山东省济南市平阴县2025-2026学年第一学期九年级数学期中试卷（含答案）

2025-2026学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为(

)A.

B.

C.

D.2.如图，AB//CD//EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么BF的长为(

)A.154

B.94

C.5

3.关于反比例函数y=2x，下列结论正确的是(

)A.图象位于第二、四象限 B.当x<0时，y随x的增大而减小

C.当x>2时，y>1 D.图象与坐标轴有交点4.方程x2−8x+15=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是(

)A.(x−6)2=1 B.(x−4)2=15.已知关于x的一元二次方程x2+5x−m=0的一个根是−6，则另一个根是(

)A.−2 B.2 C.−1 D.16.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为(

)A.8000(1+2x)=1200

B.8000(1+x)2=12000

C.8000+8000(1+x)+8000(1+x7.已知点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=kA.y3<y2<y1 B.8.如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE：AE=1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则▱ABCD的周长为(

)

A.21 B.28 C.34 D.489.如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD.已知AB=3cm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x(单位：cm)，CD长为y(单位：cm)，y随x的变化而变化，且当x=60时，y=43，则y与x的函数关系可表示为(

)

A.y=4360x B.y=23x+310.在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF=ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①CNCF=12；②NM=NC；③CMEG=A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.已知a4=b3，则ab12.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜(如图所示).现从质量为10g，20g，30g的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为

.

13.已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=32，且△ABC和14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=36∘分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE.若AD=4，则BC

15.反比例函数y=kx的图象如图，在△ABC中，∠B=90∘，边BC⊥y轴，边AB⊥x轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且AE：BE=1：2，S△ACE=1，则k

三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题6分)

解下列方程：

(1)2x217.(本小题6分)

若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根x1、x2，

(1)求实数m的取值范围；

(2)若x1+18.(本小题6分)

如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，BC=8，D是BC边上一点，且CD=2.求AC的长.19.(本小题8分)

某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．

(1)若销售单价为每件52元，求每天的销售利润；

(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品的售价应为多少元？20.(本小题10分)

在一个不透明的口袋里装有红色、蓝色、白色三种小球，这些小球除颜色外都相同，其中红球有1个，蓝球有2个.从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在12附近.

(1)口袋中白球的数量为______个；

(2)小明和小颖玩摸球游戏，规则如下：两人同时从口袋中各摸出1个小球，若两人摸出的小球颜色相同，则小明获胜；若两人摸出的小球颜色可配成紫色(红色和蓝色可配成紫色)，则小颖获胜.请用表格或树状图分析游戏是否公平，若不公平，规则对谁更加有利？21.(本小题10分)

在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(−2,−1)，B(−1,−3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形.

(1)写出点P的坐标为______；

(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；

(3)△OAB的内部一点M的坐标为(a,b)，直接写出点22.(本小题10分)

心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分).

(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；

(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？

(3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知--辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40.请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由.23.(本小题10分)

学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，且BD=23米，FB=2米．

(1)求大楼的高度CD为多少米(CD垂直地面BD)？

(2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

24.(本小题12分)

已知反比例函数y=kx(x>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于点A(2,a)，点P在线段OA的延长线上.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)如图1，过点P作y轴的平行线l，l与y=kx(x>0)的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段PB=34OC时，求点B的坐标；

(3)在(2)的条件下，如图2，连接AB并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足25.(本小题12分)

【问题情境】：

(1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，求证：DG=BE.

【类比探究】：

(2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=2：3，连接DG、BE.请判断线段DG与BE有怎样的数量关系，并说明理由；

【拓展提升】：

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BG，直接写出32BG+BE的最小值.

参考答案一、选择题：1.D

2.A

3.B

4.B

5.D

6.B

8.C

9.C

10.C

二、填空题：11.4312.1313.30

14.5+315.3

三、解答题：16.解：(1)2x2−5x+2=0，

(x−2)(2x−1)=0，

∴x−2=0或2x−1=0，

∴x1=2，x2=12；

(2)2x(x−3)=(x−3)2，

2x(x−3)−(x−3)2=0，

(x−3)(2x−x+3)=0，

∴x−3=0或x+3=0，

∴x1=3，x2=−3.

17.解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ=42−4×1×(−m)>0，

解得m>−4；

(2)已知x2+4x−m=0，

∴x1+x2=−ba=−4，

x1⋅x2=ca=−m.

∵x1+x2=x1⋅x2，

∴−4=−m，

∴m=4.

18.解：在△ABC与△DAC中，

∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，

∴△ABC∽△DAC；

∴ACDC=BC20.解：(1)口袋中白球的数量为2÷12−(1+2)=1(个)，

故答案为：1；红白蓝蓝红(白，红)(蓝，红)(蓝，红)白(红，白)(蓝，白)(蓝，白)蓝(红，蓝)(白，蓝)(蓝，蓝)蓝(红，蓝)(白，蓝)(蓝，蓝)由表知，共有12种等可能结果，其中两人摸出的小球颜色相同的有2种结果，两人摸出的小球颜色可配成紫色的有4种结果，

所以小明获胜的概率为212=16，小颖获胜的概率为412=13，

∵16<13，

∴游戏不公平，此游戏规则对小颖有利．

21.解：(1)∵△O2A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形，

∴分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，如图1，

则点P为所作，P点坐标为(−5,−1)；

故答案为：(−5,−1)；

(2)如图2，A(−2,−1)，B(−1,−3)，

把A、B点的横纵坐标都乘以2得：A2(−4,−2)、B2(−2,−6)，

连接OA2、OB2，A2B2，

则△OA2B2即为所作；

(3)∵△OAB的内部一点M的坐标为(a,b)，

由(1)知：△OA2B2与△OAB是关于原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，

∴点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为(2a,2b).

故答案为：(2a,2b).

22.解：(1)由图象知，A(0,20)，B(10,50)，C(30,50)，

设线段AB所在的直线的解析式为：y：=k1x+20(k1≠0)，

把B(10,50)代入得：10k1+20=50，

解得：k1=3，

∴线段AB解析式为：y=3x+20(0≤x≤10).

设C、D所在双曲线的解析式为：y=k2x(k2≠0)，

把C(30,50)代入得：50=k230，

解得：k2=1500，

23.解：(1)如图1所示，过点E作EH⊥CD交CD于点H、交AB于点J，则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形，

∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，

∵AB=2.5米，

∴AJ=AB−BJ=2.5−1.5=1(米)，

∵AJ//CH，

∴△EAJ∽△ECH，

∴AJCH=EJEH，

∴1CH=225，

∴CH=12.5(米)，

∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米)；

(2)如下图所示，过点E作ET⊥CD交CD于点T、交AB于点R，设BF=x米，

∵AR//GT，ER=BF，

∴ARGT=ERET，

∴111.5−1.5=x24.解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于点A(2,a)，

∴a=2，k=2×2=4，

∴反比例函数的解析式为y=4x；

(2)如图，设点B的坐标为(m,4m)，则P(m,m)，C(m,0)，

∴OC=m，PB=m−4m，

∵PB=34OC，

∴m−4m=34m，整理得：m2=16，

∴m=4或−4(不符合题意舍去)，

∴点B的坐标为(4,1)；

(3)如图，∵点P在直线y=x图象上，根据(2)可知P(4,4)，

∴△POC是等腰直角三角形，

∴∠OPC=45∘，

∵∠AQO=∠ADO+∠OPC，∠AQO=∠ADO+∠QAD，

∴∠QAD=∠OPC=45∘，

由条件可知A(2,2)，B(4,1)，设直线AB的解析式为y=kx+b，

2k+b=24k+b=1，解得k=−12b=3，

∴直线AB的解析式为y=−12x+3，

当y=0时，x=6，

∴D(6,0)，

∴AD=22+42=25，

∵∠AOD=∠QAD=45∘，∠ADQ=∠ODA，

∴△ADQ∽△ODA，

∴ADOD=QDAD，即256=QD25，

∴QD=103，

∴OQ=6−103=83.

∴点Q的坐标为(83,0).

25.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC，∠BCD=90∘，

∵四边形CEFG是正方形，

∴CG=CE，∠GCE=90∘，

∵∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD=90∘，

∴∠BCE=∠DCG，

在△DCG和△BCE中，

CD=BC∠DCG=∠BCECG=CE，

∴△BCE≌△DCG(SAS)，