辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试卷（含解析）

2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为A.2 B. C.3 D.2.已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为A. B. C. D.3.某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为A.8 B.12 C.16 D.184.过圆上一点作圆的切线，则的方程为A. B. C. D.5.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为A. B. C. D.6.已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是A.-1 B.0 C.1 D.无法确定的7.设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为A.4 B.5 C.6 D.88.给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是A.192 B.168 C.224 D.208二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则A. B.C.在平面上的投影向量的模长为 D.在上的投影向量为10.下列说法正确的是A.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是B.将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是C.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是D.将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是11.已知曲线与直线，则下列结论正确的是A.若，则被曲线截得的线段长度为B.若与没有公共点，则的取值范围为C.若与的公共点有且只有一个，则的取值范围为D.若与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则满足的所有的和为___________.13.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________.14.某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆AB，CD（两根旗杆都与地面垂直）.有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则__________m.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知圆，求圆与圆的公共弦MN的方程以及公共弦MN的长.16.（15分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，平面是CS的中点.（1）证明：.（2）求直线AB与平面SCD所成角的正弦值.17.（15分）已知.（1）若，求的值.（2）已知展开式的所有二项式系数之和为256.（i）若，求的值；（ii）若，且，求的取值范围.18.（17分）已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）已知过点的直线与交于A，B两点.（i）若，求的方程；（ii）证明：点在以AB为直径的圆外.19.（17分）如图1，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线，与交于M，N两点，且的周长为.（1）求的方程.（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为.（i）若直线MN的斜率为-1，求；（ii）求三棱锥体积的最大值.

1.B因为，所以点到轴的距离为.2.D双曲线的渐近线方程为，则的倾斜角为或，故选D.3.B教练不站在两边的排法种数为.4.C圆的圆心为，则直线的斜率.因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率.所以直线的方程为，即.5.A由题意知，所以点到平面的距离.6.C设，所以化简可得所以.7.D由题可知的坐标为的准线的方程为，由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离，所以的最小值为到的距离，即最小值为.8.A第一步，给B，C，E三块区域涂色，有种涂色方法；第二步，给F区域涂色，有2种涂色方法；第三步，给A区域涂色，有2种涂色方法；第四步，给D区域涂色，有2种涂色方法，综上，不同的涂色方法种数是.9.AC，A正确；，B错误；过作平面，垂足为（图略），易知，过作平面，垂足为，易知，即在平面上的投影向量为，.C正确；过作，垂足为，易知，过作，垂足为，易知，即在上的投影向量为错误.10.ABD将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是错误.A，B，D均正确.11.ABD由，得，所以曲线是圆心为原点的半圆.当时，易得与相交，因为到的距离为，所以被曲线截得的线段长度为，A正确.若与没有公共点，则到的距离为，B正确.当与相切时，.由，得.当与相交时，，得.故的取值范围为，C错误.当与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个时，且点到的距离为，得（当时，与有公共点，舍去），D正确.12.5由组合数的性质可得，解得.又，所以或，解得或，故满足的所有的和为5.13.的周长为.当时，|AB|取得最小值，的周长取得最小值.令，得，则，得.故的离心率为.14.因为，所以的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为的椭圆.如图，以直线BD为轴，BD的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.易得该椭圆的方程为.当时，，得，所以.15.解：（1）由题可知直线AB的斜率为，………1分直线AB的中点坐标为，………………2分直线AB的中垂线方程为，所以圆心在直线上，………………3分又圆心在直线上，由得所以.………4分又，……………………5分所以圆的方程为.…………6分（2）将圆与圆的方程相减，得公共弦MN的方程为，……………9分所以圆心到直线MN的距离，………11分又圆的半径，所以由圆的弦长公式得………………13分16.（1）证明：以为原点，AD，AB，AS所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，.………………2分，……………4分则，所以.……………………7分（2）解：在平面SCD中，,0）………………9分设平面SCD的法向量为，则即所以令，则，所以.……………12分故直线AB与平面SCD所成角的正弦值为.…15分17.解：（1）令，则，………………………1分令，则，……………2分所以，故.……………4分（2）因为展开式的所有二项式系数之和为256，所以，解得.………………6分（i）由题可知，即，所以.……………9分（ii）因为，即展开式中有且仅有项的系数最大，所以…………………………12分解得，所以的取值范围是.……………15分18.解：（1）动点到的距离等于到直线的距离，…………1分则是焦点为，准线为的抛物线，…………2分所以的方程为.……………………3分（2）易得的斜率不为0.设.………4分由得，………………………5分则……………6分（i）由，…………………8分得，………………………9分所以，即的方程为或.…………………10分（ii）证明：.…………11分因为…………13分，…15分所以，则.…………………16分故点在以AB为直径的圆外.…………17分19.解：（1）由题可知.…………1分又，所以，………………2分，………………3分所以的方程为.…………………4分（2）设.（i）易知MN的方程为，由得，则，………………6分则.………