2025-2026学年广东广大附中花都学校九年级(上)12月考数学试题含答案

初中2025—2026学年第一学期12月学情调研九年级数学（问卷）本试卷共25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求）1.下列图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）A. B.C. D.4.一元二次方程配方后可化为（）．A B. C. D.5.如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（）A. B. C. D.6.抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.7.如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（）A.4 B. C.6 D.9.如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（）A.①④⑥ B.②⑤⑥ C.②③⑤ D.①⑤⑥10.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（）A.13 B.14 C.12 D.28二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11.一元二次方程的根是______．12.如图，将绕点C顺时针旋转30°得到，边，相交于点F，若，则的度数为______．13.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．14.若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____．15.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____．16.如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为______．三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17解方程：18.图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上．（1）画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的（2）在（1）中，求在旋转过程中扫过的面积．19.已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值．20.如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E．（1）求证：直线是切线（2）若，的半径为5，求的长．21.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是，身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶．（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？22.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？23如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点B作交的延长线于点E，若，，求的面积．24.将正方形的边，绕着点顺时针旋转至，连接．（1）如图1，连接，若，则___________．（2）如图2，与关于正方形的中心对称（其中点的对称点分别是点，连接，过点作交的延长线于点，连接．①求的度数；②若，请直接写出的长．25.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

2025—2026学年第一学期12月学情调研九年级数学（问卷）本试卷共25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求）1.下列图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，根据中心对称图形的定义逐个判断即可解答．【详解】解：选项A：是中心对称图形，不符合题意；选项B：是中心对称图形，不符合题意；选项C：不是中心对称图形，符合题意；选项D：是中心对称图形，不符合题意；故选：C．2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标．对于顶点式（其中），顶点坐标为，直接对比给定函数即可得出顶点坐标．【详解】解：∵抛物线解析式为，符合顶点式形式，∴顶点坐标．故选：B．3.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案．【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是，故选：C．4.一元二次方程配方后可化为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：，移项得：，配方得：，即．故选：A．5.如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆的知识，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，结合直径所对圆周角为直角即可求得答案．【详解】解：连接，如图，∵，∴，∵为的直径，∴，则，故选：B．6.抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．7.如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故选B．8.如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接，根据作图知垂直平分，∴，，∴，即，∵线段是半圆O的直径，∴，在中，根据勾股定理得，，故选B．【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．9.如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（）A.①④⑥ B.②⑤⑥ C.②③⑤ D.①⑤⑥【答案】B【解析】【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到；进而得到同号，再有抛物线开口向上，与轴交于负半轴，可得，，从而得到；再由抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当时，，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线，∴，即，故①错误；∵，∴，即同号，∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴，∴，，∴，∴，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为A（－4，0），∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误；∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），∴当时，，即抛物线与直线只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，故④错误；观察图象得：当时，，在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，即此时随的增大而增大，又当时，，∴，故⑤正确；观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，∴不等式的解集为，故⑥正确；∴正确的有②⑤⑥．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（）A.13 B.14 C.12 D.28【答案】D【解析】【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果．【详解】解：连接，∵，∴，∵点A、点B关于原点O对称，∴，即点中点，∴，若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为，则，∴，又∵，∴，∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，∴的最大值为，∴的最大值为．故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11.一元二次方程的根是______．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：，，

或，

解得，，故答案为：，．12.如图，将绕点C顺时针旋转30°得到，边，相交于点F，若，则的度数为______．【答案】118°##180度【解析】【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，得∠ACD=30°，∠A=∠D=32°，进而根据三角形的内角和定理得结果．【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC，∴∠ACD=30°，∠A=∠D=32°，∴∠DFC=180°-（∠ACD+∠D）=180°-（32°+30°）=118°，故答案为：118°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．【答案】2【解析】【详解】解：扇形的弧长==2πr，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．14.若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____．【答案】3【解析】【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，解得：a＝3或a＝﹣3，∵a+3≠0，即a≠﹣3，∴a＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．15.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____．【答案】8【解析】【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．【详解】连接AD，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴AD=BD=5．∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB==10．∵AC=6，∴BC==8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．16.如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；连接，，，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，进而勾股定理求得，即可求解．【详解】连接，，，取的中点，连接，，是的中点，，，点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，，，，，的最大值为，故答案为：.三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.解方程：【答案】，【解析】【分析】本题考查解一元二次方程．根据公式法求解即可．【详解】解：，则方程有两个不相等的实数根，即，18.图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上．（1）画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的（2）在（1）中，求在旋转过程中扫过的面积．【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；（2）根据扫过的面积等于扇形的面积与的面积和，列式进行计算即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】由题可得，扫过的面积．19.已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．()利用根的判别式，即可求出答案；()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答．【小问1详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，∴，即，解得：；【小问2详解】∵，是该方程的两个根，∴，，∴，整理得：，解得，∵，∴．20.如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E．（1）求证：直线是的切线（2）若，的半径为5，求的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答．（2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答．【小问1详解】证明：连接，如图1所示：平分，，，，，，，，点在上，直线是的切线；【小问2详解】解：作，垂足为，如图2所示：，在和中，，，，，，，在中，，．21.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是，身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶．（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？【答案】（1）（2）绳子能碰到小兵的头，小兵不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶【解析】【分析】本题考查的是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的性质求解最大值，利用二次函数的图象解不等式，解题的关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．（1）设抛物线的解析式为：（），把小涵拿绳子的手的坐标是，小军拿绳子的手的坐标以及小丽头顶坐标代入，得到三元一次方程组，解方程组便可；（2）利用二次函数的性质求解函数的最大值，再与比较即可得到答案．【小问1详解】设抛物线的解析式为：（），∴抛物线经过点∴解得，∴绳子对应的抛物线的解析式为：；【小问2详解】身高的小兵，不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶，理由如下：，当时，∴绳子能碰到小兵的头，小兵不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶．22.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）（2）80元【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【小问1详解】解：依题意，得：，与的函数关系式为；【小问2详解】设每月总利润为元，依题意得：，，此图象开口向下，当时，有最大值，最大值为4500元，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．23.如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点B作交的延长线于点E，若，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．根据，分别求出，的面积，即可求得四边形的面积，然后通过证得，即可求得的面积四边形的面积．【小问1详解】证明：四边形内接于圆．，，，平分，，，，，是等边三角形．【小问2详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．，，，，，，，，，中，，，是等边三角形，，，，四边形的面积，，，，，，四边形内接于，，在和中，，，的面积四边形的面积．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24.将正方形的边，绕着点顺时针旋转至，连接．（1）如图1，连接，若，则___________．（2）如图2，与关于正方形的中心对称（其中点的对称点分别是点，连接，过点作交的延长线于点，连接．①求的度数；②若，请直接写出的长．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由正方形和旋转可得，，，结合得到是等边三角形，即可得到，利用等腰三角形得到，求出，（2）①连接与交于点，连接，过点A作，交延长线于点Q，设，则，，得到，再由对称得到，，，即可得到四边形是平行四边形，得到，推出，再证明，得到；②过点作于，过点作于，先证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，最后根据结合三线合一得到．【小问1详解】解：∵正方形的边，绕着点顺时针旋转至，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：；【小问2详解】解：①连接与交于点，连接，过点A作，交延长线于点Q，则，∵四边形是正方形，，∴，，正方形的中心为O，，，设，，，，∵点A、E对称点分别是点C、F，∴，，，∴四边形是平行四边形，，又，，，，，，，即，在和中，，，；②过点作于，过点作于，则，，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质．25.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【答案】（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；（2）四边形面积的最大值为8，点M的坐标