6.3.1+平面向量基本定理学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3课时1平面向量基本定理【学习目标】1.理解平面向量基本定理的含义和基底的含义.(数学抽象)2.在平面内,当一个基底选定后,会用这个基底来表示其他向量.(数据分析)3.会用平面向量基本定理,会用“基底分解”解决平面向量问题.(数学运算、逻辑推理)【自主预习】1.如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么?2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?3.零向量能否作为基底中的向量?为什么?4.平面内任一向量能否用互相垂直的两非零向量表示?1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内任意两个向量都可以构成平面内所有向量的一个基底.()(2){0,e}可以作为基底.()(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.()2.设e1,e2是同一平面内的两个向量,那么().A.e1,e2一定平行B.{e1,e2}是该平面内所有向量的一个基底C.对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)D.若e1,e2不共线,则对该平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)3.(多选题)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,则下列向量组中可构成该平面其他向量的基底的是().A.AD与AB B.DA与BCC.CA与DC D.OD与OB4.已知向量e1,e2不共线,(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为.

【合作探究】平面向量基本定理如图1,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.如图2,在平面内任取一点O,作OA=e1,OB=e2,OC=a.图1图2问题1:将a按e1,e2的方向分解,你有什么发现?问题2:若向量a与e1或e2共线,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗?问题3:当a是零向量时,a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗?问题4:设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,在a=λ1e1+λ2e2中,λ1,λ2是否唯一?1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个.平面内任一向量都可以用同一个基底唯一表示.

3.如果P,A,B三点共线,O是平面内任意一点,若OP=λOA+μOB,则λ+μ=1.一、对基底的理解(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,能构成基底的是().A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1+e2【方法总结】判断两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.已知向量a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断{c,d}能否作为基底.二、用基底表示向量如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设AD=a,AB=b,试用基底{a,b}表示DC,EF,FC.【变式探究】本例中若取BC的中点G,则AG=.

【方法总结】用基底表示向量的两种方法(1)线性运算法:运用向量的线性运算法则不断对待求向量进行转化,直至待求向量能用基底表示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量的关系.(2)待定系数法:首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后列方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求待定系数.如图,在正方形ABCD中,设AB=a,AD=b,BD=c,则以{a,b}为基底时,AC可表示为,以{a,c}为基底时,AC可表示为.

三、平面向量基本定理的应用(1)如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD=().A.34a+14b B.14C.14a+12b D.34(2)在△ABC中,D是线段BC上任意一点,点P满足AD=3AP,若存在实数m和n,使得BP=mAB+nAC,则m+n=().A.23 B.13 C.-13 如图,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=mAC+12AB(m∈R),若AC=2,AB=4,则AP·CD=【合作探究】1.如图,在△ABC中,D是AB的中点,则().A.CD=12ABB.CD=-12ABC.CD=-12ABD.CD=12AB2.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足AP=2PM,则AP·(PB+PC)等于().A.49 B.C.-43 D.-3.在△ABC中,若AD=12(AB+AC),则下列关系式正确的是()A.BD=2CDB.BD=CDC.BD=3CDD.CD=2BD4.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以{e1,e2}为基底,则OC=,OD=.

参考答案6.3平面向量基本定理及坐标表示课时1平面向量基本定理自主预习·悟新知预学忆思1.能.依据是向量数乘和平行四边形法则.2.不一定,当a与e1,e2共线时,向量a可以用e1,e2表示,否则不能用e1,e2表示.3.不能,因为零向量与任何向量都是共线的.4.能.自学检测1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.D【解析】D选项符合平面向量基本定理,其他三个选项均不正确.3.AC【解析】基底中的向量不共线,故A,C正确.4.3【解析】∵e1,e2不共线,∴由平面向量基本定理可得3x-4y=6,合作探究·提素养探究情境设置问题1:如图,a=OC=OM+ON=λ1e1+λ2e2.问题2:能,当向量a与e1共线时,a=λ1e1+0e2;当向量a与e2共线时,a=0e1+λ2e2.问题3:能,a=0e1+0e2.问题4:假设a=μ1e1+μ2e2,则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,因为e1,e2不共线,所以λ1-μ1=0,且λ2-μ2=0,即λ1=μ1,且λ2=μ2,所以λ1,λ2唯一.新知生成2.基底新知运用例1ACD【解析】选项B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,不能构成基底;选项A,C,D中两向量均不共线,可以构成基底.巩固训练【解析】设存在实数λ,使c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0,因为向量a,b不共线,所以2-3λ=2λ-1=0,所以这样的λ是不存在的,所以c,d不共线,故{c,d}能作为基底.例2【解析】因为CD∥AB,AB=2CD,E,F分别是CD,AB的中点,所以FC=AD=a,DC=AF=12AB=1EF=EC+CF=12DC+CF=12×1变式探究12a+34b【解析】BC=BA+AD+DC=-b+a+12b=a-所以AG=AB+BG=AB+12BC=b+12a-14b=巩固训练a+b2a+c【解析】以{a,b}为基底时,AC=AB+AD=a+b;以{a,c}为基底时,将BD平移,使点B与点A重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得AC=2a+c.例3(1)B(2)D【解析】(1)因为BD=3DC,所以AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(-AB+AC)=1又因为AB=a,AC=b,所以AD=14a+3故选B.(2)由题意得,AD=λAB+1−λAC,且0≤λ而AD=3AP=3(AB+BP),所以3AB+3BP=λAB+1−λ即BP=λ-33AB由已知得m=λ-33故选D.巩固训练3【解析】∵AD=2DB,∴AD=23∵CP∥CD,∴存在实数k,使得CP=kCD,即AP-AC=k(AD-AC).又∵AP=mAC+12∴(m-1)AC+12AB=k23AB-∴m-1=-k则AP·CD=AP·(AD-AC)=14AC+12AB·23AB-AC=13AB2-14AC2-13AB·AC=163-14×随堂检测·精评价1.D【解析】因为D是AB的中点,所以AD=12AB,所以CD=CA+AD=CA+12AB=2.A【解析】∵AM=1,且AP=