《函数的极限与导数应用：大一数学教学教案》

《函数的极限与导数应用：大一数学教学教案》一、教案取材出处，《函数极限与导数应用》，高等教育出版社，2019。，《高等数学教程》，北京大学出版社，2020。，《数学分析基础》，清华大学出版社，2018。二、教案教学目标学生能够理解并掌握函数极限的概念及计算方法。学生能够掌握导数的定义及其计算方法，并能运用导数解决实际问题。培养学生的逻辑思维和推理能力，提高数学素养。三、教学重点难点教学内容教学重点教学难点1.函数极限的概念及计算方法（1）理解函数极限的定义；（2）掌握函数极限的四则运算法则；（3）掌握无穷小量的比较方法。（1）对极限定义的理解；（2）无穷小量的比较方法；（3）复杂函数极限的计算。2.导数的定义及其计算方法（1）理解导数的定义；（2）掌握导数的运算法则；（3）能够运用导数解决实际问题。（1）导数定义的理解；（2）导数的计算方法；（3）导数在实际问题中的应用。3.利用导数解决实际问题（1）掌握利用导数求解函数的最值；（2）掌握利用导数求解函数的凹凸性；（3）掌握利用导数求解函数的渐近线。（1）对导数应用的理解；（2）复杂问题的求解；（3）导数在实际问题中的应用。四、教案教学方法案例分析法：通过分析具体的数学问题，引导学生理解和应用函数极限与导数的概念。问题引导法：提出具有启发性的问题，引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。互动式教学：鼓励学生参与课堂讨论，通过小组合作，共同解决问题。多媒体辅助教学：利用PPT、视频等教学资源，直观展示数学概念和计算过程。五、教案教学过程函数极限的概念及计算方法导入：通过展示一组极限的实例，引出函数极限的概念。“同学们，请看屏幕上的这组数列：1,1.5,1.25,1.125,…,我们能否找到一个数，使得这个数列的值越来越接近这个数呢？这就是我们今天要学习的函数极限。”讲解：详细讲解函数极限的定义和性质。“我们来定义什么是函数的极限。假设我们有一个函数f(x)，当x趋向于某个值a时，如果f(x)的值能够无限接近某个数L，我们就说L是f(x)在x趋向于a时的极限。”举例：通过具体的例子，帮助学生理解极限的概念。“比如，我们来看这个函数f(x)=x^2。当x趋向于0时，f(x)的值趋向于0，所以0是f(x)在x趋向于0时的极限。”练习：让学生进行练习，巩固对极限概念的理解。“请同学们尝试计算以下极限：lim(x→2)(x^24)/(x2)。”导数的定义及其计算方法导入：通过展示函数图像，引出导数的概念。“同学们，我们知道函数的图像可以展示函数的变化趋势。那么，如何更精确地描述函数在某一点的局部变化率呢？这就引出了导数的概念。”讲解：详细讲解导数的定义和计算方法。“导数是描述函数在某一点处局部变化率的量。对于函数f(x)，如果存在一个极限，使得该极限值等于函数在该点的切线斜率，那么这个极限值就是函数在该点的导数。”举例：通过具体的例子，帮助学生理解导数的概念。“比如，对于函数f(x)=x^2，在x=1处的导数是多少呢？我们可以通过计算f’(1)来得到这个值。”练习：让学生进行练习，巩固对导数概念的理解。“请同学们计算以下函数在指定点的导数：f(x)=x^32x，求f’(0)。”利用导数解决实际问题导入：通过展示实际问题，引出导数在实际问题中的应用。“同学们，导数不仅在数学理论中重要，而且在实际问题中也有着广泛的应用。比如，我们可以利用导数来求解函数的最值。”讲解：讲解如何利用导数求解函数的最值。“当我们要求一个函数的最值时，可以首先求出函数的导数，然后找到导数为0的点，这些点可能是函数的极值点。”举例：通过具体的例子，帮助学生理解导数在实际问题中的应用。“比如，一个公司生产一种产品，其成本函数为C(x)=10005x0.5x^2，求x使得成本最小。”练习：让学生进行练习，巩固对导数在实际问题中的应用。“请同学们计算以下问题：一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，体积为V=xyz，求长方体的表面积S关于x、y、z的变化率。”六、教案教材分析教材内容教学分析函数极限的定义及性质重点讲解函数极限的定义、四则运算法则以及无穷小量的比较方法，难点在于对极限定义的理解和复杂函数极限的计算。导数的定义及计算方法重点讲解导数的定义、运算法则以及在实际问题中的应用，难点在于导数的计算方法和导数在实际问题中的应用。利用导数解决实际问题重点讲解利用导数求解函数的最值、凹凸性和渐近线，难点在于对导数应用的理解和复杂问题的求解。七、教案作业设计课后习题任务：让学生完成教材中的习题，包括函数极限和导数的定义与计算。具体操作：首先让学生独立完成习题，不允许查阅任何教材或资料。完成后，收集习题答案，检查学生是否理解并正确应用了课堂上学到的概念。项目研究任务：学生分组选择一个实际应用问题，利用函数极限和导数进行数学建模。具体操作：分组讨论并确定研究课题，例如“设计一个简单的抛物线运动模型来预测篮球投篮轨迹”。每组学生在课后进行研究，收集相关数据和文献资料。下次上课时，每个小组汇报他们的研究结果，包括数据分析和结论。实践练习任务：让学生实际测量并计算一些常见物理量的变化率。具体操作：给学生分配不同的物理量，如自由落体运动的速度变化率、液体流动速度等。学生在实验室内进行测量，记录数据。回到课堂上，学生使用导数概念计算变化率，并进行比较讨论。实验项目实验目的实验步骤实验工具自由落体运动速度变化率计算自由落体运动的速度变化率1.使用秒表测量不同高度下的下落时间；2.计算平均速度和变化率；3.分析结果。秒表、卷尺、记录表液体流动速度计算液体通过狭窄通道的速度变化率1.使用流量计测量液体流量；2.记录液体通过狭窄通道的时间；3.计算速度变化率。流量计、计时器、记录表八、教案结语同学们，通过今天的课程，我们学习了函数极限和导数的基本概念，并且看到了它们在实际问题中的应用。我想提醒大家，数学不仅是纸上谈兵，更是解决实际问题的有力工具。我能够将今天所学应用到日常的学习和生活中去。在的时间里，