浙江省杭州市示范名校2026届高二上数学期末统考模拟试题含解析

浙江省杭州市示范名校2026届高二上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B.C. D.2．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A B.C. D.3．在三棱锥中，，D为上的点，且，则（）A. B.C. D.4．椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.5．若不等式在上有解，则的最小值是（）A.0 B.-2C. D.6．经过点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.7．的展开式中，常数项为（）A. B.C. D.8．函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.510．若实数满足，则点不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A. B.C. D.12．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________.14．在单位正方体中，点E为AD的中点，过点B，E，的平面截该正方体所得的截面面积为______.15．曲线围成的图形的面积为___________.16．向量，，若，且，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把折起，得到如图2所示的四棱锥.（1）证明：平面.（2）若二面角的大小为60°，求平面与平面的夹角的大小.18．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC(2)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积19．（12分）已知圆（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值20．（12分）在棱长为4的正方体中，点分别在线段上，点在线段延长线上，，，连接交线段于点.（1）求证平面；（2）求异面直线所成角的余弦值.21．（12分）已知命题p为“方程没有实数根”，命题q为“”.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p和q有且只有一个为真命题，求m的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.2、A【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A3、B【解析】根据几何关系以及空间向量的线性运算即可解出【详解】因为，所以，即故选：B4、B【解析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.【详解】设，设双曲线的实轴长为，因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，，则，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，因，则，故.故选：B.5、D【解析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.【详解】不等式在上有解,即为在上有解,设,则在上单调递减,所以,所以,即,故选:D.【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.6、A【解析】根据点斜式求得正确答案.【详解】直线的斜率为，经过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：A7、A【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中常数项为.故选：A.8、C【解析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，故选：C9、C【解析】作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解：作出不等式组对应的可行域为如图所示的阴影部分区域，由得，它表示斜率为纵截距为的直线系，当直线平移到点时，纵截距最大，最大.联立直线方程得得.所以.故选：C10、B【解析】作出给定的不等式组表示的平面区域，观察图形即可得解.【详解】因实数满足，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分，观察图形知，阴影区域不过第二象限，即点不可能落在第二象限.故选：B11、B【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为，故选：B.12、C【解析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用圆锥的结构特征及侧面积公式即得.【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为，∴，∴.故答案为：.14、【解析】根据题意，取的中点，连接、、、，分析可得四边形为平行四边形，则要求的截面就是四边形，进而可得为菱形，连接、，求出、的长，计算可得答案【详解】根据题意，取的中点，连接、、、，易得，，则四边形为平行四边形，过点，，的截面就是，又由正方体为单位正方体，则，则为菱形，连接、，易得，，则，即要求截面的面积为，故答案为：15、##【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案：.16、【解析】根据可求出，再根据向量垂直即可求出，即可得出答案.【详解】因为，，所以，解得，又因为，所以，解得，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)由结合线面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中点M，连接，FM，证明平面平面，再建立空间直角坐标系，借助空间向量推理、计算作答.【小问1详解】在中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，则图2中，，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】依题意，是正三角形，四边形是菱形，取DE的中点M，连接，FM，如图，则，，即是二面角的平面角，，取中点N，连接，则有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，则平面，又平面，从而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，过点N作，则两两垂直，以点N为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，显然有，即，所以平面与平面的夹角为.【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；(2)找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角18、【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD中点又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定19、（1）（2），最大值为.【解析】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值【小问1详解】圆化为标准方程为：.则.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，所以所求的直线为：，即.【小问2详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.而的面积：因为所以（其中时等号成立）.所以S的最大值为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角【小问1详解】证明：且，由三角形相似可得，，，又，，又平面，平面平面；【小问2详解】解：以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图．则设异面直线所成角为，则21、（1）（2）【解析】（1）方程无根，利用根的判别式小于0求出m的取值范围；（2）和有且只有一个为真命题，分两种情况进行求解，最终求出结果.【小问1详解】由方程没有实数根，得，解得：.所以m的取值范围为.【小问2详解】和有且只有一个