2025-2026学年广东广州四中高一(上)期中考数学试题含答案

高中2025学年第一学期期中“三校联考”检测题高一级数学（问卷）（满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，一共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）．A. B. C. D.2.已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.3.设，则（）A. B. C. D.4.已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（）A B.C. D.6.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（）AB.C.D.7.已知函数定义域为，且为奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.48.对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（）A.函数的图象不关于原点对称B.函数的值域为C.对于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各选项给出的数学命题中，正确的是（）A.函数与是相同函数B.命题“所有素数都是奇数”的否定是假命题C.函数的图象必过定点D.若的定义域是，则函数的定义域是10.已知正数，满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是1 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最大值是11.定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（）A.B.是奇函数C.在上单调递增D.不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为_____________13.已知函数，则的值为___________________.14.设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，（1）若时，求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.已知函数，.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）解不等式：.17.已知，，．（1）若，，且函数为奇函数，求的值．（2）若，且存在，使得成立，求的取值范围．18.某地区上年度电价为元/（kW·h），年用电量为kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价-成本价））（1）写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式；（2）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长?（3）当时，求收益的最小值.19.已知函数．（1）若，求函数的值域；（2）若存在实数，使不等式成立，求实数m的取值集合；（3）设，是否存在实数a，使得记最小值为?若存在，请求出所有符合条件的实数a；若不存在，请说明理由．

2025学年第一学期期中“三校联考”检测题高一级数学（问卷）（满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，一共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解【详解】由题意，集合，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：C.2.已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的概念判断即可.【详解】当时，取，不满足，故不是p的充分条件，故A不合题意；是p的充要条件，故B不合题意；集合是的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确；当时，取，不满足，故不是p的充分条件，故D错误，故选：C.3.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.【详解】在上单调递增，在上单调递减，．故选：A．4.已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由分段函数的单调性得到求解即可；【详解】由是上的增函数，需满足：解得，故选：D.5.定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集.【详解】因为且，都有，所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，又，所以，所以当或时，，当或时，，不等式，即或，解得或，所以满足不等式实数的取值范围为.故选：D6.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及单调性即可判断C【详解】A选项：时，，故A错误；B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误；C选项：记，则，故为偶函数，当时，，此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确；D选项：记，则，故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.故选：C7.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】利用的奇偶性得到，再对进行赋值即可求解.【详解】为奇函数，，函数的定义域为，令，得，，令，得，当时，，，即，.故选：D.8.对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（）A.函数的图象不关于原点对称B.函数的值域为C.对于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集为【答案】D【解析】【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项.【详解】对于A：当时，，当时，，所以的图象不是关于原点对称，故A正确；对于B：由取整函数的定义知，，所以，函数的值域为，故B正确：对于C：由取整函数的定义知，，所以，故C正确；对于D：由得，解得，结合取整函数的定义可得，故D错误.故选：D.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各选项给出的数学命题中，正确的是（）A.函数与是相同函数B.命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题C.函数的图象必过定点D.若的定义域是，则函数的定义域是【答案】ACD【解析】【分析】利用相同函数的定义判断A；求出全称量词命题的否定并确定真假判断B；求出图象所过定点判断C；利用抽象函数定义域列式求解判断D.【详解】对于A，函数与的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，A正确；对于B，命题“所有的素数都是奇数”的否定是“存在素数不是奇数”，比如2是素数，但2不是奇数，是真命题，B错误；对于C，函数图象必过定点，C正确；对于D，依题意，，解得，因此的定义域是，D正确.故选：ACD10.已知正数，满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是1 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最大值是【答案】BD【解析】【分析】对于A，由基本不等式得的最大值是1即可判断；对于B，变形结合基本不等式得即可计算得解；对于C，由基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；对于D，将消元变形为一元二次函数即可求解判断.【详解】，为正数，且满足，则且，所以，，对于A，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值是1，故A错误；对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是2，故B正确；对于C，，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故C错误；对于D，，所以当时，有最大值，故D正确.故选：BD.11.定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（）A.B.是奇函数C.在上单调递增D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】由函数关系取可求判断A，取可得的关系，结合奇函数定义判断B，利用单调性定义证明函数在上单调递减，判断C，结合函数性质解不等式判断D.【详解】因为，取可得，所以，A正确；函数的定义域为，定义域关于原点对称，由，用替换可得，，所以，即，所以函数为奇函数，B正确；任取，，则，又当时，，且，所以，故，所以函数在上单调递减，C错误；因为，所以不等式可化为，所以，又函数在上单调递减，所以，所以，所以不等式的解集为，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为_____________【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义不等式组，求出解集即可．【详解】由，解得，且，所以函数的定义域为.故答案为：.13.已知函数，则的值为___________________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合指对数的运算律化简求值.【详解】因为，所以.故答案为：.14.设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集.【详解】不妨设，由得，即，故上单调递增，因为为R上的奇函数，所以，的定义域为，且，故为偶函数，在上单调递减，当时，，因为，所以，故，即，解得，当时，，因为，所以，故，解得；当时，，符合题意；故不等式的解集为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据题意，得，设在上单调递增，且为偶函数，根据性质可解不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，（1）若时，求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即可求得所求；（2）由题设条件得到是A的真子集，利用数轴法即可求得结果.【小问1详解】因为，所以，又因为，所以，或，故.【小问2详解】因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集，因为，所以，解得，故，当时，是A的真子集，满足题意；当时，是A的真子集，满足题意；所以.16.已知函数，.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）解不等式：.【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）任取且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性；（2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式【小问1详解】函数在区间上是增函数；任取且，即，，因为，则，，，即，所以函数在区间上是严格增函数；【小问2详解】由（1）可知函数在区间上是严格增函数，且，因此由可得.因此，不等式的解集为.17.已知，，．（1）若，，且函数为奇函数，求的值．（2）若，且存在，使得成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，由为奇函数可得，解方程求即可，（2）由条件化简可得存在，使得成立，故，其中，结合指数函数的单调性求函数的最小值，由此可得结论.【小问1详解】设，因为，，，所以，因为函数为奇函数，所以，即，所以，又，所以【小问2详解】因为，所以，所以不等式，可化为，所以，所以，由已知存在，使得成立，所以，其中，因为函数在上单调递减，所以函数在的最小值为，所以，所以的取值范围为．18.某地区上年度电价为元/（kW·h），年用电量为kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价-成本价））（1）写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式；（2）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长?（3）当时，求收益的最小值.【答案】（1），（2）0.6元/（kW.h）（3）【解析】【分析】（1）根据题意表示出下调电价后新增用电量，从而得到电力部门的收益的表达式，由此得解；（2）当时，代入表达式中列出不等式，解之即可得解；（3）当时，代入收益中，利用基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意知，下调电价后新增用电量为，故电力部门的收益，.【小问2详解】当时，，由题意知且，化简得，解得或，又，，所以实际电价最低