，当f(x)＝1时，直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点，所以直线y＝m3与y＝f(x)的图象只能有1个交点则m3<－2，得m<－6结合选项可知，m的值可能是－7或－8.【解题技巧】对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；(3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.【变式训练】变式1.若函数f(x)＝1＋lnx,x>0,x2＋4x＋3,x≤A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】当x>0时，由1＋lnx＝0，得x＝1当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，得x＝－1或x＝－3，所以f(x)的零点为－3，－1,令t＝f(x)，则t∈R，f(t)＝0的根分别为t1＝－3，t2＝－1，t3＝1结合f(x)的图象可知，方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6.变式2.函数f(x)＝ln(−x−1),x<−1,2x＋1,x≥−1,若函数g(x)＝f(f(x【答案】[－1，＋∞)【解析】设t＝f(x)，则t∈R，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a，y＝f(t)的图象，如图所示.①当a≥－1时，直线y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一个解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两个解，此时g(x)＝f(f(x))－a有三个零点，满足题意；②当a<－1时，直线y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点.设交点的横坐标为t3，则t3<－1，此时t3＝f(x)有一个解，不满足题意，综上所述，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点.【限时训练】（45分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是()A.(0，3) B.[0，3]C.(－3，0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】A【解析】令f(x)＝－x2＋ax＋4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，f(2)>0,f解得0<a<3.2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝3x2−12x＋12,x≥1,|3x−1|,x<1,若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，且A.(0，1) B.(0，2)C.(0，3) D.(1，3)【答案】A【解析】由题意，作出y＝f(x)的大致图象，如图所示，要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，即函数y＝f(x)与y＝t的图象有4个不同的交点，则0<t<1，所以实数t的取值范围是(0，1).3.已知函数f(x)＝−x2−x,x≤0,lnx,x>0,函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1，x2，xA.0,14 B.0,1e C.0,【答案】C【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，不妨设x1<x2<x3，则方程f(x)＝m有三个不同的根，则0≤m<1当x≤0时，－x2－x－m＝0，得x2＋x＋m＝0，则x1·x2＝m；当x>0时，lnx3＝m，x3＝em，则x1·x2·x3＝mem，设h(m)＝mem0则h'(m)＝(m＋1)em>0，所以h(m)在0,14所以h(m)∈0,即x1·x2·x3的取值范围是0,e4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x,0≤x≤2,log16x,x>2,若关于x的方程[f(x)]2＋a·f(xA.−2,−54 B.(－2C.14,1 【答案】A【解析】由题可画出函数f(x)的大致图象，∵关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，设t＝f(x)，则t≥14,结合函数图象，可知方程t2＋at＋b＝0必有两个根t1，t且t1＝1，t2∈1∴t1＋t2＝－a∈5则－2<a<－54,即a的取值范围是5.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R,2f(x)−g(x)＝3x恒成立，若函数y＝3f(x)＋2g(A.(－∞，－25) B.(0，23)C.(23,25) D.(25,＋【答案】A【解析】由2f(x)−g(x)＝3x可得f(x)－g(x)所以f(－x)－g(－x)＝2×3x，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(x)＋g(x)＝2×3x，②由①②，可得f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x，所以y＝3f(x)＋2g(x)＋m＝3(3x＋3－x)＋2(3x－3－x)＋m＝5×3x＋3－x＋m，令y＝0，上式可化为5×32x＋m×3x＋1＝0，令t＝3x(t>0)，方程可化为5t2＋mt＋1＝0，因为函数t＝3x是增函数，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点，只需要方程5t2＋mt＋1＝0有两个不相等的正实数根，记为t1，t2.有Δ＝m2−20>0,故所求实数m的取值范围为(－∞，－25).6.已知函数f(x)＝2x＋22,x≤1,|log2(x−1)|,x>1,A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】令t＝f(x)，则t≥0，若F(x)＝0，则f(t)－2t－32＝0作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋32,由图象可得有两个交点，设横坐标分别为t1，t2，t1<t∴t1＝0，t2∈(1，2).当f(x)＝t1时，有x＝2，即有一解；当f(x)＝t2时，有三个解，综上，F(x)＝0共有4个解，即函数F(x)有4个零点.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有()A.若1x1＋1xB.若x1<1<x2，则a>3C.若0<α<β<π2,且x1＝tanα，x2＝tanβ，则α＋D.若x1，x2均小于2，则a∈(－∞，－2)∪2【答案】ABD【解析】∵x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，∴Δ＝4a2－8>0，∴a>2或a<－2.由根与系数的关系得x1＋x2＝2a，x1x2＝2，∵1x1则2x1x2＝x1＋x2，∴4＝2a，∴a＝2，故A正确；令f(x)＝x2－2ax＋2，若x1<1<x2，则f(1)<0，得a>32,故若0<α<β<π2,且x1＝tanα，x2＝tanβ，则x1＋x2由Δ>0,2a>0,∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1−tan又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β为钝角，故C不正确；若x1，x2均小于2，则f即4−4∴a∈(－∞，－2)∪2,32,8.已知函数f(x)＝ex−2A.函数y＝f(x)－x有2个零点B.若函数y＝f(x)－t有4个零点，则t的取值范围为(1，2)C.若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝1D.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根，则α的取值范围为2,【答案】BD【解析】函数y＝e|x－2|的图象关于直线x＝2对称，函数y＝－x2－2x＋1的图象开口向下，关于直线x＝－1对称，当x≥2时，f(x)＝ex－2单调递增，当0<x<2时，f(x)＝e2－x单调递减，当x<－1时，f(x)＝－x2－2x＋1单调递增，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2－2x＋1单调递减，函数y＝f(x)－x的零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x，如图1，观察图象知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝x有3个交点，因此函数y＝f(x)－x有3个零点，A错误；函数y＝f(x)－t的零点，即方程f(x)＝t的根，亦即函数y＝f(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的