河北省保定市部分高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

第1页/共1页高一年级12月份考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先化简复数，再求，根据复数的几何意义，即可判断选项.【详解】由可得，，故对应的点为，位于第四象限.故选：D2.如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.【详解】依题意，.故选：B3.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以.故选：B．4.如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求.【详解】取、的中点、，连接、、，则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则，，得，，在直角梯形中，，则，则正四棱台的体积为.故选：A.5.已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律，结合投影向量的定义求解.【详解】由向量与的夹角为，且，得，则，所以在上的投影向量为.故选：D6.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（）A.有一个角是的等腰三角形B.等边三角形C.三边均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，而，因此有，从而得，所以等腰直角三角形.故选：D7.如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出过点，点的平面，使得平面，此时的轨迹即为平面与长方体表面的交线，据此可求解出轨迹的长度.详解】连接，过作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示：因为为的中点，所以，又因为平面，所以平面，所以，又因为，且，所以平面，所以的轨迹为，因为，所以可知，所以，所以，所以，又因，所以四边形为平行四边形，所以，所以的轨迹长度为：，故选：A.【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.8.记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围.【详解】由，可得，所以，即，因为，可得，所以或，当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去；当时，可得且，由正弦定理得，则，又由，可得，所以，即的取值范围.故选：B.二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则与同向的单位向量为C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项.【详解】由，，A选项：，则，解得，则，，所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；B选项：，则，解得，即，，，所以与同向的单位向量为，B选项正确；C选项：时，，又与的夹角为锐角，则，解得，且，即，C选项错误；D选项：由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；故选：BD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.在区间上单调递增B.图象的一条对称轴方程为C.图象的一个对称中心为点D.在区间上的值域为【答案】ABC【解析】【分析】由图象求得函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项．详解】由图可知，，，又，解得，，，∴.对于选项A，当时，，∴在区间上单调递增，故正确；对于选项B，为其最小值，∴为图象的一条对称轴，故正确；对于选项C，，∴点为图象的一个对称中心，故正确；对于选项D，当时，，当即时，，当即时，，即在区间上的值域为，故错误.故选：ABC．11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）A.不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面 B.存在点Q，使得平面C.三棱锥的体积为 D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π【答案】BCD【解析】【分析】当与重合时，说明判断A；当为的中点时，证明平面判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积判断D.【详解】对于A，当与重合时，连接，由,则四边形为平行四边形，，又，故，因此四点共面，A错误；对于B，当为的中点时，，而四边形为平行四边形，则，，平面，平面，则平面，B正确；对于C，点到面的距离为2，而，则，C正确；对于D，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体，根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球，因此该外接球的直径满足：，所以经过四点的球的表面积为，D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________．【答案】【解析】【分析】将代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案.【详解】因是关于x的实系数方程的一个复数根，则，则.故答案为：13.设点是线段的中点，点在线段外，，，则______．【答案】【解析】【分析】由结合平面向量数量积的运算性质可得出，再结合直角三角形的几何性质可得出的值.【详解】因为点在线段外，，所以，即，所以，所以，因为，所以，因为为线段的中点，所以.故答案为：.14.在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】第一空，由已知条件结合正弦定理角化边可得，利用余弦定理以及基本不等式化简，即可求得答案.第二空，将变形为，继而利用正弦定理角化边，结合基本不等式以及角B的范围，即可求得答案.【详解】由题意知，则，故，当且仅当时，等号成立，故角B的最大值为；，当且仅当时，等号成立，由于,即的最小值为.故答案为：；四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上.（1）求证：平面；（2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值.【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析，【解析】【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论；（2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值.【小问1详解】因为，平面，平面，所以平面；【小问2详解】连接交于，连接，因为平面，且平面，平面平面，所以，则，可得，又因为，可知，则，因此，.16.已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，（ⅰ）求的值．（ⅱ）求面积的取值范围．【答案】（1）．（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知；（ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围．【小问1详解】，由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，所以．令，解得，所以函数的单调递增区间为．【小问2详解】（ⅰ）已知，由，得，由正弦定理，得，，所以；（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，由△ABC是锐角三角形，有，得，，则，所以，即面积的取值范围是．17.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．（1）求证：平面平面PAC；（2）求证：平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC；（2）利用线线垂直证明线面垂直；（3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论．【小问1详解】证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC.【小问2详解】证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以，即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC，因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC.【小问3详解】由（2）知BC面PAC，所以为直线PB与平面PAC所成的角，在中，，在中，，在中，，所以.直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为.18.在中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角；（2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积．【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以；【小问2详解】因为角的角平分线交于点，所以，因为，所以由，得，所以，由余弦定理得，所以，所以，解得或（舍去），所以，解得，所以，因为角的角平分线交于点，所以，因为，所以，所以.19.被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．（1）已知，求；（2）已知O为坐标原点，，且复数在复