2026届山西省临汾同盛实验中学数学高三上期末检测试题含解析

2026届山西省临汾同盛实验中学数学高三上期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A． B． C． D．2．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了3．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A． B． C．1 D．4．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（）A． B． C． D．5．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．6．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A． B． C． D．7．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．28．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（）A． B．C． D．9．已知为虚数单位，实数满足，则()A．1 B． C． D．10．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（）A． B． C． D．11．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是(）A． B． C． D．12．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为______.14．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10115．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.16．设，满足约束条件，若的最大值是10，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.18．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.19．（12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？20．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.22．（10分）设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．2、C【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.3、B【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为．故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．4、D【解析】

由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.【详解】依题意得由，得即，解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.5、B【解析】

试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．6、B【解析】

为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径为，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，则设弧所在圆的半径为，则解得可以近似地认为，即于是，长所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，因此只能选B，260或者由，所以弧长.故选：B【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.7、D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．8、D【解析】

连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题9、D【解析】，则故选D.10、C【解析】

设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：因此有，设平面的法向量为，所以有，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.故选：C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.11、C【解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得.当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以即令，所以所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，所以，所以当1≤a<e时，满足题意.当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数，都有，所以,故1+1，所以故综上所述，a∈.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.12、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径．【详解】由题意可知：多面体的外接球即正四面体的外接球作面交于，连接，如图则，且为外接球的直径，可得，设三角形的外接圆的半径为，则，解得，设外接球的半径为，则可得，即，解得，设正三棱锥的高为，因为，所以，所以，而，所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，所以，设内切球的半径为，，即解得：．故答案为：.【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.14、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知，解得（舍去）或.则，则，由方差的计算性质得.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、2.【解析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.16、【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示：目标函数可转化为与直线平行，数形结合可知当且仅当目标函数过点，取得最大值，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）【解析】

（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；（2）题意说明,利用导数求出的最小值，由（1）可得的最小值，从而得出结论．【详解】解：（1）定义域为当时，即在上增；当时，即得得综上所述，当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）由题在上增由（1）当时，在上增，所以此时无最小值；当时，在上减，在上增，即，解得综上【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为，求出两函数的最小值后可得结论．18、(1);(2).【解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．详解：(1)由题意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由题意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，当且仅当时等号成立．∴．∴面积的最大值为．点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．19、(1)(2)①②第一种抽奖方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率(2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可②根据①得出结论.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；；；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案【点睛】本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.20、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．【详解】（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:假如存在，使得.因为，，所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.令.一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；也表示m，从而②，①，②相矛盾，从而不存在，使得.（Ⅲ）记这个实数之积为p.一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有；从而有③，注意到，，下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，所以，对数表，显然.将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，将数表中的由1变为-1，得到数表，