级数考试题及答案

级数考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.发散的B.条件收敛的C.绝对收敛的D.无法判断2.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$（）A.收敛B.发散C.可能收敛也可能发散D.无法确定3.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$是（）A.发散的B.绝对收敛的C.条件收敛的D.无法判断4.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径为$R$，则幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n$的收敛区间为（）A.$(-R,R)$B.$(2-R,2+R)$C.$(-\infty,+\infty)$D.无法确定5.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}a_n=$（）A.0B.1C.无穷大D.不确定6.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收敛级数B.调和级数C.等比级数D.绝对收敛的级数7.对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，若$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，当$\rho>1$时，级数（）A.收敛B.发散C.可能收敛可能发散D.无法判断8.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收敛域为（）A.$(-1,1)$B.$[-1,1]$C.$(-1,1]$D.$[-1,1)$9.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断10.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$的和为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{8}$二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列级数中，收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$2.关于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，以下说法正确的有（）A.必有收敛半径B.收敛区间以原点为中心C.收敛域一定包含原点D.收敛半径只与系数$a_n$有关3.下列级数中，绝对收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$4.设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，以下结论正确的有（）A.若$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$收敛B.若$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$发散C.若$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$可能收敛D.若$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛5.正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的判别方法有（）A.比较判别法B.比值判别法C.根值判别法D.莱布尼茨判别法6.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$的收敛情况有（）A.仅在$x=x_0$处收敛B.在$(-\infty,+\infty)$上收敛C.存在收敛半径$R$，在$(x_0-R,x_0+R)$内收敛D.以上都不对7.对于交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$），满足（）时收敛。A.$u_{n+1}\lequ_n$B.$\lim_{n\to\infty}u_n=0$C.$u_{n+1}\gequ_n$D.$\lim_{n\to\infty}u_n=1$8.下列关于级数的性质正确的有（）A.级数的每一项同乘一个非零常数，敛散性不变B.增加或减少有限项，级数的敛散性不变C.收敛级数可以任意加括号，其和不变D.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$收敛9.若幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在$x=x_1$处收敛，则（）A.它在$|x|<|x_1|$内绝对收敛B.它在$|x|>|x_1|$内发散C.它在$x=-x_1$处一定收敛D.它在$x=x_1$的邻域内收敛10.以下级数中，发散的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}n$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}2^n$三、判断题（每题2分，共10题）1.若$\lim_{n\to\infty}a_n=0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$一定收敛。（）2.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$一定发散。（）3.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R$唯一。（）4.正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$若满足$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$，则级数收敛。（）5.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$一定发散。（）6.交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$），只要$u_n$单调递减，级数就收敛。（）7.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$，当$p>1$时收敛，当$p\leq1$时发散。（）8.若幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在$x=1$处发散，则它在$x=2$处一定发散。（）9.增加或减少级数的有限项，其和不变。（）10.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}$也收敛。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述正项级数比值判别法的内容。答：对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，设$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$。当$\rho<1$时，级数收敛；当$\rho>1$（包括$\rho=+\infty$）时，级数发散；当$\rho=1$时，判别法失效。2.什么是幂级数的收敛半径？如何求？答：幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$存在一个正数$R$，在$|x|<R$内绝对收敛，$|x|>R$时发散，$R$叫收敛半径。若$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则$R=\frac{1}{\rho}$（$\rho=0$时，$R=+\infty$；$\rho=+\infty$时，$R=0$）。3.简述交错级数收敛的莱布尼茨判别法。答：对于交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$），若满足$u_{n+1}\lequ_n$（$n=1,2,\cdots$）且$\lim_{n\to\infty}u_n=0$，则该交错级数收敛。4.级数收敛和绝对收敛有什么关系？答：若级数$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，则称$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛，绝对收敛的级数一定收敛。但收敛的级数不一定绝对收敛，若级数收敛而不绝对收敛，则称为条件收敛。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$（$p>0$）的敛散性。答：当$p>1$时，$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收敛，原级数绝对收敛；当$0<p\leq1$时，$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\right|$发散，但满足莱布尼茨判别法条件，原级数条件收敛。2.讨论幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛域。答：先求收敛半径$R$，由$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$，得$R=1$。当$x=1$时，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散；当$x=-1$时，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$收敛，所以收敛域为$[-1,1)$。3.对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$，若$u_n\leqv_n$（$n=1,2,\cdots$），且$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，讨论$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$的敛散性。答：根据正项级数比较判别法，因为$u_n\leqv_n$（$n=1,2,\cdots$）且$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，所以$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛。4.讨论级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的敛散性，若收敛求其和。答：该级数可拆为$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$。其部分和$S_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\fra