人教A版必修第二册高一（下）数学8.3 简单几何体的表面积与体积【课件】

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.侧面积是指侧面的面

积.一般地,表面积=侧面积+底面积.8.3简单几何体的表面积与体积1|柱体、锥体、台体的表面积知识点必备知识清单破2.圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱:S侧=2πrl,S表=2πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长).圆锥:S侧=πrl,S表=πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长).圆台:S侧=π(r'+r)l,S表=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分别是上、下底面半径,l是母线长).圆柱、圆锥与圆台的侧面积公式之间的关系:

S圆柱侧=2πrl

S圆台侧=π(r'+r)l

S圆锥侧=πrl.1.柱体、锥体、台体的体积公式

V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);

V锥体=

Sh(S为底面积,h为锥体高);

V台体=

h(S'+

+S)(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).2.柱体、锥体与台体的体积公式之间的关系

V柱体=Sh

V台体=

(S'+

+S)h

V锥体=

Sh.2|柱体、锥体、台体的体积知识点设球的半径为R,则它的表面积为S球=4πR2,体积为V球=

πR3.3|球的表面积和体积知识点

1.棱台的侧面展开图是由什么图形组成的?2.圆锥、圆台的侧面展开图中的弧长与相应底面圆的周长有什么样的关系?3.棱柱的体积可以用底面积与侧棱长的乘积表示吗?4.台体的体积除了用台体体积公式计算,还可以怎么计算?知识辨析

1.梯形.2.对应相等.3.当棱柱是直棱柱时可以,当棱柱是斜棱柱时,可以用垂直于侧棱的截面面积乘侧棱长来求解.4.还可以利用两个锥体的体积之差计算.一语破的1.求柱体、锥体、台体的表面积,先计算侧面积与底面积,再求和即可.求球的表面积,只需根

据题意找到半径,代入公式即可.对于棱台和棱锥,计算侧面积时,要注意利用底面内的线段、高、斜高、侧棱构造直角

三角形、直角梯形.对于圆柱、圆锥、圆台,求表面积时要熟悉其几何特征及侧面展开图的

特征.2.求组合体的表面积时,首先应弄清它的组合方式,其表面由哪些面构成,再根据公式求出各

面的面积,最后相加或相减求解.涉及与旋转体有关的组合体的表面积,一般考虑利用轴截面

求解.1|计算空间几何体的表面积定点关键能力定点破已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积

和表面积.典例1解析

如图,在正四棱锥P-ABCD中,易知高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.由已知得OE=2cm,∠OPE=30°,∴PE=

=4cm.因此S侧=4×

×BC×PE=4×

×4×4=32(cm2),S底=4×4=16(cm2),∴S表=S侧+S底=32+16=48(cm2).

如图,圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆

柱的表面积和圆锥的表面积之比.

典例2解析

画出轴截面,如图,设圆柱、圆锥的底面半径分别是r,R,圆锥的母线长为l,则l=

R,

=

,∴R=2r.设圆柱和圆锥的表面积分别为S1和S2,则

=

=

=

=

=

-1.

求几何体体积的常用方法1.公式法:直接代入公式求解.2.等体积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.3.补体法:将几何体补成易求解体积的几何体,再利用两几何体之间的体积关系求解.常见的补体有:①可将正四面体补为正方体,如图所示.2|计算空间几何体的体积定点②可将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示(PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC).③可将三棱柱补成平行六面体,如图所示.④可将台体补成锥体,如图所示.③可将三棱柱补成平行六面体,如图所示.④可将台体补成锥体,如图所示.4.分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积,再相加.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任

意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.

典例解析

连接EB,EC,则该多面体由四棱锥E-ABCD和三棱锥F-EBC组成(分割法).易得

=

×42×3=16.∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△ABE=2S△BEF,∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-BEF(等体积法)=

=

(等体积法)=

×

V四棱锥E-ABCD=4.∴多面体ABCDEF的体积为V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.一题多解

由V斜三棱柱=S直截面×侧棱长,可知本题还可求解如下:①(分割法)设AB,CD的中点分别为M,N,连接MN,EM,EN,则V多面体ABCDEF=V四棱锥E-AMND+V三棱柱EMN-FBC=

×8×3+

×4×3×2=20.②(补体法)延长EF到G,使EG=AB,连接BG,CG,则V三棱柱BCG-ADE=

×4×3×4=24,设多面体ABCDEF的体积为V,则V=24-V三棱锥F-BCG=24-V三棱锥E-ADF=24-(V-V四棱锥F-ABCD)=24-V+16,故V=20.专题疑难突破空间几何体的外接球和内切球几何体外接球和内切球问题是立体几何的一个重点和难点,也是高考考查的一个热点,

一般在选择题中出现,难度中上.此类问题要求学生具有较强的空间想象能力和计算能力,能

发展学生的数学抽象和数学运算素养.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一

般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.解决此

类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”或“接

点”,作出轴截面,把空间问题转化为平面问题来解决.3.与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心;正方体的面对角线长为球的直径,球的半径R=

a.二、长方体的外接球(长方体的长、宽、高分别为a,b,c)长方体外接球的球心是体对角线的交点;长方体的体对角线长为外接球的直径,外接球

的半径R=

.一、正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球(正方体的棱长为a)1.外接球:球心是正方体的中心;正方体的体对角线长为外接球的直径,外接球的半径R=

a.2.内切球:球心是正方体的中心;正方体的棱长为内切球的直径,内切球的半径R=

.三、棱锥的外接球、内切球1.可补形成长方体的三棱锥的外接球(1)一条侧棱为高且底面是直角三角形的三棱锥:设三棱锥的高为c,底面相互垂直的两条棱的

长分别为a和b,将三棱锥补成长方体,如图①②③所示,三棱锥的外接球的直径为长方体的体

对角线长,即外接球的半径R=

.在三棱锥A-BCD中,已知AB,AC,AD两两垂直,且△BCD是边长为2的正三角形,求该三

棱锥的外接球的体积.典例1解析

由题意可得,三棱锥A-BCD为正三棱锥,且可以补成正方体,两者的外接球是同一个,正

方体的体对角线长就是外接球的直径.设AB=x,则AC=AD=x,因为AB⊥AC,所以BC=

x,即

x=2,所以x=

.设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R,则2R=

=

=

,故R=

,所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为

πR3=

π.(2)对棱相等的三棱锥:三棱锥中三组对棱分别相等.在三棱锥A-BCD中,AD=BC=x,AB=CD=y,

AC=BD=z,将三棱锥补成长方体AMDN-QBPC,如图所示.设BP=a,CP=b,DP=c,则

故a2+b2+c2=

,因为长方体的体对角线长为三棱锥的外接球的直径,所以外接球的半径为

=

.

在四面体A-BCD中,AB=CD=

,AD=BC=

,AC=BD=2

,求四面体A-BCD外接球的表面积.典例2解析

由题意可知,四面体A-BCD可补形成长方体BMDN-FCEA,如图所示,

则四面体A-BCD的外接球的直径为长方体的体对角线长,设AE=a,AF=b,AN=c,则

故a2+b2+c2=32,设四面体A-BCD的外接球的半径为R,则(2R)2=32,解得R2=8.所以四面体A-BCD外接球的表面积为4πR2=4×π×8=32π.

2.正四面体的外接球方法1:设正四面体P-ABC的棱长为a,则底面正三角形的外接圆半径r=

a,正四面体的高h=

a.设外接球的半径为R,易知外接球的球心O在高PO1上,如图①所示.在Rt△OAO1中,利用勾股定理可得R2=(h-R)2+r2,即R2=

+

,解得R=

a.

方法2:将正四面体P-ABC补形为正方体,如图②所示.设正四面体P-ABC的棱长为a,则正方体的棱长x=

a,外接球的直径为正方体的体对角线长,设外接球的半径为R,则R=

x=

a.图①图②3.正四面体的内切球如图所示,设正四面体P-ABC的棱长为a,则高PH=

a,斜高PD=

a,DH=

a.设内切球的半径为R,E为斜高PD与球的切点.易知△POE∽△PDH,故

=

,即

=

,解得R=

a.4.正四棱锥的外接球在正四棱锥P-ABCD中,O1是正方形ABCD的中心,O是四棱锥P-ABCD外接球的球心,设正

四棱锥的高为h,底面正方形的外接圆的半径为r,外接球的半径为R,易得r=BO1.当h>r时,外接

球的球心O在四棱锥内部(如图①),根据直角三角形可得R2=(h-R)2+r2;当h=r时,外接球的球心O

与O1重合;当h<r时,外接球的球心O在四棱锥外部(如图②),根据直角三角形可得R2=(R-h)2+r2.

不难发现,R2=(h-R)2+r2和R2=(R-h)2+r2实际上是一样的,所以不需要提前判断外接球的球心是

否在棱锥内部.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该正四棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的

表面积.典例3解析

画出大致图形,如图,

设底面正方形ABCD的中心为O1,正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O,则PO1为正四棱锥的高,O在直线PO1上.设球O的半径为R,则R=AO=PO,在Rt△AOO1中,AO2=A

+O

,即R2=(

)2+(4-R)2,解得R=

.所以该球的表面积为4πR2=

π.5.棱锥的内切球一般利用等体积法求棱锥内切球的半径.先将原棱锥分割成几个以它的内切球球心为顶

点,所有面为底面的新棱锥(各新棱锥的高即为内切球的半径),所有新棱锥的体积之和等于原

棱锥的体积,设内切球的半径为R,则V棱锥=

S表面积R,即R=

.注意:正四面体也可以利用这种方法求内切球的半径.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,内切球的半径为1,求此三棱锥的高.典例4解析

如图,设正三棱锥P-ABC的内切球的球心为O,PH为正三棱锥P-ABC的高,PD为△PAB

中AB边上的高,则O在PH上,

易得DH=

×6sin60°=

,设PH=h,则PD=

,所以S△PAB=

×6×

=3

,由VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC,得

h×

×62×sin60°=

×1×

9

+

×62×sin60°

,即故此三棱锥的高为3.

(h-1)=

,解得h=3或h=0(舍去).四、直棱柱的外接球以底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1为例:方法1:补形成长方体,三棱柱的各个顶点为长方体的顶点,则其外接球与长方体的外接球

相同.方法2:如图,H为底面Rt△ABC的斜边AC的中点,即Rt△ABC的外接圆的圆心,过H作OH

∥AA1,且OH=

AA1,O在矩形AA1C1C内,则O为外接球的球心.在Rt△OHA中,OH2+AH2=OA2,若h为直棱柱的高,r为Rt△ABC外接圆的半径,则外接球的半径R=

.注意:如果直三棱柱的底面不是直角三角形,可利用正弦定理求其外接圆的半径.

五、圆柱的外接球和内切球1.圆柱的外接球设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,外接球的半径为R,如图所示.利用直角三角形可得R2=r2+

,解得R=

.

2.圆柱的内切球内切球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱的底面直径,

即当圆柱的底面直径等于高时,圆柱才有内切球.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰

好与圆柱的高相等,如图.

(1)求圆柱的体积与球的体积之比;(2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.典例

解析

设圆柱的高为h,底面半径为r,球的半径为R,由已知得h=2R,r=R.(1)V圆柱=πr2h=2πR3,V球=

πR3,∴

=

=

.(2)S圆柱=2πrh+2πr2=6πR2,S球=4πR2,∴

=

=

.六、圆锥的外接球和内切球1.圆锥的外接球设圆锥的底面半径、高分别为r、h,外接球的半径为R,如图所示,利用直角三角