第02讲 常用逻辑用语（教师版）

第02讲常用逻辑用语题型梳理题型梳理易错分析易错点一求参数取值问题时范围大小混淆题型方法题型一充分、必要条件的判断题型二已知充分、必要条件求参数题型三全称量词命题与存在量词命题题型四已知命题真假求参数知识清单知识清单1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则（1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充分不必要条件；（4）若，则是的必要不充分条件；（5）若，则是的充要条件；（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反.易错分析易错分析【易错点一】求参数取值问题时范围大小混淆【例1】（2005·湖南·高考真题）集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合，将代入集合，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】因为，当时，由可得，此时，因为“”是“”的充分条件，则或，解得.故选：D.【举一反三】【变式1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为．【答案】【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解.【详解】由题意得“，”为真命题，所以在区间内有解，又知在区间内单调递增，所以，故的取值范围为．故答案为：【变式3】（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】,【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解.【详解】由，可得，由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件，故所以（等号不能同时成立），可得，即实数的取值范围是,．故答案为：,．题型方法题型方法【题型一】充分、必要条件的判断【例1】（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线被圆截得的弦长可求得的值，根据的取值即可得结论.【详解】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，即，解得或3，所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件.故选：A．解题技巧充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.【详解】由题可知且，解得，所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，因为只有选项A中的是的真子集，故选：A【变式2】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是.【答案】【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果.【详解】因为函数，要使，则周期，即，因为，所以一个充分条件是，故答案为：【变式3】（2024·江苏南通·一模）“”是“”的．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）【答案】充分不必要条件【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可.【详解】由，即同号，当，则；当，则；所以充分性成立，由，存在或使之成立，但此时不成立，所以必要性不成立，综上，“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件【题型二】已知充分、必要条件求参数【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解.【详解】，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集,可得，等号不同时成立，结合，解得，所以的取值范围为，故选：B解题技巧求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【举一反三】【变式1】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解.【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立，即，所以对任意的恒成立，故；若，则，所以，故为偶函数，所以为偶函数的充要条件为.故选：B．【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由，得，即；由，得，因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，所以且两个等号不同时取，解得.故答案为：【变式3】（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足．(1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；(2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当时，由，得，解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是由，解得，即q为真命题时，实数x的取值范围是．所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为．（2）由，得，因为，所以，故p：．若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，所以，解可得．故实数a的取值范围是【题型三】全称量词命题与存在量词命题【例3】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（

）A．且 B．或C．， D．，【答案】D【分析】本题可通过、、、、得出结果.【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；B项：根据、易知B错误；C项：由余弦函数性质易知，C错误；D项：恒大于等于，D正确，故选：D.解题技巧含量词命题的解题策略判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．【举一反三】【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【分析】判断出、的真假，即可得出结论.【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，对于命题，由可得或，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B.【变式2】（2024·四川成都·一模）命题“，”的否定为．【答案】，【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故答案为：，【变式3】（2023·贵州遵义·模拟预测）命题,则命题的否定为.【答案】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.【详解】因为命题,所以命题的否定为:.故答案为:.【题型四】已知命题真假求参数【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，其否定为：，，而函数的值域为，由“，”为假命题，得“，”为真命题，则，所以的取值范围是.故选：C解题技巧由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围【举一反三】【变式1】（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，命题“”的否定，即命题“”真命题，根据二次函数的性质可得，应有，解得.故选：C.【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解.【详解】由题，为真命题，所以，对，又在上的最小值为，，所以实数的取值范围为.故答案为：.【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.【详解】若命题任意“，”为假命题，则命题存在，为真命题，因为时，，令，则，则在上单调递增，所以，所以.故答案为：.好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故选：C2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B4．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依次分析充分性和必要性即可得解.【详解】若，则，充分性成立；设，则有满足，此时有，不满足，故必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C6．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.二、多选题7．（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据不等式相关性质即可求解.【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误；由得能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；由可得，故，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得.【详解】由正弦定理可得，即．对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确；对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误；对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确；对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误.故选：AC．9．（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（

）A．若，则，B．，，且，有C．，，且，有D．，【答案】AB【分析】结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D.【详解】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且，所以当时，恒成立，当时，恒成立，所以，恒成立，故A正确；对于B，，，且，都有，所以，故B正确；对于C，设，则，都有，故C错误；对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但所以，，故D错误.故选：AB三、填空题10．（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是.【答案】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题写出答案即可．【详解】命题“”的否定是“”.故答案为：.11．（2024·甘肃武威·一模）命题“，使成立”的否定命题是.【答案】“，”【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，”故答案为：，12．（2023·吉林·二模）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，题“”为真命题，当时，由可得，不符合题意，当时，根据题意知不等式恒成立则，解之可得.故答案为：13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.【详解】设，则在单调递增，又，所以，即，故.则.由题意是的充分条件，则，所以有，故实数m的取值范围是.故答案为：.14．（2020·全国II卷·高考真题）设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是.①②③④【答案】①③④【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所以，，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.四、解答题15．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是.【答案】证明见解析【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可.【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线，所以.先证充分性：因为，且，所以；再证必要性：因为对于，，所以，即，从而.综上可知