人教A版必修第二册高一（下）数学7.2.2 复数的乘、除运算【课件】

1.复数的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.两个复数的积是一个确定的复数.特别地,当z1,z2都是实数时,把它们看作复数时的积就是

这两个实数的积.7.2.2复数的乘、除运算1|复数的乘法运算知识点必备知识清单破2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有①交换律:z1z2=z2z1;②结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);③分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的除法法则:(a+bi)÷(c+di)=

+

i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).由此可见,两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.2|复数的除法运算知识点若记z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为

,则

=a-bi.对于z与

有如下性质:(1)两个共轭复数对应的点关于实轴对称;(2)实数的共轭复数是它本身,即z=

⇔z∈R;(3)共轭复数的和为实数,即z+

=2a∈R;(4)z·

=|z|2=|

|2=a2+b2;(5)

=

+

;(6)

=

.3|共轭复数的性质知识点

1.若z1,z2∈C,且

+

=0,则z1=z2=0,对吗?2.若z∈C,则z2=|z|2,对吗?3.若

>1,则z1>z2,对吗?4.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减吗?知识辨析1.不对.比如z1=1+i,z2=1-i,满足(1+i)2+(1-i)2=0,但z1≠0,z2≠0.2.不对.设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,当ab≠0时,z2≠|z|2.3.不对.比如z1=2+2i,z2=1+i,

=2>1,但z1,z2不能比较大小.4.是.复数加减乘除的混合运算和实数一样,先乘除后加减.一语破的1.两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤(1)按多项式的乘法展开;(2)将i2换成-1;(3)进行复数的加、减运算.常用公式:①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.1|复数的乘除运算定点关键能力定点破2.两个复数代数形式的除法运算的一般步骤(1)在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R)写成

的形式.(2)复数的除法的实质是分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数(若分母是纯虚数,则

只需同乘i).(3)将分子、分母分别进行乘法运算,并化简.常用结论:

=-i;

=i;

=-i.3.复数的积、商的模两个复数积、商的模等于它们模的积、商.证明如下(a,b,c,d∈R):(1)|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(bc+ad)i|=

===|a+bi||c+di|.(2)

=

=

=

=

=

(c+di≠0).已知复数z=

,

是z的共轭复数,则z·

等于

(

)A.

B.

C.1

D.2典例

A解析

解法一(利用复数的运算法则求解):因为z=

=

=

=

=

=-

+

,所以

=-

-

,所以z·

=

+

=

.解法二(利用共轭复数的性质求解):因为z=

,所以|z|=

=

=

=

,所以z·

=|z|2=

.计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,有如下结论:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中i0=1,i-n=

(n∈N).说明:(1)上述公式说明i的乘方运算的结果具有周期性,且最小正周期是4,即有i4n+i4n+1+i4n+2

+i4n+3=0(n∈N).(2)n可推广到整数集.2|in(n∈N)的周期性及其应用定点计算:(1)

·

·

·…·

;(2)1+i+i2+i3+…+i2023.典例

解析

(1)因为

=i,所以原式=i·i2·i3·…·i10=i1+2+3+…+10=i55=i3=-i.(2)因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N,所以1+i+i2+i3+…+i2023=1+i+i2+i3+(i4+i5+i6+i7)+(i8+i9+i10+i11)+…+(i2020+i2021+i2022+i2023)=0+0+0+…+0=0.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法:(1)求根公式法①当Δ≥0时,x=

;②当Δ<0时,x=

(此时,两根互为共轭复数).(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等

的定义求解.注意:根与系数的关系在复数范围内仍然成立.3|复数范围内的实系数一元二次方程根的问题定点已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根.(1)求b,c的值;(2)试判断1-i是不是方程的根.典例

解析

(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+