小学数学与天文学

小学《数学与天文学：开普勒定律》知识点试卷一、填空题（每空2分，共30分）开普勒是德国天文学家，他通过分析丹麦天文学家第谷·布拉赫的观测数据，提出了行星运动的三大定律。开普勒第一定律（轨道定律）指出：行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。椭圆的两个焦点之间的距离称为焦距，椭圆的最长直径称为长轴，最短直径称为短轴。开普勒第二定律（面积定律）表明：行星与太阳的连线（矢径）在相等时间内扫过相等的面积。这意味着行星在近日点（离太阳最近）运动速度快，在远日点（离太阳最远）运动速度慢。开普勒第三定律（周期定律）的数学表达式为(\frac{T^2}{a^3}=k)（(T)为行星公转周期，(a)为椭圆轨道的半长轴，(k)为常数）。对于太阳系中的行星，(k)值相同（填“相同”或“不同”）。地球绕太阳公转的轨道半长轴约为1.5亿千米（天文单位，AU），公转周期约为365天（1年）。若一颗行星的轨道半长轴是地球的4倍，则它的公转周期是地球的8倍（根据第三定律，(T\proptoa^{3/2})，(4^{3/2}=8)）。二、选择题（每题3分，共24分）下列关于椭圆的描述，错误的是（）A.椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等B.圆是椭圆的特殊情况（两个焦点重合）C.椭圆的离心率（焦距与长轴的比值）越大，形状越扁D.椭圆的中心一定在两个焦点的正中间开普勒第二定律中“相等时间扫过相等面积”，体现了行星运动的（）特点A.速度均匀B.角动量守恒C.距离不变D.方向不变火星的公转周期约为1.88年，其轨道半长轴约为地球的多少倍？（）A.1.52B.2.28C.3.53D.5.20下列行星中，公转周期最长的是（）A.水星B.金星C.木星D.海王星若行星A的轨道半长轴是行星B的2倍，则行星A的公转周期是行星B的（）A.(\sqrt{2})倍B.2倍C.(2\sqrt{2})倍D.4倍开普勒定律修正了古希腊天文学家托勒密的（）理论A.日心说B.地心说C.星云说D.大爆炸理论地球在每年1月初经过近日点，7月初经过远日点，这与（）有关A.第一定律B.第二定律C.第三定律D.万有引力定律下列现象中，能用开普勒第二定律解释的是（）A.月球绕地球的周期不变B.彗星在靠近太阳时速度加快C.行星轨道是椭圆D.火星与地球的距离变化三、判断题（每题2分，共16分）所有行星的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。（）开普勒定律仅适用于太阳系中的行星，不适用于卫星绕行星的运动。（）椭圆的离心率为0时，椭圆就变成了圆。（）行星在远日点时，与太阳的连线扫过的面积最大。（）地球公转的轨道是标准的圆形，太阳位于圆心。（）开普勒第三定律中的常数(k)与行星的质量有关。（）木星的轨道半长轴约为5.2AU，公转周期约为11.86年，符合(\frac{T^2}{a^3}\approx1)。（）开普勒定律的提出，为牛顿发现万有引力定律奠定了基础。（）四、计算题（每题10分，共20分）已知水星的轨道半长轴(a_1=0.387)AU，公转周期(T_1=0.241)年；金星的轨道半长轴(a_2=0.723)AU。请用开普勒第三定律计算金星的公转周期(T_2)（结果保留两位小数）。解答步骤：根据(\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3})，代入数据：(T_2^2=T_1^2\times\frac{a_2^3}{a_1^3}=(0.241)^2\times\left(\frac{0.723}{0.387}\right)^3)计算得：(T_2\approx\sqrt{0.058\times(1.868)^3}\approx\sqrt{0.058\times6.55}\approx\sqrt{0.38}\approx0.62)年。答案：约0.62年。假设某行星绕太阳运行，近日点距离太阳1亿千米，远日点距离太阳3亿千米。（1）计算该行星轨道的半长轴(a)；（2）若该行星在近日点的速度为30千米/秒，求它在远日点的速度（提示：利用面积定律，假设单位时间扫过的面积相等）。解答步骤：（1）半长轴(a=\frac{\text{近日点距离}+\text{远日点距离}}{2}=\frac{1+3}{2}=2)亿千米。（2）设近日点速度为(v_1)，距离为(r_1)；远日点速度为(v_2)，距离为(r_2)。根据面积定律，单位时间扫过的面积(\frac{1}{2}r_1v_1=\frac{1}{2}r_2v_2)，即(r_1v_1=r_2v_2)。代入数据：(1\times30=3\timesv_2)，解得(v_2=10)千米/秒。答案：（1）2亿千米；（2）10千米/秒。五、简答题（每题10分，共20分）用自己的话解释开普勒第二定律（面积定律），并举例说明其现象。参考答案：开普勒第二定律是说，行星和太阳之间的连线（像一根“绳子”），在相同时间内扫过的面积是一样的。比如，地球绕太阳转时，1月离太阳近（近日点），这根“绳子”短，为了扫过同样大的面积，地球就得跑得快；7月离太阳远（远日点），“绳子”长，地球就跑得慢。就像我们甩绳子时，绳子越短，末端的小球转得越快——这就是面积定律的直观表现。开普勒第三定律（周期定律）中，“(\frac{T^2}{a^3}=k)”的常数(k)有什么意义？为什么太阳系中所有行星的(k)值都相同？参考答案：常数(k)是一个与中心天体（太阳）质量有关的固定值。太阳系中所有行星的(k)值相同，是因为它们都绕太阳公转——太阳的质量不变，所以这个比值对所有行星都一样。比如地球和火星，虽然轨道大小和周期不同，但(\frac{T^2}{a^3})的结果都约等于1（以地球的AU和年为单位）。这说明开普勒第三定律揭示了行星运动的“统一规律”，也为后来牛顿发现万有引力定律提供了关键线索。六、实践应用题（附加题10分）小明在纸上画了一个椭圆，长轴长10厘米，焦距4厘米。（1）计算椭圆的半长轴、半短轴长度；（2）如果把这个椭圆当作某行星的轨道，太阳在一个焦点上，求行星到太阳的最近距离和最远距离。提示：半长轴(a=\frac{\text{长轴}}{2})，半焦距(c=\frac{\text{焦距}}{2})，半短轴(b=\sqrt{a^2-c^2})；最近距离为(a-c)，最远距离为(a+c)。参考答案：（1）半长轴(a=5)厘米，半焦距(c=2)厘米，半短轴(b=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}\approx4.58