第02讲 常用逻辑用语（讲义）（解析版）

第02讲常用逻辑用语1、充分条件与必要条件定义从集合观点看若p⇒q,则p是q的充分条件若集合A⊆B,则p是q的充分条件若q⇒p,则p是q的必要条件若集合B⊆A,则p是q的必要条件若p⇒q,且q⇏p,则p是q的充分不必要条件若集合A⫋B,则p是q的充分不必要条件若q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件若集合B⫋A,则p是q的必要不充分条件若p⇔q,则p是q的充要条件若集合A=B,则p是q的充要条件若p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件若集合A⊈B,且B⊈A,则p是q的既不充分也不必要条件2、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．(2)全称量词命题：含有全称量词的命题．(3)全称量词命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．3、存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．(2)存在量词命题：含有存在量词的命题．(3)存在量词命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．4、全称量词命题与存在量词命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x∈M,¬p(x)∃x∈M,p(x)∀x∈M,¬p(x)考点一充分或必要条件的判定及性质考点二根据充分不必要或必要不充分条件求参数考点三全称量词命题或存在量词命题的否定及其真假判断考点四根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数考点一：充分或必要条件的判定及性质例1．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用高次不等式的解法，结合充分条件必要的条件的定义即可求解.【详解】由，得，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件,即“”是“”的充分不必要条件.故选：A.对点变式：已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据数量积的定义，充分必要条件的定义判断．【详解】若，，，则，但，所以充分性不成立.若，则，所以，所以成立，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.例2.“不等式在R上恒成立”的必要不充分条件是（

）A．m>0 B．m< C．m<1 D．m>【答案】A【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.易知D选项是充要条件，不成立；A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；B选项中，不可推导出，B不成立；C选项中，不可推导，C不成立.故选：A.对点变式：4．（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与圆：相交”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“”和“直线与圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d，则，当直线与圆：相交时，，解得，当时，一定成立，当时，推不出，因为可能是，故“”是“直线与圆：相交”的必要不充分条件，故选：B考点二：根据充分不必要或必要不充分条件求参数例3.已知条件实数满足，条件实数满足，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件，所以，所以且等号不同时成立，所以，故选：B.对点变式：若“”是“”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为_______________．【答案】【分析】先由集合与充分必要的关系得到是的真子集，从而利用数轴法得到，由此得解.【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，因为等价于，所以是的真子集，所以，所以实数a能取的最大整数为.故答案为：.考点三：全称量词命题或存在量词命题的否定及其真假判断例4．命题“，”的真假以及否定分别为（

）A．真，，B．假，，C．假，，D．真，，【答案】A【分析】由对数函数性质判断其真假，再由命题的否定的定义判断．【详解】，则当时，，，故原命题为真，其否定为，，故选：A．对点变式：已知命题，则以下结论正确的是（

）A．是真命题，的否定为：B．是真命题，的否定为：C．是假命题，的否定为：D．是假命题，的否定为：【答案】B【分析】根据二次方程的求解，结合特称命题的否定，可得答案.【详解】由方程，分解因式可得，解得或，故命题是真命题；其否定为：.故选：B.考点四：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数例5.已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得到有解，进而由根的判别式列出不等式，求出实数的取值范围.【详解】若是真命题，由题意知不等式有解，，解得:.因此，实数的取值范围是.故选：A对点变式1：若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.【详解】，函数的最大值是，根据命题是真命题可知，，即.故选：A对点变式2：能说明“，”是假命题的一个实数a的取值是________．【答案】(中任一值均可)【分析】根据题意可知：命题为真命题，列出不等式解之即可.【详解】因为命题：，为假命题，所以命题：为真命题，也即成立，所以，故答案为：4（中的任一值均可）一、单选题1．已知命题：，，则该命题的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.故选：C.2．在数列中，“”是“数列为严格递增数列”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据题意，等价于或，进而判断即可求解.【详解】由可得或，所以充分性不成立，若数列为严格递增数列，则成立，必要性成立，所以“”是“数列为严格递增数列”的必要非充分条件，故选：.3．已知向量，是平面内的两个不共线的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.【详解】解：由题意，，.因为向量，是平面内的两个不共线的非零向量，所以，根据平面向量基本定理，对于平面内的任意直线，其方向向量为，存在唯一实数对使得成立，所以，，即，所以直线与平面内的任意直线都垂直，故；若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.所以“，且”是的充分必要条件.故选：C.4．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可.【详解】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，反之，当成立时，不一定有成立，比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5．“角的终边关于轴对称”是“"的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条许 D．既不充分也不必要各件【答案】B【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案.【详解】由角的终边关于轴对称，则，可知，即成立，充分性成立；当时，角的终边关于轴对称或，所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件，故选：B.6．函数是偶函数的充分必要条件是（

）．A． B．C．且 D．，且【答案】C【分析】利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证时情况即可判断作答.【详解】显然函数定义域为R，因是偶函数，即，亦即，整理得，而不恒为0，因此，，即且，当时，也是偶函数，D不正确，所以一定正确的是C.故选：C7．已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义，利用长方体模型，判断“”与“”的关系可得结论.【详解】记平面为，平面为，直线为，直线为，则直线，，，但，所以“”不是“”的充分条件，记平面为，平面为，直线为，直线为，则直线，，，但，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.8．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【详解】命题“”为假命题，”是真命题，方程有实数根，则，解得，故选：A.9．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对命题进行求解，可得，再通过充分条件和必要条件进行判断即可.【详解】因为命题是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B．二、多选题10．（多选题）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值是（

）A．﹣2 B． C．0 D．【答案】BCD【分析】解方程确定，根据p是q的必要不充分条件，得到A，对分类讨论，分与两种情况，求解实数a的值.【详解】由题意得，当时，，当时，，因为p是q的必要不充分条件，所以A，所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得：或.故选：BCD11．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先求得命题“”为真命题时的取值范围，然后根据充分不必要条件的知识确定正确答案.【详解】因为为真命题，所以或，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，所以是命题“”为真命题充要条件，B错，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，故选：AC12．下面命题正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若，则”的否定是“存在，则”.C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【分析】对于A，C，D，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B，根据全称命题的否定是特称命题可得B正确.【详解】对于A，因为或，所以不能推出；能够推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故A不正确；对于B，因为命题“若，则”的否定是“存在，则”.故B正确；对于C，因为且可以推出，而不能推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件.故C不正确；对于D，因为不能推出，能够推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确.故选：BD13．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）下列命题的否定中，是真命题的有（

）A．某些平行四边形是菱形 B．C． D．有实数解【答案】BD【分析】根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，只需找出选项中的假命题即可.【详解】对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为，所以原命题是假命题；对于C，，是真命题；对于D，只有，即或时，有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题.故选：BD14．设函数，则下列结论正确的是（

）A．，使得B．，使得C．，都有D．，都有【答案】BD【分析】假设，使得推出矛盾可判断A,取特殊值可判断BC，利用解析式化简可判断D.【详解】对A，若，使得，即，所以，可得，即，显然不存在满足此条件的整数，故不存在，A错误；对B，当时，成立，故B正确；对于C，取时，，故C错误；对于D，，，故D正确.故选：BD三、填空题15．已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为，，因为是的必要不充分条件，所以.所以实数的取值范围为.故答案为：.16．已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出.【详解】解可得，即，因为，所以，解可得，即.设，，因为若是的必要不充分条件，所以，所以有，且不能同时取等号，所以.故答案为：.17．函数，若命题“”是假命题