曲面及其方程课件

*一.曲面方程的概念平面曲线、曲面S

与三元方程则方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形。有下述关系：(1)

曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);(2)

不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),空间曲面是点的几何轨迹。（纯粹性）（完备性）

曲面及其方程

*1、球面方程（2）解：或在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题:(2)

已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。(1)

已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程；半径为

R的球面

S

的方程.建立球心在例1

*若球心在原点，则从而球面的方程为半径为R

的球面方程.方程(2)就是以球心,(3)为所求平面上的点的坐标所满足的方程。

已知求线段AB的垂直平分面的方程.

例2解：设*配方得半径为的球面.解:原方程表示球心在点一般地，设有三元二次方程通过配方可以化成（2）的形式，那么它的图形就是一个球面。

例3

方程表示怎样的曲面?*这条定直线叫做旋转曲面的轴.以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面

叫做旋转曲面，就是所求旋转曲面的方程。二.旋转曲面——通常多考虑以坐标轴为旋转轴的旋转曲面.设过M点做z轴的垂面，与z轴交于P（0,0,z）点，交曲线C于M1（0,y1,z）,显然

(4)因为，M1在曲线C上，其坐标应满足即：P（x,y,z)*设绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为设绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为设绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为*旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面的方程.试建立顶点在坐标原点O,解:

在坐标面上，或这就是圆锥面的方程。P例4

直线L

绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲两直线的交点叫做圆锥面的顶点，面叫圆锥面，两直线的夹角叫做圆锥面的半顶角。让L绕z轴旋转*解：这两种曲面都叫做旋转双曲面.例5面上的双曲线分别绕轴和轴一周,求所生成的旋转曲面的方程.将xOzy*三.柱面平行于z轴的直线l叫做它的母线。面上的圆叫做它的准线，例6

方程表示怎样的曲面?圆在面：解：

这曲面叫做圆柱面.这曲面可以看作是由平行于z

轴的直线沿面上的圆

平行移动而成,在三维空间直角坐标系中

其实在面内的一条直线:绕z轴旋转而成的旋转曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为:即P11*

表示母线平行于

轴,准线是

面上的抛物线的抛物柱面。表示母线平行于轴,准线是面上的直线

过Z轴的平面。动直线叫做柱面的母线。定义:

叫做柱面，定曲线

C

叫做柱面的准线，形成的轨迹平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线*方程在空间直角坐标系中表示：母线平行于轴的柱面,其准线是面上的曲线方程在空间直角坐标系中表示：母线平行于轴的柱面,其准线是面上的曲线方程在空间直角坐标系中表示：母线平行于轴的柱面,其准线是面上的曲线方程中缺哪个字母，母线平行于相应的轴。P9*方程在空间直角坐标系中表示：其准线是面上的曲(直)线:母线平行于轴的柱面,*小结：作业:习题7-5

作业纸P50

下次交P49-501.曲面的概念2.球面方程3.平面方程4.旋转曲面5.锥面的方程6.柱面方程设绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为方程在空间直角坐标系中表示：母线平行于

轴的柱面,其准线是面上的曲线*一.空间曲线的一般式方程空间曲线可以看作两个曲面的交线.方程组(1)叫做空间曲线

C

的一般方程.第六节空间曲线及其方程*所以曲线C是圆柱面与平面的交线。解：表示母线平行于z

轴的圆柱面,其准线是面上的圆,在原点,半径为1.圆心表示母线平行于y

轴的柱面,面上的直线，其准线是它是一平面.例1

方程组表示怎样的曲线?*方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。

解：

方程组中第一个方程表示球心在坐标原点，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，

圆心在点半径为例2

方程组表示怎样的曲线？*二.空间曲线的参数方程叫做空间曲线的参数方程。●*当

时，叫做螺旋线的螺距。取时间t

为参数，设当时，动点位于轴上的一点处，经过时间

t，动点由运动到记在面上的投影为所以解:例3构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。

如果空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升，那么点则M’的坐标为:P21*

设空间曲线的一般方程为（1）消去变量z

得方程（2）它必定包含方程（2）表示一个母线平行于轴的柱面，以曲线为准线、母线平行于轴的柱面叫做曲线关于面的投影柱面。曲线投影柱面与面的交线叫做空间曲线

投影曲线，或简称投影。在

面上的

三.空间曲线在坐标面上的投影投影柱面投影曲线注：曲线C和其投影都在其投影柱面内。*方程（2）即而方程所表示的曲线为空间曲线在面上的投影。所表示的柱面即空间曲线关于面的投影柱面。面的投影柱面?在面上的投影?空间曲线关于空间曲线问题：*螺旋线在三个坐标平面上的投影（用直角坐标方程表示）？（1）关于面的投影柱面：则在面上的投影为：（2）关于面的投影柱面：则在面上的投影为：（3）关于面的投影柱面：则在面上的投影为：P18*于是两球面的交线在面上的投影方程为

解：从（1）式减去（2）式并化简得：方程为再以代入（1），柱面，的关于面的投影

得交线

例4

已知两球面的方程为

（1）（2）求它们的交线在面上的投影方程。*例5

设一个立体由上半球面和锥面所围成，面上的投影。求它在消去z得因此交线C在面上的投影曲线为于是所求立体在面上的投影，所围的部分：