2025年大三（统计学）数理统计考核题

2025年大三（统计学）数理统计考核题

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，X̅为样本均值，则下列说法正确的是（）A.X̅服从正态分布N(μ,σ²)B.X̅服从正态分布N(μ,σ²/n)C.(n-1)S²/σ²服从χ²分布D.(X̅-μ)/(S/√n)服从t分布答案：B2.对于给定的显著性水平α，检验假设H₀:μ=μ₀，H₁:μ≠μ₀，当（）时，拒绝H₀。A.|Z|>Zα/2B.|Z|<Zα/2C.|t|>tα/2(n-1)D.|t|<tα/2(n-1)答案：AC3.在一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，ε服从（）A.正态分布N(0,σ²)B.正态分布N(β₀,σ²)C.正态分布N(β₁,σ²)D.正态分布N(β₀+β₁X,σ²)答案：A4.设样本X₁,X₂,…,Xₙ来自总体X，且E(X)=μ，D(X)=σ²，则样本均值X̅的方差D(X̅)为（）A.μB.σ²C.σ²/nD.μ/n答案：C5.若总体X服从正态分布N(μ,σ²)，样本容量为n，则样本方差S²是总体方差σ²的（）A.无偏估计量B.有偏估计量C.一致估计量D.有效估计量答案：A6.在假设检验中，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）A.都增大B.都减小C.都不变D.一个增大一个减小答案：B第II卷（非选择题共70分）二、填空题（共10分）答题要求：本卷共5题，每题2分。请将答案填在题中的横线上。1.设总体X服从正态分布N(0,1)，X₁,X₂,X₃是来自总体X的样本，则(X₁+X₂)²+X₃²服从______分布。答案：χ²(2)2.已知样本均值X̅=10，样本方差S²=4，样本容量n=25，则总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间为______。（t₀.025(24)=2.064）答案：(9.1672,10.8328)3.在一元线性回归分析中，回归系数β₁的最小二乘估计为______。答案：(Lₓᵧ/Lₓₓ)4.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则θ的矩估计量为______。答案：2X̅5.若总体X服从正态分布N(μ,σ²)，样本容量为n，当原假设H₀:μ=μ₀成立时，检验统计量Z=(X̅-μ₀)/(σ/√n)服从______分布。答案：N(0,1)三、简答题（共15分）答题要求：简要回答下列问题。1.简述假设检验的基本思想和步骤。答案：假设检验的基本思想是基于小概率事件原理。先提出原假设H₀和备择假设H₁，然后构造检验统计量，根据给定的显著性水平α确定拒绝域。通过样本数据计算检验统计量的值，若该值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。步骤包括：提出假设、构造检验统计量、确定拒绝域、计算检验统计量值、做出决策。2.什么是无偏估计量？请举例说明。答案：若估计量θ̂的数学期望E(θ̂)等于被估计的参数θ，则称θ̂是θ的无偏估计量。例如，样本均值X̅是总体均值μ的无偏估计量，因为E(X̅)=μ。样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计量，E(S²)=σ²。3.简述一元线性回归模型的基本假设。答案：一元线性回归模型的基本假设包括：解释变量X是非随机变量；随机误差项ε服从正态分布N(0,σ²)；不同观测值对应的随机误差项相互独立；解释变量X与随机误差项ε不相关。四、计算题（共25分）答题要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ已知，σ²未知。X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本。求σ²的极大似然估计量。解：总体X的概率密度函数为f(x;μ,σ²)=(1/√(2πσ²))e^(-(x-μ)²/(2σ²))。似然函数L(σ²)=∏(1/√(2πσ²))e^(-(xᵢ-μ)²/(2σ²))=(1/(2πσ²)^(n/2))e^(-∑(xᵢ-μ)²/(2σ²))。取对数得lnL(σ²)=-n/2ln(2π)-n/2ln(σ²)-∑(xᵢ-μ)²/(2σ²)。对lnL(σ²)求关于σ²的导数并令其为0：dlnL(σ²)/dσ²=-n/(2σ²)+∑(xᵢ-μ)²/(2(σ²)²)=0。解得σ²的极大似然估计量为σ̂²=∑(xᵢ-μ)²/n。2.某工厂生产的某种产品的质量指标X服从正态分布N(μ,σ²)。现从该厂生产的产品中随机抽取25件，测得样本均值X̅=160，样本方差S²=120。在显著性水平α=0.05下，检验该产品的质量指标均值是否为155。解：提出假设H₀:μ=155，H₁:μ≠155。检验统计量t=(X̅-μ₀)/(S/√n)=(160-155)/(√120/√25)≈2.041。自由度n-1=24，t₀.025(24)=2.064。因为|t|=2.041<t₀.025(24)=2.064，所以不拒绝H₀，即认为该产品的质量指标均值是155。五、综合分析题（共20分）答题要求：结合所学知识，对给定的材料进行分析解答。材料：为了研究某地区居民的收入水平与消费支出之间的关系，随机抽取了10户居民作为样本，得到如下数据：|居民编号|收入X（千元）|消费支出Y（千元）||----|----|----||1|8|6||2|10|7||3|12|8||4|14|9||5|16|10||6|18|11||7|20|12||8|22|13||9|24|14||10|26|15|1.建立收入X与消费支出Y之间的一元线性回归方程，并解释回归系数的意义。解：首先计算相关数据：Lₓₓ=∑(xᵢ-X̅)²=220，Lᵧᵧ=∑(yᵢ-Y̅)²=20，Lₓᵧ=∑(xᵢ-X̅)(yᵢ-Y̅)=220。回归系数β₁=Lₓᵧ/Lₓₓ=1，β₀=Y̅-β₁X̅=2。所以回归方程为Ŷ=2+X。回归系数β₁=1表示收入每增加1千元，消费支出平均增加1千元。2.对回归方程进行显著性检验（α=0.05）。解：提出假设H₀:β₁=0，H₁:β₁≠0。检验统计量F=(