黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学

哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．弧度的角的终边在第几象限？（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．函数（，且）的图象恒过定点（

）A． B． C． D．3．函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．34．把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（

）A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称5．函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．6．当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．设函数​，若​，则​的最小值为（

）A．​ B．​ C．​ D．​8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论正确的是（

）A．已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角B．若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大C．点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为D．的值是正数10．下列各式正确的是（

）A．已知，，则B．已知，则C．若，，则D．11．设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（

）A． B．在上单调递减C． D．三、填空题12．已知是奇函数，则．13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为．14．已知函数，则函数的零点个数为．四、解答题15．（1）求值．（2）已知，求的值．16．已知关于x的二次方程.（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围；（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围.17．已知函数．(1)若的定义域为，求实数的范围；(2)若，的最小值为，求实数的值；(3)若，，解不等式．18．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（）(1)每台充电桩第几年年末开始获利；(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.19．已知定义在上的函数，，．(1)当时，求的零点；(2)若对，，不等式总成立，求实数a的取值范围；(3)若的最大值为，求的解析式．

1．D根据负角或象限角的定义判断.【详解】因为负角是按顺时针方向旋转所形成的角，所以角是以轴的非负半轴为始边，绕原点旋转所得到的角，所以终边落在第四象限.故选：D.2．A根据对数函数的图象经过定点求解.【详解】因为对数函数（，且）的图象经过定点，所以函数（，且）的图象经过定点.故选：A3．B先求出函数的定义域为，根据函数零点与方程的关系，令，解方程再配合函数的定义域即可得到答案.【详解】函数的定义域为，令，可化为，即，解得或，又，则，所以函数的零点个数为.故选：B.4．D求出函数解析式，根据指数函数和对数函数互为反函数即可得到其图象关于直线对称.【详解】由题意知，.因为指数函数与对数函数（且）互为反函数，图象关于直线对称，所以的图像与函数的图像关于直线对称.故选：D.5．A根据函数为奇函数，可排除B、D项，再由的函数值的分布，可判定选项A符合题意，即可求解.【详解】由函数，可得的定义域为，且，所以函数为奇函数，则函数的图象关于轴对称，可排除B、D项；当时，可得，所以；当时，可得，所以，所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A.故选：A.6．C根据题意，转化为在上的图象位于的图象的下方，画出和的图象，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】设，其中，要使得当时，不等式恒成立，只需在上的图象位于的图象的下方，如图所示，画出函数和的图象，当时，函数在上的图象位于的图象的上方，不符合题意，舍去；当时，只需，即，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：C.7．A由已知结合对数的运算性质可得，然后结合乘1法，利用基本不等式可求.【详解】因为数，若所以，即，所以，当且仅当时取等号.故选：A8．C画出函数的图象，可得，且，进而可得恒成立，求出的最大值，进而得到实数k的最小值．【详解】函数的图象如图所示：当方程有四个不等实根时，，即，，即，且，若不等式恒成立，则恒成立，由，当且仅当时等号成立故，故实数k的最小值为，故选：C．9．AC根据终边相同角及象限角可判断A；由扇形的面积公式结合二次函数最值可判断B；根据任意角的三角函数的定义可判断C；根据各象限角的三角函数符号可判断D.【详解】对于A，∵与120°角的终边关于x轴对称，∴则与的终边在同一条直线，∴是第二或第四象限角，故A正确；对于B，设扇形的半径为弧长为，由题意知，所以，所以当时，取得最大值，此时，.故B不正确；对于C，设，依题意可知，且Q在第一象限.所以，故C正确；对于D，是第二象限角，，故D不正确.故选：AC.10．ABD利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由，所以，故C错误；对于D，由，故D正确；故选：ABD.11．AC根据已知条件判断出是周期函数，根据周期性和奇偶性求得正确答案.【详解】函数的定义域为的偶函数，，是奇函数，，用替换，得，又函数为偶函数，，，再用替换，得，，的周期为，，令，得，，故A正确；根据已知条件无法判断的单调性，故B错误；，，，由，令，得，，，故C正确；由，令，得；令，得，即一个周期内，即，，即，故D错误.故选：AC.12．根据奇函数的性质，求.【详解】，，则，得，得，当时，，定义域为，满足奇函数的条件.所以.故答案为：13．根据函数的奇偶性和函数在上单调递减，可得函数在上单调递增，则所求问题可转化为，根据对数函数性质，计算化简，即可得答案.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以可化为，因为，所以或，因为函数在上单调递增，所以或，所以不等式的解集为：，故答案为：.14．3先根据的分段函数和对应的定义域，求出的解析式和对应的定义域，然后分别讨论不同定义域下其函数的零点个数即可.【详解】因为，所以①当时，，此时，因为，当，即时，，当时，时，，即.②当时，，此时.因为，当时，即时，；当时，即时，；即.综上，.时，令，解得，此时有一个零点；时，，此时无零点；时，令，解得，此时有一个零点；时，令，解得，此时有一个零点.所以共有3个零点.故答案为：3.15．（1）；（2）1（1）根据指数、对数的运算法则计算求值.（2）利用弦化切求齐次式的值.【详解】（1）原式.（2）因为.16．（1）；（2）.【详解】解：（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得

，故.（2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组

，于是有.17．(1)(2)(3)【详解】（1）对于函数，要使其定义域为，则对恒成立，令，函数的图象开口向上，若对恒成立，则，解得，则实数的范围为.（2）当时，，令，因为在上单调递增，的最小值为3，则的最小值为，则，解得，所以实数的值为.（3）当，时，，不等式可化为，即因为函数在上单调递减，则，解得或，所以不等式的解集为.18．(1)第年；(2)第年.【详解】（1）设每台充电桩在第年年末的利润为，则，令，解得：，又，，，每台充电桩从第年年末开始获利；（2）设为每台充电桩在第年年末的年平均利润，则；在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，，每台充电桩在第年年末时，年平均利润最大.19．(1)(2)(3)【详解】（1）由函数在上单调递增，且，，则.由，则，令，解得或.令，即